资源简介

第2课时　切线的判定和性质
课时目标
1.使学生能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线,会运用切线的判定定理和性质定理解决问题,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.灵活运用切线的性质解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
掌握切线的判定定理及性质定理.
学习难点
切线的判定定理和性质的应用.
课时活动设计
新知导入
通过多媒体动态演示实例,教师进行提问,这些现象有哪些共同点
设计意图:通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型.
思考
如图,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少 直线l和☉O有什么位置关系
解:∵直线l⊥OA,而点A是☉O的半径OA的外端点,
∴直线l与☉O只有一个交点,并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA,即是☉O的半径.
∴直线l与☉O相切.
教材总结得到切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
设计意图:引导学生分析切线的特点,为后续做准备.
新知探究
已知直线l是☉O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢 为什么 (学生讨论,由学生代表回答)
分析:这个问题在引导学生分析时,直接证明比较困难,我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直,过点O作OM⊥l,垂足为M,根据垂线段最短的性质,有OM教师点评:由于l是☉O的切线,点A为切点,∴圆心O到l的距离等于半径,所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴直线l⊥OA.
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言:∵直线l是☉O的切线,切点为A,∴直线l⊥OA.
设计意图:学生具有初步的逻辑分析能力和表达能力,课堂上适时的锻炼既能消除学生对证明的陌生感,又能提升学生的逻辑思维能力.
典例精讲
例1　如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线.
师:要证明一条直线是圆的切线,必须符合两个条件,即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.
解:过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA.
∵☉O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD,即OE是☉O的半径.
∴AC是☉O的切线.
例2　(1)如图1,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点,∠PAB=30°,求∠AOB.
(2)如图2,AB是☉O的直径,DC切☉O于点C,连接CA,CB,AB=12,∠ACD=30°,求AC的长.
解:(1)∵OA,OB为☉O的半径,∴△OAB为等腰三角形.
∴∠OAB=∠OBA.
又∵PA是☉O的切线,∴由切线的性质,可知PA⊥OA.∴∠OAP=90°.∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°.
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.
(2)连接OC,∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD.
∴∠OCA=60°.
∵OA=OC,∠ACD=30°,
∴∠OCA=90°-30°=60°=∠OAC,△OAC是等边三角形.
∴AC=OA=r=×AB=×12=6.
设计意图:让学生能够应用新知识,进一步运用到实际学习内容中.
巩固训练
1.如图所示,线段AB经过圆心O,交☉O于点A,C,∠BAD=∠B=30°,边BD交圆于点D.BD是☉O的切线吗 为什么
解:BD是☉O的切线.
理由:连接OD.
∵∠BAD=30°,OA=OD,
∴∠ADO=∠BAD=30°.
∴∠BOD=∠ADO+∠BAD=60°.
在△BOD中,∠B=30°,∠BOD=60°,
∴∠BDO=90°.
∴BD是☉O的切线.
2.如图,已知直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.
解:连接OC,
∵OA=OB,AC=BC,
∴OC⊥AB,
∵点C为OC的端点且点C在☉O上,
∴直线AB是☉O的切线.
学生思考交流后师生共同解答.
3.如图,OA=OB=5,AB=8,☉O的直径为6.
求证:直线AB是☉O的切线.
证明:如图,过点O作OC⊥AB于点C,
∵OA=OB=5,AB=8,
∴AC=BC=AB=4.
在Rt△AOC中,由勾股定理,可得OC==3.
∵☉O的直径为6,
∴OC为☉O的半径.
又∵OC⊥AB,
∴直线AB是☉O的直径.
教师归纳:
证切线时辅助线的添加方法:
(1)有公共点,连半径,证垂直;
(2)无公共点,作垂直,证半径.
有切线时常用辅助线添加方法:
见切线,连半径,得垂直.
切线的其他重要结论:
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
课堂小结
1.让学生回顾本堂课的两个知识点.
2.试着让学生自己总结切线的证明方法,然后相互交流.
设计意图:在这一环节,教师要尽可能地让学生自主总结与交流,然后适当地予以点评和补充.
相关练习.
1.教材第98页练习第1,2题,教材第101页习题24.2第4,5题.
2.相关练习.
教学反思

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