资源简介

第2课时　二次函数与商品利润
课时目标
1.根据实际问题找出变量之间存在的关系,列出函数关系式并确定自变量的取值范围,解决商品销售问题.
2.经历数学建模的基本过程,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
学习重点
根据实际问题列出函数关系式并确定自变量的取值范围.
学习难点
利用二次函数图象和性质解决商品销售问题.
课时活动设计
情境引入
多媒体展示图片
在日常生活中存在着许多与数学有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西.如果你去买商品,你会选哪一家店呢 如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢
设计意图:从学生熟悉的生活事物中导入新课,提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见.
探究新知
探究1　销售问题中的数量关系
多媒体展示问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是　18 000　元,销售利润是　6 000　元.
数量关系:(1)销售额=售价×销售量;
(2)利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;
(3)单件利润=售价-进价.
探究2　销售的最大利润问题
多媒体展示问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大
师生活动:引导学生分析涨价和降价两种情况.
教师提出问题:该如何定价呢 问题中的变量是什么
学生尝试解答,教师用多媒体展示答案.
涨价销售
①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售 20 300 6 000
涨价销售 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x)
　　师生共同写出涨价问题的函数关系式y=(20+x)(300-10x),即y=-10x2+100x+6 000.
②自变量x的取值范围如何确定
教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法.
学生尝试解答,教师用多媒体展示答案.
营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.
③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少
学生尝试解答,教师用多媒体展示答案.
当x=-=5时,
y=-10×52+100×5+6000=6 250.
60+5=65,∴在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6 250元.
师生活动:按照上述涨价的问题,教师给予学生时间解答降价的最值问题.
降价销售
①每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售 20 300 6 000
降价销售 20-x 300+20x y=(20-x)(300+20x)
　　建立函数关系式y=(20-x)(300+20x),即y=-20x2+100x+6 000.
②自变量x的取值范围如何确定
营销规律是价格下降,销量上升,因此只要考虑单件利润就可以,故20-x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.
③降价多少元时,利润最大,最大利润是多少
即y=-20x2+100x+6 000,
当x=-=2.5时,y=-20×2.52+100×2.5+6 000=6 125.
∴在降价的情况下,降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6 125元.
综合可知,降价2.5元,即定价57.5元时,才能使利润最大.
设计意图:通过实际问题让学生经历数学建模的基本过程,学习和探究商品销售中的数量关系和最值问题,用已有知识分析新知识,通过提问环节,让学生积极参与到本节学习中来.
新知讲解
二次函数解决销售问题的一般步骤:
(1)确定自变量和函数;
(2)表示出单位利润和销售数量;
(3)利用利润公式列出函数解析式;
(4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大(小)值.
设计意图:归纳总结,学生梳理新知识,明确本节内容,达成教学目标.
典例精讲
例　某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具,如果以30元/件的价格出售,那么一个月内售出180件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的下降,即销售单价每上涨1元,月销售量将相应减少10件,当销售单价为多少元时,该店能在一个月内获得最大利润
解:设商品的销售单价上涨x元,一个月内获取的商品总利润为y元.
y=(10+x)(180-10x)=-10x2+80x+1 800=-10(x-4)2+1 960.
由题意,得x≤18.
∴当x=4时,即销售单价为34元时,y取最大值1 960元.
∴当销售单价为34元时,该店在一个月内能获得最大利润,最大利润为1 960元.
设计意图:通过例题讲解,规范解题步骤,让学生感受数学的严谨性.加深对新知识的理解与掌握.
巩固训练
某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,商品售价为x元/件,每月的总利润为Q元.
(1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元
解:由题意,得当40≤x≤50时,
Q=60(x-30)=60x-1 800.
∵k=60>0,Q随x的增大而增大,
∴当x=50时,总利润最多为60×50-1 800=1 200.
∴此时每月的总利润最多是1 200元.
(2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元
解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(50≤x≤70),
∵线段过(50,60)和(70,20).
∴解得
∴y=-2x+160(50≤x≤70).
∴每月总利润Q=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1 250.
∴当x=55时,Q取最大值为1 250.
∴当商品售价55元时,该商店每月获利最大,最大利润是1 250元.
(3)若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少
解:∵当40≤x≤50时,Q最大=1 200<1 218.
当50≤x≤70时,Q最大=1 250>1 218.
∴售价x应在50~70元之间.
∴令-2(x-55)2+1 250=1 218,
解得x1=51,x2=59.
当x1=51时,y1=-2x+160=-2×51+160=58(件),
当x2=59时,y2=-2x+160=-2×59+160=42(件).
∴若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件.
设计意图:本环节是对课内所学的知识点的加深,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.
课堂小结
设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路.
随堂小测
1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售,可卖出(600-20x)件,要使利润最大,则每件售价应定为　25　元.
2.进价为80元的某件衬衣定价100元时,每月可卖出2 000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为　y=2 000-5(x-100)　.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为　w=[2 000-5(x-100)](x-80)　.(以上关系式只列式不化简)
3.某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.
(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为　　　　件;
(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大 并求出最大利润.
解:(1)180
(2)由题意,得y=(x-40)[200-10(x-50)]=-10x2+1 100x-28 000=-10(x-55)2+2 250.
∴每件销售价为55元时,获得最大利润,最大利润为2 250元.
　　4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润
解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
=(10+2x)(84-4x)
=-8x2+128x+840
=-8(x-8)2+1 352.
∴当x=8时,w有最大值,且w最大为1 352元.
∴该工艺师生产第8档次产品,可使利润最大,最大利润为1 352元.
设计意图:进一步对本节所学知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第51页习题22.3第2题,第52页习题22.3第8题.
2.相关练习.
第2课时　二次函数与商品利润
　 运用二次函数知识解决实际问题的方法:
1.分析题意,把实际问题转化为数学问题;
2.列出函数解析式;
3.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
教学反思

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