资源简介

第3课时　切线长定理和三角形的内切圆
课时目标
1.理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆圆心和三角形的内心等概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征,结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.运用切线长定理和内心解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
切线长定理及其应用.
学习难点
有关切线长定理的有关计算和证明问题.
课时活动设计
情境引入
同学们玩过悠悠球(如图1)吗 大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢 图2是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图,从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形,被拉直的线绳可抽象成线段) 这些图形的位置关系是怎样的
设计意图:通过同学们常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣,并进一步引出切线长及切线长定理.建议:教师在课前准备一个悠悠球,在课堂上直接展示,活跃课堂气氛.同时在抽象出数学图形的过程中,注意从上节课刚学过的切线的角度引导学生思考问题.
新知探究
如图,纸上有一☉O,PA为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B,回答下列问题:
(1)OB是☉O半径吗
(2)PB是☉O的切线吗
(3)PA、PB是什么关系
(4)∠APO和∠BPO有何关系
学生动手实验,观察分析,合作交流后,教师抽取几位学生回答问题.
分析:OB与OA重合,OA是半径,∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变,∴∠PBO=∠PAO=90°(即PB⊥OB),PA=PB,∠POA=∠POB,∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点,∴PB是☉O的切线.
设计意图:通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型.
新知讲解
问题1:在☉O外任取一点P,过点P作☉O的两条切线,如图,则图形中存在哪些等量关系
问题2:将所画图形沿着直线PO进行对折,观察折线两旁的部分能否互相重合 请用语言概括你的发现.
师生活动:教师指导学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究,并进行适时点拨后,学生交流、讨论,说明自己的发现,教师做好总结和鼓励.
教师强调:
(1)切线长的定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长,如图中的线段PA,PB.
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
问题3:你能运用所学知识进行证明吗
师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导.
证明:如图,连接OA,OB.
∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB.
又∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
问题4:如何根据图形,用几何语言描述切线长定理呢
师生活动:学生根据定理的题设和结论,结合图形,进行回答,教师板书并补充.
∵PA,PB是☉O的两条切线,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
设计意图:这个定理要让学生分清题设和结论.题设:过圆外一点作圆的切线.结论:①过圆外的这一点可作该圆的两条切线;②两条切线长相等;③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
典例精讲
例1　如图,PA、PB是☉O的切线,切点分别是A、B,若∠APB=60°,PA=4,则☉O的半径是 　.
例2　如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,连接OP,交☉O于C,若PA=6.PC=2.求☉O的半径OA及两切线PA,PB的夹角.
解:连接OA,∵PA是☉O的切线,
∴∠OAP=90°.
∴OP2=OA2+PA2.
∵OP=OC+CP,OC=OA,PA=6,PC=2,
∴(OA+2)2=OA2+62.
∴OA=2.
∴OC=OA=2.
∴OP=OC+PC=4.
∴OP=2OA.
∴∠APO=30°.
∵PA,PA分别切☉O于A,B两点,
∴∠APO=∠BPO=30°.
∴∠APB=60°.
∴☉O的半径OA为2,两切线PA,PB的夹角为60°.
教师总结:解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形.
(1)分别连接圆心和切点.
(2)连接两切点.
(3)连接圆心和圆外一点.
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据,必须掌握并能灵活应用.
设计意图:让学生能够应用新知识,进一步运用到实际学习内容中.
探究内切圆
思考:如何在三角形内部画一个圆,使它与已知三角形的三边都相切
分析:(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件
(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢
解:我们以前学过,三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点到三条边的距离相等.因此,如图,分别作∠B,∠C的平分线BM和CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等.以I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则☉I与三角形三条边都相切,圆I就是所求作的圆.
教师总结:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆;
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
设计意图:从一条线和圆相切,到两条线和圆相切形成切线长定理,再到三边都和圆相切形成三角形的内切圆,层层递进,符合学生的思维认知.
典例精讲
例3　△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的长.
解:设AF=x,则AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.
解得x=4.
因此AF=4,BD=5,CE=9.
小结:运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.
设计意图:理解并掌握内心的定义.
巩固训练
1.如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,下列结论中,错误的是(　D　)
A.∠APO=∠BPO　　B.PA=PB　　C.AB⊥OP　　D.PA=PO
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
2.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别是A,B,如AP=4,∠APB=40°,则∠APO=　20°　,PB=　4　.
3.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点为A,B,∠P=50°,点C是☉O上异于A,B的点,则∠ACB=　65°或115°　.
4.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D,E,F三点,如图,已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是　30　.
设计意图:学生通过练习进一步熟悉切线长定理和内心的性质,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
相关练习.
1.教材第100页练习第2题,教材第101页习题24.2第3,6题.
2.相关练习.
教学反思

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