资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“二次函数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题,二次函数是初中阶段内容最丰富的函数,也是今后进一步学习的重要基础.二次函数的学习要将数形结合的思想贯穿始终,从画函数图象开始,研究最简单的二次函数y=x2,通过观察函数图象得出函数性质;然后通过特殊二次y=x2,y=2x2,y=x2的图象归纳得到二次函数y=ax2(a>0)的性质;最后通过研究不同类型的二次函数y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k(a≠0)的相互关系,归纳出一般二次函数的性质.对二次函数的研究展示了从解析式到图象,从图象到性质的研究过程,突显了数形结合思想;同时也体现了从特殊到一般、从简单到复杂、类比、归纳等思想.但还要清楚,函数的性质是函数表达式反映出的特征,因此可以适当引导学生借助表达式阐释性质,进而发展学生的代数推理能力.用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,能更清楚地体现二次函数中“数”与“形”的相互联系和相互转换,也能让学生更清楚地理解和求解函数的最大值或最小值.待定系数法和配方法是研究二次函数的两种重要的方法,既有基本技能的特征,又有基本方法的特征,充分体现了“四基”的理念和要求,对提升数学能力有着重要的作用,应充分重视.
本单元教学内容分析
人教版教材九年级上册第二十二章“二次函数”,本章包含三个小节:22.1二次函数的图象和性质;22.2二次函数与一元二次方程;22.3实际问题与二次函数.
函数主题通过:函数的概念——一次函数——二次函数——反比例函数.在第三、第四学段中均设定了与函数关联的内容.第三学段通过一些具体实例,让学生感受变量的变化过程,以及变化过程中变量之间的对应关系,探索其中的变化规律及基本性质,尝试根据变量的对应关系作出预测.获得与函数相关的感性认识.第四学段要求学生在感性认识的基础上,归纳概括出函数的定义,并研究具体的函数及其性质,了解研究函数的基本方法,借助函数的知识和方法解决问题,在操作层面认识和理解函数.了解函数与其他相关数学内容之间的联系,如函数与方程、不等式的联系.函数与方程、不等式有着密切的联系,方程、不等式是函数的特殊情形.到高中、大学还将继续学习函数.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版数学九年级上册第22章二次函数,从知识技能基础来看,学生在前面已学习了变量、函数、一次函数等概念,对一次函数也有所理解.这些基础对于学习二次函数都是很好的铺垫性知识;从学生活动经验基础来看,学生已经具有解决一些实际问题的能力,感受到了函数反映的是变化的过程,对函数的表达方式特点也有所了解.获得了探究新的函数知识的基础方法,同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,已经具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作交流能力.学生有较强的好奇心,在学习上有较强的求知欲望,但注意力不容易集中;有较强的动手能力,愿意主动去设计方案,但往往还停留在“想当然”的水平;在数学问题的提出和解决上有一定的方法,但不够深入和全面,需要教师的引导和帮助;学生具有一定的探究精神和合作意识,能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识,但对于数学思想的感悟能力还不够强,对于数学的说理还不规范,几何演绎推理能力也有待加强.
四、单元学习目标
1.通过对实际问题情境剖析,让学生经历探索、分析和建立二次函数的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的概念,培养和发展学生的抽象能力.
2.运用类比的方法,学会用描点法画出二次函数图象,根据数形结合,从图象上认识二次函数性质,形成空间观念和几何直观.
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向与对称轴(公式不要求记忆与推导),并能解决简单实际问题,培养学生的应用意识和模型观念.
4.利用数形结合,根据二次函数图象求一元二次方程的近似解,培养学生的创新意识.
5.引导学生养成全面看待问题、分类讨论问题的学习习惯;通过类比,能对旧知识进行有效迁移,培养良好的数学素养.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
层次性原则:教师注意将作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力,自主选择每课时留下拓展性练习或自主编写的易错题.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展课后性作业.
22.1.1　二次函数
课时目标
1.从实际情景中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式.
2.通过回顾函数的相关知识,结合实际问题,观察二次函数关系式特点,从而引出二次函数的概念,本节课要求学生掌握二次函数的判断方法及注意事项.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
学习重点
二次函数的概念和解析式.
学习难点
用数学的方法描述变量之间的数量关系.
课时活动设计
知识回顾
多媒体展示:请同学们回顾函数的相关知识,回答下面问题.
1.什么叫函数
答:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
2.目前,我们已经学习了哪些类型的函数
答:我们已经学过正比例函数和一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊形式.
设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.
情境引入
多媒体展示问题:如图,从喷头喷出的水珠,在空中划过一条曲线后落到水池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示 这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系呢 (引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.)我们这一节课就来研究这一类问题.
设计意图:从学生熟悉的生活事物中提出问题、设置悬疑,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见,体验如何用数学来解决生活中的实际问题.
探究新知
多媒体展示:问题1　正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为　y=6x2　.①
问题2　n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系
解:每队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.②
问题3　某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示
解:这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.③
结合一次函数的定义,观察函数①②③你发现它们的结构有什么相同点
答:等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
设计意图:通过实际问题,让学生列二次函数关系式,观察关系式的结构,引导学生归纳二次函数的特征,进而引出本节所学内容.
新知讲解
师生活动:先由学生尝试归纳总结二次函数的概念,再由教师用多媒体展示.
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的特殊形式:(1)当b=0时,y=ax2+c.
(2)当c=0时,y=ax2+bx.
(3)当b=0,c=0时,y=ax2.
请同学们谈谈对二次函数的理解以及需要注意的内容,教师总结:
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.
(2)a,b,c为常数,且a不等于0.
(3)等式的右边自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(4)一般情况下,自变量x的取值范围是任意实数.
设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,结合一次函数的概念概括二次函数的概念,培养学生抽象概括的能力.再通过提问环节,引导学生初步思考、回顾已有的知识,主动参与到本节的学习中来.
典例精讲
例1　下列函数中,哪些是二次函数 哪些不是 请说明理由.
(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=x+;(3)s=3-2t2;(4)y=;
(5)y=(x+3)2-x2;(6)v=10πr2;(7)y=x2+x3+25;(8)y=22+2x.
答:(1)是.(2)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(3)是.(4)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(5)不是,整理后为一次函数.(6)是.(7)不是,自变量最高次数为3.(8)不是,自变量最高次数为1.
例2　关于x的函数y=(m+1)是二次函数,求m的值.
解:由二次函数的定义,得m2-m=2,m+1≠0.
解得m=2.
因此当m=2时,函数y=(m+1)为二次函数.
注意:二次函数的二次项系数不能为0.
师生活动:学生积极回答,然后师生共同纠错,使学生明确自己的错误与薄弱环节,在后续的解题过程中做到有的放矢,对症下药.
设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性,加深学生对二次函数的理解与掌握.
拓展应用
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c 　C.s=2t2-2t+1 　　D.y=x2+
2.一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为　y=x(15-x)　.
3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,求m的值.
解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0,
解得m=0或m=1,又∵m-1≠0即m≠1,
∴当m=0时,这个函数是一次函数;
(2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m1≠0,m2≠1,
∴当m≠0或m≠1时,这个函数是二次函数.
设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,将知识灵活应用,提高自身解题能力.
巩固训练
1.下列函数中(x是自变量),是二次函数的为(　C　)
A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1
C.y=x2 D.y=22+x+1
2.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(　C　)
A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0
C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数
3.一个圆柱的高等于它的底面半径,它的表面积S与半径r之间的关系式为　S=4πr2　.
4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式为　d=n2-n　.
5.当m为何值时,函数y=(m-4)+mx是关于x的二次函数.
解:由二次函数的概念,得
解得m=1.
∴当m=1时,函数y=(m-4)+mx是关于x的二次函数.
设计意图:通过配套练习,加深学生对二次函数的理解.
课堂小结
1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项.
2.二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式;②未知数最高次数为2;③二次项系数不为0.
设计意图:通过小结让学生复述本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.
相关练习.
1.教材第29页练习第1,2题.
2.相关练习.
22.1.1　二次函数
　一般地,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.
教学反思

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