资源简介

第3课时　实物抛物线模型问题
课时目标
1.根据实际问题找出变量之间存在的关系,列出函数关系式并确定自变量的取值范围,解决抛物线形问题.
2.经历数学建模的基本过程,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
学习重点
根据实际问题列出函数关系式并确定自变量的取值范围.
学习难点
利用二次函数图象和性质解决抛物线形问题.
课时活动设计
情境引入
生活中抛物线随处可见,教师通过多媒体展示图片,引导学生欣赏图片,感受生活中的抛物线.
现实生活中形似抛物线的情景有好多,比如喷泉,建筑,拱桥等等,我们这一节就来研究抛物线形问题.
设计意图:从学生熟悉的生活事物中导入新课,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见.
探究新知
探究　建立平面直角坐标系解答抛物线形问题
多媒体展示问题:如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9 m,水面宽是4 m时,拱顶距离水面2 m.现在想了解水面宽度变化时,拱顶距离水面的高度怎样变化.你能想出办法来吗
学生探讨后进行总结,
①建立函数模型.
②拱桥的纵截面是抛物线,所以应当是个二次函数.
③以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
多媒体展示图片.
教师引导学生确定二次函数的形式并建立合适的平面直角坐标系,进而确定函数表达式为y=-x2,其中|x|是水面宽度的一半,y是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶距离水面高度怎样变化.
由于拱桥的跨度为4.9 m,因此自变量x的取值范围是-2.45≤x≤2.45.
问:现在你能求出水面宽3 m时,拱顶距离水面多少米吗
解:水面宽3 m时,x=,从而y=-×=-=-1.125,
∴拱顶距离水面1.125 m.
设计意图:通过实际问题让学生经历数学建模的基本过程,学习和探究抛物线形问题,通过提问,让学生积极参与到本节的学习中来.
新知讲解
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么 教师通过多媒体给出答案.
设计意图:归纳总结,梳理知识,明确本节的内容,进而达成教学目标.
典例精讲
例1　图中是抛物线形拱桥,拱顶距离水面2 m,水面宽4 m,水面下降1 m时,水面宽度增加了多少
解法一:如下图所示,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.
∵拱桥距离水面2 m时,水面宽4 m.
∴抛物线过点(2,-2).
∴-2=a×22,
∴a=-.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-x2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-3,这时有-3=-x2,解得x=±.
这时水面宽度为2 m.
∴当水面下降1 m时,水面宽度增加了(2-4)m.
解法二:如下图所示,以拱桥抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2+c.
∵抛物线的顶点为(0,2),∴y=ax2+2.
∵水面宽4 m,
∴抛物线过点(2,0),0=a×22+2,a=-.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-x2+2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1,这时有-1=-x2+2,解得x=±.
这时水面宽度为2 m.
∴当水面下降1 m时,水面宽度增加了(2-4)m.
解法三:如图所示,以拱桥和水面的两个交点的连线为x轴,以其中的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.
∵抛物线的顶点为(2,2),
∴设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)2+2.
∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-2)2+2.
∴a=-.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-(x-2)2+2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1,这时有-1=-(x-2)2+2,解得x1=2-,x2=2+.
这时水面的宽度为x2-x1=2(m).
∴当水面下降1 m时,水面宽度增加了(2-4)m.
设计意图:通过例题讲解,规范解题步骤,让学生感受数学的严谨性.加深对新知识的理解与掌握.通过一题多解感受抛物线(形)与函数解析式(数)的对应关系.
巩固训练
如图,一名运动员在距离篮球圈4 m(水平距离)远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈,已知篮球的运动轨迹为抛物线,当篮球水平运动距离为2.5 m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5 m,如果篮圈距离地面3.05 m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米
解:如图,建立直角坐标系.
则点A的坐标是(1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为点B(0,3.5),点C表示运动员投篮球的出手处.
设以抛物线对称轴为y轴的解析式为y=ax2+k,
∵点A,B在这条抛物线上,∴
解得k=3.5,a=-0.2.
∴该抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5.
当x=-2.5时,y=2.25.
∴该运动员出手时的高度为2.25 m.
设计意图:本环节加深对课内所学的知识点的理解,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.
课堂小结
设计意图:通过小结,归纳提升,加强学习反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.
随堂小测
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形防护栏组成的,为了牢固起见,每隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m(如图),则这条防护栏需要加设的不锈钢支柱的总长度至少为(　C　)
A.50 m　　　　　B.100 m　　　　　C.160 m　　　　　D.200 m
2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20 m,拱顶距离水面4 m.建立如图所示的直角坐标系,求出这条抛物线的解析式.
解:设抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过点(10,-4),
∴-4=100a,a=-.
∴y=-x2.
3.一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系式y=-x2+x+c,函数图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离为10 m.
(1)求铅球出手时离地面的高度;
(2)在铅球行进过程中,当它离地面的高度为 m时,求此时铅球的水平距离.
解:(1)根据题意,将(10,0)代入y=-x2+x+c,
得-102+10+c=0,解得c=.
∴函数关系式为y=-x2+x+.
当x=0,y=-×02+×0+=.
∴铅球出手时离地面的高度为 m
(2)将y=代入y=-x2+x+,得-x2+x+=.
整理,得x2-8x-9=0.
解得x1=9,x2=-1(不符合题意,舍去).
∴此时铅球的水平距离为9 m.
设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
相关练习.
1.教材第52页习题22.3第3题.
2.相关练习.
22.3　实物抛物线问题
　 运用二次函数知识解决实际问题的方法:
1.分析题意,把实际问题转化为数学问题;
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系;
3.列出函数解析式;
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题数学问题解决问题
教学反思

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