资源简介

24.2.1　点和圆的位置关系
课时目标
1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系,探求过点画圆的过程,掌握过不在同一直线上三点画圆的方法,掌握三角形的外接圆和外心的概念,了解运用“反证法”证明命题的思想方法.
2.通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系,并提炼出数量关系,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想.
3.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
点与圆的三种位置关系,过三点作圆.
学习难点
点与圆的三种位置关系及其数量关系,及反证法的理解.
课时活动设计
情境引入
射击是奥运会的一个正式体育项目,我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得了荣誉.如图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的,射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗
从数学的角度来看,这是平面上的点与圆的位置关系,我们今天这节课就来研究这一问题,引出课题.
设计意图:随着现在经济科技的发展,奥运会越来越被人们所重视.本节内容通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法,使学生在开拓知识视野的同时,感知点与圆的几种位置关系,体会数学在生活中的应用.
探究新知
我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.
学生交流,回答问题.
教师点评:点与圆有三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外.
如下图,☉O的半径为4 cm,OA=2 cm,OB=4 cm,OC=5 cm,那么,点A,B,C与☉O有怎样的位置关系
解:∵OB=4 cm,∴OB=r,∴点B在☉O上.
∵OA=2 cm<4 cm,∴点A在☉O内.
∵OC=5 cm>4 cm,∴点C在☉O外.
设计意图:通过实例观察点与圆的位置关系,从而总结出规律,使学生的思维得到提升.
探究
(1)如图1,经过一个已知点A能不能作圆,这样的圆你能作出多少个
(2)如图2,经过两个已知点A,B能不能作圆 如果能,圆心分布有什么特点
学生动手探究,作图,交流,得出结论,教师点评并总结.
解:(1)过已知点A画圆,可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意一点,半径是任意长的线段.(仅过点A,既不能确定圆心,也不能确定半径.)
(2)过已知的两点A,B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(注:仅过点A,B,同样不能确定圆心,也不能确定半径.)
经过不在同一条直线上的三个点,A,B,C能不能作圆 如果能,如何确定所作圆的圆心
解:经过A,B两点的圆,圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A,C两点的圆,圆心在线段AC的垂直平分线上,那么这两条垂直平分线一定相交,设交点为O,则OA=OB=OC,于是以O为圆心,以OA为半径的圆,必过B,C两点,所以过不在同一直线上的A,B,C三点有且仅有一个圆.
教师总结,不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.
设计意图:学生动手从易到难,逐个分析过不同个数的点的圆的个数.
典例精讲
例1　☉O的半径为10 cm,根据点P到圆心的距离:(1)8 cm;(2)10 cm;(3)13 cm.判断点P与☉O的位置关系,并说明理由.
解:设☉O的半径为r cm,点P到圆心的距离为d cm,则r=10.
(1)当d=8时,∵d(2)当d=10时,∵d=r,∴点P在☉O上.
(3)当d=13时,∵d>r,∴点P在☉O外.
例2　如图,在A地往北90 m处的B处,有一栋民房,东120 m的C处有一变电设施,在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破,为使民房,变电设施,古建筑都不遭破坏,问爆破影响的半径应控制在什么范围之内
解:由题可知AB=90 m,AC=120 m,∠BAC=90°,由勾股定理,可得BC===150(m).
又∵D是BC的中点,∴AD=BC=75(m).
∴民房B,变电设施C,古建筑D到爆破中心的距离分别为:AB=90 m,AC=120 m,AD=75 m.
要使B,C,D三点不受到破坏,即B,C,D三点都在☉A外,∴☉A的半径要小于75 m.
即爆破影响的半径控制在小于75 m的范围,民房,变电设施,古建筑才能不遭破坏.
设计意图:例1可让学生独立思考,尝试写出过程;教师点评,并规范书写格式.例2是对本节知识的实际应用,教师引导学生分析问题,使学生学会将实际问题转化为数学问题,从而认识到问题的本质,也让学生体会到数学是与实际生活紧密相连的.
思考
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗
学生易想到过同一条直线上的三个点不能圆,那如何证明呢
证明:如图,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作出一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l,这与我们之前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以经过同一条直线上的三个点不能作圆.
教师进行总结,引出反正法:
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
设计意图:让学生了解用反证法证明的基本思路和一般步骤.
巩固训练
1.判断下列说法是否正确:
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.(　√　)
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.(　×　)
(3)经过三点一定可以确定一个圆.(　×　)
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.(　√　)
2.☉O的半径为10 cm,A,B,C三点到圆心的距离分别为8 cm,10 cm,12 cm,则点A,B,C与☉O的位置关系是:点A在　圆内　;点B在　圆上　;点C在　圆外　.
课堂小结
1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法 请与同伴交流点和圆的位置关系,会判断点和圆的位置关系、理解并掌握三角形的外心及性质.
2.了解反证法证明的基本思路和一般步骤.
相关练习.
1.教材第95页练习第2,3题.
2.相关练习.
24.2.1　点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
教学反思

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