资源简介

22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质
课时目标
1.通过回顾描点法画函数图象的方法,尝试用描点法画二次函数图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质.
2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质,会利用其解决相关问题.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
学习重点
利用描点法画出y=ax2的图象.
学习难点
理解并掌握二次函数的性质.
课时活动设计
知识回顾
多媒体展示问题:1.函数有哪几种表示方式 图象法有什么特点
解:图象法,列表法,解析式法,图象法能直观表示函数的变化情况.
2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤
解:列表-描点-连线.
3.简述描点法作图的一般步骤:
解:(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
(2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线依次连接所描的点,并向两端无限延伸.
设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.
情境引入
多媒体展示图片和问题:(1)你们喜欢打篮球吗
(2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线吗 怎样计算篮球达到最高点时的高度
设计意图:以学生热爱的篮球运动导入本节课,既能激起学生的兴趣,更好地调动学生的积极性,又能通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望;用类比的学习方法降低本节的难度.
探究新知
师生活动:学生尝试用描点法画y=x2的图象,教师用多媒体展示画图过程.
尝试用描点法画y=x2的图象.
【列表】在y=x2中,自变量x可以取任意实数,列表取几组对应值:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
　　【描点】根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描出对应的点.
【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2的图象.
师生活动:教师通过提问总结y=x2图象的特征.
y=x2的图象是一条开口向上的曲线,经过原点,对称轴是y轴,抛物线y=x2与它的对称轴的交点坐标(0,0),观察图象,当二次函数的x=0时,y有最小值为0;当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
多媒体展示,作出函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象.
通过对比函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象,发现:
(1)开口都向上(a>0),对称轴都是y轴;
(2)当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大;
(3)顶点是原点(最小值);
(4)a的值越大,抛物线开口越小.
多媒体展示,作出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象.
通过对比函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,发现:
(1)开口都向下(a<0),对称轴都是y轴;
(2)当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小;
(3)顶点是原点(最大值);
(4)a的值越大,抛物线开口越大.
设计意图:通过学生操作,教师引导的方式使学生掌握二次函数y=x2的画图方法,初步认识二次函数的图象,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念;通过多媒体展示描点法画二次函数的具体过程,比较函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象,函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,引导学生总结二次函数图象的特征.培养学生的动手操作能力,观察分析能力.
新知讲解
多媒体展示二次函数y=ax2的性质.
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　.
(1)当a>0时,抛物线的开口向　上　,顶点是抛物线的最　低　点,
当x<0时,y随x的增大而　减小　;
当x>0时,y随x的增大而　增大　;
当x=0时,y有最　小　值为　0　.
(2)当a<0时,抛物线的开口向　下　,顶点是抛物线的最　高　点,
当x<0时,y随x的增大而　增大　;
当x>0时,y随x的增大而　减小　;
当x=0时,y有最　大　值为　0　.
(3)|a|越大,抛物线的开口　越小　.
(4)y=ax2与y=-ax2关于　x　轴对称.
设计意图:归纳二次函数y=ax2的图象特征和性质,帮助学生梳理知识脉络.
典例精讲
典例1　已知点(-1, 2)在二次函数y=ax2的图象上,那么a的值是(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C. D.-
变式1-1　如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是(　A　)
A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1
变式1-2　已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则(　C　)
A.y1变式1-3　如果抛物线y=(m-1)x2有最低点,那么m的取值范围为　m>1　.
变式1-4　如图所示,四个二次函数的图象分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系为　a>b>d>c　.
设计意图:通过配套例题,举一反三,进而消化本节所学内容.
拓展应用
1.已知抛物线y=ax2(a>0)过点A(-2,y1),B(1,y2),则下列关系式一定正确的是(　C　)
A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0
2.已知二次函数y=x2,当x≥m时,y最小值为0,求实数m的取值范围.
解:在二次函数y=x2中,a=1>0
因此当x=0时,y有最小值.
∵当x≥m时,y最小值=0,∴m≤0.
3.已知y=(m+1)是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.
解:依题意,有
解②,得m1=-2,m2=1.
由①,得m>-1.
因此m=1.
此时,二次函数解析式为y=2x2.
4.已知二次函数y=2x2.
(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1　<　y2;(填“>”“=”或“<”)
(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形ABCD的顶点A,B在x轴上,C,D恰好在二次函数的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面积之和.
解:∵二次函数y=2x2的图象经过点C,
∴当x=2时,y=2×22=8.
∴点C坐标为(2,8).
∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它们的对称轴,
∴OA=OB=2,
∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边对应空白部分面积,
∴S阴影=2×8=16.
设计意图:本环节主要是对本节所学知识展开变式练习,检查学生上课掌握的情况.对课内所学知识进行巩固,增强学生的应变能力.
课堂小结
设计意图:通过小结回顾本节学习的内容,帮助学生归纳、巩固所学知识.
随堂小测
1.函数y=2x2的图象开口　向上　,对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　;
在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　.
2.函数y=-3x2的图象开口　向下　,对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　;
在对称轴的左侧,y随x的增大而　增大　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　减小　.
3.如右图,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是　k>1　.
设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,对知识点查漏补缺.
相关练习.
1.教材第32页练习.
2.相关练习.
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
顶点坐标 (0,0) (0,0)
对称轴 y轴 y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
开口方向 向上 向下
增减性 当x<0时,y随着x的增大而减小; 当x>0时,y随着x的增大而增大 当x<0时,y随着x的增大而增大; 当x>0时,y随着x的增大而减小
最值 当x=0时,最小值为0 当x=0时,最大值为0
教学反思

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