资源简介

24.1.2　垂直于弦的直径
课时目标
1.研究圆的对称性,掌握垂径定理,发展学生抽象思维能力的核心素养.
2.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.
3.学会运用垂径定理及解决一些有关证明、计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用.
学习难点
垂径定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.
课时活动设计
观察思考
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗
设计意图:从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣,让学生体会生活中数学随处可见,体会数学如何被用来解决生活中的实际问题.教师PPT展示赵州桥的图片,并提出问题,引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.
探究新知
合作探究
剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么
教师提出问题,并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作,观察,学生充分交流后,教师汇总补充,最后PPT动态展示.
在此基础上追问:由此你能得到什么结论 你能证明你的结论吗
教师总结学生得出的结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
教师引导学生发现,要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.如图,设CD是☉O的任意一条直径,A为☉O上点C,D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在☉O上.
证明:过点A作AA'⊥CD,交☉O于点A',垂足为M,连接OA,OA'.
在△OAA'中,∵OA=OA',
∴△OAA'是等腰三角形.
又AA'⊥CD,
∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线.
教师可在圆上任取若干个点进行说明,进一步验证前面得到的结论.
圆的对称性:①圆是轴对称图形;②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
设计意图:通过证明引导学生思考,使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程,初步培养学生分析问题、解决问题的能力.
合作探究
在刚刚的证明过程中,你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗
教师再次动态展示折纸的过程,让学生观察,并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论,教师引导并补充完善.
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
教师带领学生分析垂径定理的题设,结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.
下列图形是否具备垂径定理的条件
教师提出问题,学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形,引导学生说出原因,并追问:
怎样修改图(2)、(4)能够满足垂径定理的条件
教师带领学生观察修改后的图片,引导学生总结:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.其中,直径并不是必要条件,只要满足过圆心即可.
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时,能否得出CD⊥AB
教师提出问题,引导学生仿照前面的证明方法证明,并用文字语言描述所得结论,得出垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
教师追问:为什么强调“不是直径”呢
设计意图:再次观察折叠圆的过程,让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧,尝试总结出垂径定理.
想一想
判断下列说法是否正确:
1.垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(×)
2.平分弦的直径垂直于弦.(×)
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.(×)
设计意图:巩固所学知识,加深对知识的理解.
延伸
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
教师带领学生归纳出垂径定理及推论中,蕴含的五个条件:
①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
并引导学生发现,垂径定理是①②→③④⑤;垂径定理的推论是①③→②④⑤.
追问:还有别的结论吗
条件 结论
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分弦所对的另一条弧
①⑤ ②③④
②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧
…… …… ……
　　 设计意图:在已有知识的基础上适当延伸拓展,使学生能够理解这5个条件可以知二推三,锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.
典例精讲
通过这节课的学习,现在你能解决课程一开始的问题了吗
例　赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
解:如图,用表示主桥拱,设所在的圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.
根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.
由题设可知AB=37,CD=7.23,
所以AD=AB=×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.
解得R≈27.3.
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力.教师提出问题,学生先独立思考,解答,然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程.
巩固训练
1.如图,在☉O中,若CD⊥AB于点M,AB为直径,则下列结论不正确的是(　C　)
A.=　　　　B.=　　　　C.AM=OM　　　　D.CM=DM
2.已知☉O的直径AB=10,弦CD⊥AB于点M,OM=3,则CD=　8　.
3.在☉O中,弦CD⊥AB于点M,AB为直径,若CD=10,AM=1,则☉O的半径为　13　.
4.☉O的半径为13 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,求AB和CD之间的距离.
解:如图,过点O向AB,CD作垂线,垂足分别为M,N,连接OB,OD.
由垂径定理,可得BM=AB=12 cm,DN=CD=5 cm.
又∵OB=OD=13 cm,
在Rt△OBM,Rt△ODN中,
由勾股定理,得OM==5 cm,ON==12 cm.
∴AB和CD之间的距离MN=ON-OM=7 cm或MN=OM+ON=17 cm.
设计意图:进一步巩固本节课的内容,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间.
课堂小结
设计意图:通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容,使零散的知识系统化,同时培养学生的语言表达能力.
相关练习.
1.教材第83页练习第2题.
2.相关练习.
教学反思

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