资源简介

24.1.3　弧、弦、圆心角
课时目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性,会辨析圆心角,发展学生空间想象能力的核心素养.
2.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.掌握在同圆或等圆中,圆心角与其所对的弦、弧之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
掌握弦、弧、圆心角之间的关系,并能运用此关系进行相关的证明和计算.
学习难点
理解圆的旋转不变性和对定理推论的应用.
课时活动设计
知识回顾
前面我们已经学习了圆的对称性,你能用自己的语言描述它吗
教师提出问题,带领学生回顾已学知识,在此基础上追问:
圆是中心对称图形吗
设计意图:先回顾已学知识,在此基础上提出问题,引导学生思考新知识,建立起新旧知识之间的联系.
探究新知
教师提问:剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗 由此你能得到什么结论 并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作、观察,最后教师PPT动态展示.
追问1:把圆绕圆心旋转任意一个角度呢
教师在上一问题的基础上追问,仍然让学生先动手操作,观察,然后教师任选几个角度(如30°,60°,120°,210°等)进行PPT动态展示.
追问2:通过上面的观察,你能得到什么结论呢
老师引导学生得出结论:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合.
设计意图:让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性,引导学生来归纳出圆是中心对称图形,培养学生的观察能力与语言组织能力.
探究新知
观察下面几个角的顶点,有什么共同特征
教师总结圆心角的概念:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
思考
在☉O中,当圆心角∠AOB=∠A'OB'时,它们所对的弧和,弦AB和A'B'相等吗 为什么
教师提出问题,并展示PPT,让学生观察∠AOB和∠A'OB'重合的过程,进一步让学生观察这两个角所对的弦、弧是否重合,最终得出结论,并引导学生用自己的语言总结.教师汇总并补充:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
追问:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它所对的圆心角,所对的弦是否也相等呢
教师在上述基础上追问,先让学生仿照前面的思路自主探究,最终教师展示相关过程及结论.
=
　
AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.
教师引导学生用语言总结结论:
AB=A'B'
　
∠AOB=∠A'OB'
=
=
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.
追问1:“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉
经过思考发现:去掉同圆或等圆,那就会想到半径不同的圆,在不同半径的圆中,以同心圆为例,容易看出结论.
追问2:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有什么关系
经过思考发现:其余各组量都相等.
设计意图:通过观察,使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性.理解弧、弦、圆心角之间的关系.培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力.
典例精讲
例1　已知AB是☉O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数.
解:∵==,∠COD=35°
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°.
∴∠AOE=180°-3×35°=75°.
例2　如图,在☉O中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明:∵=,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力.
巩固训练
1.下列各角中,是圆心角的是(　D　)
2.如图,在☉O中:
(1)若∠AOC=∠BOC,BC=5,则AC=　5　;
(2)若AC=BC,∠BOC=70°,则∠AOC=　70°　.
第2题图
第3题图
3.如图,在☉O中,=,∠C=75°,求∠A的度数.
解:∵=,
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.
又∵∠C=75°,∴∠B=∠C=75°.
∴∠A=180°-(∠B+∠C)=30°.
4.如图,在☉O中,弦AC,BD相交于点P,且AB=CD,求证:AC=BD.
解:∵AB=CD,∴=
又∵=+,=+,
∴=.∴AC=BD.
设计意图:进一步巩固本节课的内容,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间.
课堂小结
设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力.
相关练习.
1.教材第85页练习第2题.
2.相关练习.
24.1.3　弧、弦、圆心角
1.圆的旋转对称性:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.
2.圆心角:顶点在圆心的角.
3.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也都分别相等.
在☉O中,若①∠AOB=∠A'OB'(圆心角相等);
②=(弧相等);
③AB=A'B'(弦相等).
则(知一推二)
教学反思

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