资源简介

24.1.4　圆周角
第1课时　圆周角定理及其推论
课时目标
1.了解圆周角的概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.通过猜想验证理解圆周角的定理,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.理解圆周角定理的推论,并灵活运用圆周角定理及其推论解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
圆周角的概念、圆周角的定理及推论、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
学习难点
运用数学分类思想证明圆周角的定理.
课时活动设计
情境引入
足球赛前训练,训练场上的球门前划了一个圆圈如图,两名球员分别在C,D两处,他们争论不休,都说自己的射门位置好.如果你是主教练,仅从射门角度考虑,射门角度越大越好.那么他们谁的射门位置好
设计意图:足球运动与学生的日常经验紧密相连,有效地唤起了他们对知识的好奇和探索的欲望.为接下来的学习活动奠定了良好的基础.此外,清晰地向学生阐述本节课的学习目标,有助于他们有目的地参与课堂活动,从而提高学习效率和成效.
新知讲解
1.通过两个基本图形的对比,类比圆心角的定义,共同归纳出圆周角的概念.
如图中的∠ACB,它的顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角.
2.概念教学设置了辨析巩固.
如下图,图中哪个角是圆周角.
3.得出口诀:
顶点圆上,两边交圆.
设计意图:对比学习的目的在于加强知识之间的联系,对比学习使得概念理解更加容易,为圆周角定理的学习奠定基础.
新知探究
类比圆心角,探知圆周角.
利用手中圆形纸板,使得圆周角∠BAC的顶点A在优弧BAC上运动,你会发现圆周角∠BAC与圆心O有几种位置关系
①请你分别在☉O中画出一个圆周角.
要求:体现圆周角和圆心的三种位置关系.
②请你在☉O中分别画出同弧所对的圆心角.
思考:你发现同弧所对的圆周角与圆心角有怎样的大小关系吗
1.教师引导学生,采用小组合作的学习方式,前后四人一组,分组操作.教师巡视与指导学生活动.
2.学生把发现的结论画在任务书上,体现出圆周角与圆心的三种位置关系.
3.学生进行小组活动的展示,派选3名代表,2名学生展示操作过程,1名学生板演画图过程,让全体学生有一个直观的认识.
4.学生在原有图形基础上,分别画出同弧所对的圆心角.
5.教师引导学生利用度量工具动手实践,进行度量,发现结论.
6.学生按照要求进行画图,测量角度,总结发现的规律.
7.教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,拖动一个点来改变弧的大小即改变圆心角的大小,来验证学生发现的结论.让学生观察同弧所对的圆周角与圆心角之间的大小关系.
设计意图:通过实践活动,使学生主动参与到课堂探究的过程.小组合作之后进行活动展示,目的让学生对圆周角与圆心的位置有一个直观的认识,为下面探索圆周角与圆心角的关系埋下伏笔,从而为有效的突破教学难点奠定基础.
验证猜想
已知:在☉O中,弧BC所对的圆周角是∠BAC,所对的圆心角是∠BOC.
求证:∠BAC=∠BOC.
第一种情况:圆心在圆周角一边上;
第二种情况:圆心在圆周角内部;
第三种情况:圆心在圆周角外部.
证明:第一种情况:当圆心在圆周角一边上时,如图1.
∵OA=OC,∴∠A=∠C.又∵∠BOC=∠A+∠C,∴∠A=∠BOC.
第二种情况:当圆心在圆周角内部时,如图2.
∵OA=OB=OC,∴∠BAO=∠ABO,∠OAC=∠OCA.
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAD+2∠OAC=2∠BAC.
∴∠BAC=∠BOC.
第三种情况:当圆心在圆周角外部时,如图3.
∵OA=OC,OA=OB,∴∠OAC=∠OCA,∠OBA=∠OAB.
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2∠OAC-2∠OAB=2∠BAC.
∴∠BAC=∠BOC.
教师引导学生总结出圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
设计意图:通过师生合作和生生合作,让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来研究问题.伴随着高涨的学习氛围,由小组代表进行展示反馈,说明思路与想法.引导学生学会发现问题、提出问题、分析问题,并能解决问题.让学生对所发现的结论进行证明,培养学生严谨的治学态度.
巩固训练
1.如图,点A,B,C在☉O上,若∠BAC=24°,则∠BOC=　48°　.
第1题图
第2题图
2.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=　40°　.
设计意图:进一步巩固圆周角定理.
为了做到理解定理,知识整合,我们进行了深入的思考:
思考1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧相等吗 反之,同弧或等弧所对的圆周角相等吗
思考2:把“在同圆或等圆中”去掉,如果两个圆周角相等,它们所对的弧还相等吗
思考3:如图,已知AB是☉O的直径,那么∠BCA为多少度
思考4:90°的圆周角所对的弦是什么
设计意图:通过以上几个问题的层层深入,考查学生对定理的理解和应用,并将本节课的知识和所学过的内容紧密结合起来,使学生能够很好地进行知识的迁移,加深对本节知识的理解,最终得出圆周角定理的两个推理:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
巩固训练
1.如图,点A,B,C在☉O上,若∠A=60°,则∠BOC的度数为　120°　.
第1题图
第2题图
2.如图,A,B,P是半径为2的☉O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为　2　.
　　3.△ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,∠ACB=50°,点D是BAC上一点,则∠D=　40°　.
第3题图
第4题图
4.如图,在☉O中,∠ACB=50°,点D是☉O上一点,则∠ADB=　50°或130°　.
设计意图:在教学活动中,通过设计一系列问题,我们能够有效地指导学生逐步深入理解和应用数学定理.首先,前三个问题侧重于定理的直接和间接应用,帮助学生巩固和运用新学的概念.其次,第四个问题则旨在加深学生对定理的理解,促使他们不仅仅停留在表面的应用层面,而是能够深入探究其背后的原理.此外,练习题的设计遵循了学生的认知发展规律,从简单到复杂,循序渐进,确保学生能够及时获得反馈,了解自己对知识的掌握情况,从而促进知识的消化吸收.通过这样的教学策略,学生能够更好地理解和运用数学定理,提高解决问题的能力.
1.小结:通过本节课的学习你有哪些收获
2.课后延伸:
通过本节课的学习我们都知道:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗
设计意图:1.引导学生从知识、方法、数学思想等方面进行总结,优化认知结构,完善知识体系,使得知识方法结构化,充分发挥学生的主体作用.
2.最后作为课后的一个延伸,设计了一个学生容易犯错的问题,即将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”所对的圆周角还相等吗 为了做到对定理的真正理解,加强思维的变式训练,提高分析解决问题的能力,做到触类旁通.
相关练习.
1.教材第88页练习第3题.
2.相关练习.
第1课时　圆周角定理及其推论
　1.概念:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理的两个重要推论:
同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
教学反思

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