资源简介

第1课时　弧长和扇形面积
课时目标
1.理解弧长和扇形面积公式,并会计算弧长、扇形的面积,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.经历探究弧长和扇形面积公式的过程,解决部分与整体的问题,培养学生的探索能力和运用公式解决问题的能力.
3.在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中,感受转化、类比的数学思想.
4.通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题,让学生感受数学与实际生活的联系,激发学习数学的兴趣,提高学习数学的积极性,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
弧长及扇形面积公式的推导过程及运用.
学习难点
运用弧长和扇形面积公式计算组合图形的面积.
课时活动设计
情境引入
在田径200米跑步比赛中,运动员的起跑位置相同吗 为什么
教师通过课件展示图片,提出问题.
解:起跑位置不同,为了保证每个人所跑路程为200米.
在学生回答的基础上,提出每个跑道应该相距多远呢,关键是应该知道这些弯道的“展直长度”,如何计算呢
设计意图:由现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辨证思想,初步感受弧长的作用.
探究新知
我们知道,弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.想一想,如何计算圆周长 圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长 由此出发,1°的圆心角所对的弧长是多少 n°的圆心角呢
分析:在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是,即.于是n°的圆心角所对的弧长为l=.
典例精讲
例1　制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算如图所示的管道的展直长度L(结果取整数).
解:由弧长公式,得的长l==500π≈1 570(mm).
因此所要求的展直长度L=2×700+1 570=2 970(mm).
设计意图:由圆的周长和周角的定义分析出1°的圆心角所对的弧长,进而得出n°圆心角所对弧长公式,体现了新旧知识的联系.
教师给出扇形图片,学生观察图片,尝试归纳概念.
扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
思考:由扇形的定义可知,扇形面积就是圆面积的一部分.想一想,如何计算圆的面积 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积 1°的圆心角所对的扇形面积是多少 n°的圆心角呢
分析:在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2,所以圆心角是1°的扇形面积是.于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形=.
比一比:n°的圆心角所对的弧长和扇形面积之间有什么关系
(教师提问,学生讨论交流,得出结论.)
S扇形===l·=lR.
典例精讲
例2　如图,圆心角为60°的扇形的半径为10 cm.求这个扇形的面积和周长.(精确到0.01 cm2和0.01 cm)
学生独立思考后师生共同解答.
解:∵n=60,r=10 cm,
∴扇形的面积为S===≈52.36(cm2).
扇形的周长为l=2r+=20+=20+≈30.47(cm).
设计意图:类比弧长公式的研究方法,学生可以自行推倒扇形面积公式并应用,锻炼学生的推理能力.
典例精讲
例3　如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).
解:连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线,垂足为D,交于点C,连接AC.
∵OC=0.6 m,DC=0.3 m,
∴OD=OC-DC=0.3(m).
∴OD=DC.
又AD⊥DC,
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
从而∠AOD=60°,∠AOB=120°.
有水部分的面积
S=S扇形OAB-S△OAB=×0.62-AB·OD=0.12π-×0.6×0.3≈0.22(m2).
有水的部分实际上是一个弓形,通过例题我们发现,弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得.
设计意图:通过例题总结出弓形的面积.
巩固训练
1.如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧,点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90 m,圆心角∠AOB=80°,则这段弯路的长度为(　C　)
A.20π m　　　　　B.30π m　　　　　C.40π m　　　　　D.50π m
第1题图
第2题图
2.如图,在扇形AOB中,AC为弦,∠AOB=140°,∠CAO=60°,OA=6,则的长为(　B　)
A. B. C.2π D.2π
3.如图,☉O经过点A和点B,其半径是 m,连接AB,若∠AOB=45°,则阴影部分的面积为 -　m2(结果保留π).
4.某校编排的一个舞蹈需要五把和图1形状大小完全相同的绸扇.学校现有三把符合要求的绸扇,将这三把绸扇完全展开刚好组成如图2所示的一朵圆形的花.请你算一算:再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布 (单面制作,不考虑绸扇的折皱,结果用含π的式子表示)
解:由三把绸扇完全展开刚好组成了一个圆可知,扇形的圆心角为120°.
由题图知,大扇形的半径为18+12=30(cm).
S大扇形==300π(cm2).
S小扇形==48π(cm2).
S绸面=S大扇形-S小扇形=300π-48π=252π(cm2).
两把绸扇所需的绸布面积是2×252π=504π(cm2).
所以再做两把这样的调扇至少需要504π平方厘米的绸布.
5.如图,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB1C1,阴影部分为线段BC扫过的区域,已知AB=4,BC=3,求阴影部分的面积.
解:∵AB=4,BC=3,
∴由勾股定理,得AC==5.
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB1C1,
∴△ABC的面积等于△AB1C1的面积,
∠C1AC=∠B1AB=90°.
∴阴影部分的面积S=+S△ABC--=-=-=π.
设计意图:通过练习进一步巩固所学.
课堂小结
本节课我们主要学习了哪些内容
(1)弧长公式l=.
(2)扇形面积S扇形==lR.
(3)弓形面积S弓形=S扇形-S三角形,S弓形=S扇形+S三角形.
设计意图:将课程中的知识点进行整理和归纳,形成结构化的知识体系,便于学生理解和记忆.
相关练习.
1.教材第113页练习第2,3题,教材第115页习题24.4第7,8题.
2.相关练习.
教学反思

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