资源简介

初中数学单元作业设计
一、单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本信息
数学 九年级 第一学期 北师大版 反比例函数
单元
自然单元 重组单元
组织方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 反比例函数 第 6.1(P149-151)
课时信息 2 反比例函数图象与性质1 第 6.2(P152-154)
3 反比例函数图象与性质2 第 6.3(P154-157)
4 反比例函数的应用 第 6.3(P158-160)
二、单元分析
（一）课标要求
1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数
的表达式。
k
2、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 y （k≠0）探索并理解
x
k＞0和 k＜0时，图象的变化情况。
3、能用反比例函数解决简单实际问题。
课标在“知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，
理解函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变
化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。在“数学思考”
方面指出：通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模
型思想，建立符号意识；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证
明的过程，在多种形式的教学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力；能独立
思考，体会数学的基本思想和思维方式。
1
（二）教材分析
1. 知识网络
2.内容分析
《反比例函数》是《课标 》“数与代数”中“函数”内容的第三
部分。学生在学面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，
让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数
解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，是以后学习各类函数的基础，
它区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后复杂函数的学习以及
函数，方程，不等式间的关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要
内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本章内容有着举足轻重的地位。
本章的主要内容是反比例函数的概念、反比例函数的图象与性质以及反比例
函数的应用。教材首先从学生熟悉的几个实际问题出发，引出反比例函数的概念，
使学生逐步对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数要领的理性认识；
然后教材通过让学生回顾画一次函数图象的步骤尝试画出反比例函数的图象，再
来观察图象研究反比例函数的性质，这一过程实现了知识的迁移；最后教材安排
了利用反比例函数解决现实生活中的实际问题，充分体现了反比例函数的实际应
用价值。
2
通过本单元的学习，学生能对函数的三种表示方法进行整合，逐步形成对函
数的整体性认识；逐步提高从函数图象中获取信息的能力，提高几何直观水平；
逐步形成用函数观点处理问题的意识，进一步感悟数形结合的思想。同时也为二
次函数等内容的学习奠定基础。因此本单元的学习重点是：反比例函数的性质与
应用。
3. 学情分析
从学生的认知规律看：学生在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的
关系”和“一次函数”等内容，能用三种不同的方式表示变量间的关系，对函数
已经有了初步的认识；通过一次函数概念和一次函数图象与性质的研究，感受到
“数式通性”和研究函数的一般方法，这些学习都为反比例函数学习打下思想方
法基础。在此基础上讨论反比例函数和它的性质，进一步领悟函数的概念，并积
累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，这对后续学习（如二
次函数）会产生积极影响。
从学生的学习习惯、思维规律看：九年级（上）学生已经具有一定的自主学
习能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自
己是一个发现者、研究者和探索者。但是学生的思维方式和思维习惯还不够完善，
数学的运算能力、推理能力尚且不足。因此，应加强反比例函数与一次函数之间
联系与应用的练习，强化借助函数的图象去分析和解决问题的能力，架通学生思
维的“桥梁”，提升学生的图感、运算、推理能力。因此本单元的学习难点是：
从图象中获取信息的能力，逐步形成用函数观点处理问题的意识，进一步感悟数
形结合思想。
三、单元学习与作业目标
1.知道反比例函数的概念，会判断一个函数是否为反比例函数，能结合具体
问题确定反比例函数的表达式，并明确自变量的取值范围；通过作业练习加深对
函数概念的理解和辨析，提升学生的数感，渗透数学建模素养。
2.认识反比例函数的图象，掌握画一般函数图象的步骤，能画出反比例函数
的图象，在研究反比例函数图象的过程中，理解和掌握它的性质，并灵活运用其
性质进行相关计算。体会比例系数 k的几何意义，能解决与之有关的图形面积问
题，提升运算能力和逻辑推理能力，感悟数形结合的思想。
3
3.经历反比例函数的应用过程，能分析实际情境中两个变量之间的关系，构
建反比例函数模型，强化结合图象获取相关信息解决实际问题的能力；能求出一
次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，利用两个函数的图象求解相关方程或
不等式问题，进一步体会方程、不等式、函数之间的联系，增强学生应用数学知
识解决实际问题的能力，提升学生的数学核心素养。
四、单元作业设计思路
单元作业设计致力于为学生提供具有自主选择、不同形式的内容作业，注重
基础性和评价功能，使学生的学习潜能得到充分的体现与挖掘。所设计的基础型
作业力图学生通过学习自主参与完成，获得数学的基本知识。所设计的发展性作
业以数学课程标准为依据，在单元学习的基础上，依据学生的认知特点和本单元
的教学内容，对教学内容进行组合，由浅入深，由易到难。确定本单元的知识系
统，目的在于检查学生对数学基本知识与基本技能的理解程度，实现对学生的知
识和能力统一提升，全面实现学科素养目标。
分层设计作业。每课时均设计了“基础性作业”（面向全体，体现课标，题
量 8-11 题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性，实践性，
题量 2-6 题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
五、课时作业
第一课时（6.1 反比例函数）
4
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列选项中，所列举的两个变量之间的关系是反比例函数关系的为（ ）
A．在斜边长为 5的直角三角形中，两直角边长之间的关系.
B．在等腰三角形中，顶角度数与底角度数之间的关系.
C．圆的面积 S与它的直径 d之间的关系.
D．面积为 20cm2的菱形，一条对角线长 y（cm）与另一条对角线长 x（cm）
之间的关系.
（2）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A y k B y 3x+2 C x y 2 D y 2． ＝ ． ＝ ． ＝﹣ ． ＝
x x 1
2
（3） 已知点 A（﹣2，a）在函数 y 的图象上，则 a的值为（ ）
x
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
（4） 已知 y是 x的反比例函数，且当 x＝2时，y＝﹣3，则该反比例函数的表达
式是（ ）
A．y＝6x B y 1 C y 1 6． ＝ ． ＝ D．y＝
6x x x
（5）已知 y与 x+1成反比例函数，且当 x＝1时，y＝2，则当 x＝0时，y＝ ．
m 3
（6）已知 y 是反比例函数，求 m的取值范围是 ．
x
（7）已知 y是 x的函数，且对应数据如下表所示，你认为 y是 x的正比例函数还
是反比例函数？你能写出函数的表达式并补全表格吗？
x ... -3 -2 1 3 4 ...
y ... 2 4 -2
6
（8）已知反比例函数 y ．
x
①写出这个函数的比例系数，并求出自变量 x的取值范围；
②当 x＝﹣3时，求函数的值；
③当 y＝﹣2时，求自变量 x的值．
2.时间要求（15 分钟以内）
3.评价设计
5
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，通过不同形式的函数关系式的辨析，让学生进一步对反比
例函数有准确的认识与理解；第（2）题，考查函数的概念，给定一个自变量的
值都有唯一确定的函数值与之对应，加深对函数概念的理解；第（3）题，通过
两个变量不同形式的表述，让学生根据反比例函数的概念进一步去判断哪个关系
属于反比例函数关系，进一步强化对反比例函数的认识；第（4）题，通过本题
检验学生对反比例函数的表达形式的掌握情况，了解比例系数的位置，达到举一
反三的地步；第（5）题，通过对反比例函数概念的理解，运用整体的思想解决
此类问题；第（6）题，明确反比例函数的表达形式特征，掌握非零常数 m-3 的
取值范围，对反比例表达式有一个整体的认知；第（7）题，本题考查反比例函
数的几种表达形式，对于反比例函数的表达形式不是局限于一种形式，体会函数
表达式之间的互换；第（8）题，进一步体会反比例函数表达式的相应特征，感
悟变量间一一对应，同时考查学生的书写格式是否规范。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
﹣
（1）如果函数 y＝﹣3xm 3是反比例函数，那么 m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
2
（2）函数 y (a 1)x a 2是关于 x反比例函数，则 a的值是（ ）
6
A．﹣1 B．1 C．±1 D． 3
（3）如果 y与 x成正比例，z与 y成反比例，则 z与 x成 ．
（4）已知 y y1 y2，若 y1与 x 1成正比例， y2与 x 1成反比例，当 x＝0时，y
＝﹣5；当 x＝2时，y＝1．
①求 y与 x的函数关系式；
②求当 x＝﹣2时，y的值．
（5）近视镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例函数关系，已知 400 度
近视眼镜镜片的焦距为 0.25m．
①求 y与 x之间的函数关系式．
②当近视眼镜的度数 y＝500时，求近视眼镜镜片焦距 x的值．
（6）李贝说：“在如图所示的矩形 ABCD中，AB
＝6，BC＝8，P 是 BC 边上一动点，过点 D 作
DE⊥AP于点 E．设 AP＝x（x≤10），DE＝y，则 y
是 x的反比例函数．”你认为李贝说得对吗？请给
出证明.
2.时间要求（15 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
7
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题主要考查对反比例函数概念的理解，同时增强表达形式的灵
y kx 1活应用；第（2）题，考查反比例函数的表达式 在表达式中 x的次数为
-1 从而求出 a的值，且要满足 k不等于 0；第（3）题，将正比例函数与反比例
函数结合在一起，体现各种函数之间的联系性，体会各种函数之间的共性；第（4）
题，把正比例函数与反比例函数结合在一起从而让学生能够对比着理解各种不同
的函数特点，明确确定函数的关键是求非零常数 k的值；第（5）题，通过当下
最普遍的一个近视问题展开应用，进一步理解反比例函数的相关知识，从而体现
数学与生活息息相关，增强知识的应用性；第（6）题,将函数与几何图形联系在
一起，进一步拓展学生的思维，动点问题在数学中是一重点内容，考查学生的思
维能力，强化函数是刻画变量关系的一种有效的模型，逐步渗透建模思想。
第二课时（6.2 反比例函数的图象与性质（一））
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
2
（1）反比例函数 y 的图象位于（ ）
x
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限
2
（2 m 1）反比例函数 y 的大致图象（ ）
x
A． B． C． D．
（3）一个面积为 10 的矩形，若长与宽分别为 x，y，则 y与 x之间的关系用图象
可大致表示为（ ）
A． B． C． D．
8
k
（4）点（-1,4）在反比例函数 y (k 0)的图象上，则下列各点在此函数图象
x
上的是（ ）
A 1 1．(4，－1) B．(－ ，1) C．(－4，－1) D．( ，1)
4 4
k 1
（5）已知反比例函数 y ( k是常数，k 1)的图象有一支在第二象限，那么
x
k的取值范围是________．
6 6
（6）在同一个平面直角坐标系内画出函数 y 和 y x 的图象．x
3
（7）对于函数 y ，当 x 0时， y ___0，这时函数图象位于第 象限；对于
x
3
函数 y ，当 x 0时， y ___0，这时函数图象位于第 象限.
x
2
（8）对于反比例函数 y 的图像的对称性，下列说法错误的是（ ）
x
A．关于 x轴对称 B．关于直线 y=-x对称
C．关于直线 y=x对称 D．关于原点对称
（9）如图，边长为 4的正方形 ABCD的对称中心是坐标
2 2
原点 O，AB / /x，BC / / y轴，反比例函数 y 与 y
x x
的图象均与正方形 ABCD的边相交，则图中阴影部分的
面积是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
9
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第(1)(2)题，意在考查学生对反比例函数的性质的了解，结合其比例系
数可以得到相应图象的形状和位置，发展学生的数形结合的意识和能力；第（3）
题，考查反比例函数在实际生活中的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的
两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，需要注意自变
量和因变量的取值范围，渗透建模思想，提升学生的应用意识；第（4）（5）题，
需要学生根据反比例函数的比例系数的符号以及所给的自变量的取值可得函数
值，进而可得所在的具体象限，加深学生对图象的理解；第（6）题要求学生能
画出反比例函数的图象，进一步巩固和掌握画函数图象的步骤，提升学生的作图
能力；第（7）题，考查反比例函数图象上点的坐标特征及图象上的点与表达式
之间的关系，发展数形结合的能力；第(8)(9)题，考查的是反比例函数的对称性，
进而解决阴影部分面积，让学生感受数学的对称美。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的 5张卡片，
卡片上分别标有数字－3，－1，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机
抽取 1张，把抽得的数字记作 a，再从剩下的卡片中随机抽取 1张，把抽得的数
字记作b ab，则使得反比例函数 y 的图象经过第一、三象限的概率为 ．
x
k
（2）反比例函数 y (k 0)的图象如图所示，则 k的值可能是
x
( )
A． 1 B．0.5 C．1 D．2
2
（3）在同一平面直角坐标系内，画出函数 y 与函数 y=x-1 的图象，并利用函
x
数图象求它们的交点坐标.
10
1
（4）我们已经学习过反比例函数 y 的图象和性质，请你回顾研究它的过程，
x
1
运用所学知识对函数 y x 的图象和性质进行探索，并解决下列问题：
①该函数的图象大致是 ．
A． B． C． D．
②关于此函数，下列说法正确的是 ．
A．在各个象限内， y随着 x增大而减小 B．图象为轴对称图形
C．函数值始终大于 0 D．函数图象是中心对称图形
1
③写出不等式 3 0x 的解集．
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
11
ab
第（1）题，运用反比例函数的性质可知：使得反比例函数 y 的图象经
x
过第一、三象限则 ab＞0，根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能
的结果，然后直接利用概率公式求解，考查学生对反比例函数性质及概率综合运
用的能力，培养学生分析问题能力，提升运算的核心素养；第（2）题，运用函
数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断，提升学生分析问题，
解决问题的能力；第（3）题，能正确画出反比例函数和一次函数图象，加深对
这两种函数图象的形状特征的认知，领悟这两种函数交点的图象求法，提升学生
的应用意识和解决问题的综合能力，发展学生的思维能力；第（4）题，类比研
究反比例函数的步骤进一步考查函数的意义以及利用表达式研究函数的图象和
性质的一般方法，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题，培养学生
的深度学习习惯，体现学生的符号意识，抽象思维能力，提升学生的学科素养。
第三课时（6.2 反比例函数的图象与性质（二））
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）用“>”“<”填空：
7
①已知点 (-7，y1)， ( 5, y2 )在反比例函数 y 的图象上，则 y1 yx 2
；
②已知点 (5, y3)， (7, y ) y
7
4 在反比例函数 的图象上， y3 yx 4
；
7
③已知点 ( 5, y5 )， (7, y6 )在反比例函数 y 的图象上， y y .x 5 6
（2）对于反比例函数 y
3
,下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当 x＞
x
0 时，y随 x的增大而增大；③图象经过点（1，﹣3）；④若点 A（x1，y1），B（x2，
y2）都在图象上，且 x1＜x2，则 y1＜y2，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
a2 1
（3）若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y ,的图
x
象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
（4）函数 y mx m
m
（m≠0）和函数 y （m≠0）在同一坐标系内的图象可能
x
12
是（ ）
A． B． C． D．
（5）如图，直线 y ax b
k
（a 0）与双曲线 y (k 0)交于点 A（m，﹣1.5）
x
k
和点 B（﹣2，3），则不等式ax b 的解集是 ．
x
2
（6）函数 y 的图象，当 x=-2 时，y= ；当 x<-2 时，y 的取值范围
x
是 ；当 y>-1 时，x的取值范围是 .
m
（7）如图，直线 l⊥ x 轴于点 P，且与反比例函数 y1 (m 0, x 0) 及x
y n2 (n 0, x 0)的图象分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知△OAB的面积x
为 4，则 m﹣n＝ ．
第（5）题图 第（7）题图 第（8）题图
k k k
（8）如图是三个反比例函数 y 1（k1 0）、y 2（k 3x x 2
0）、y （k3 0）在 x轴x
上方的图象，由此观察得到 k1，k2，k3的大小关系（ ）.
A． k1 k2 k3 B． k3 k2 k1 C． k2 k3 k1 D． k3 k1 k2
（9）如图，直线 m∥n，AB⊥m，AB＝2，点 P是 AB 中点，点 C、D分别是直线
m、n上两个动点（不与点 A、B重合），且满足 PC⊥PD，设 AC＝x，BD＝y，则
13
y与 x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
12
（10）如图，一次函数 y kx b（k 0）与反比例函数 y (x 0)的图象交于
x
A（m，6），B（n，3）两点．
①求一次函数的解析式；
②求△AOB的面积．
2.时间要求（20 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）（2）（3）题,需要学生根据图象数形结合，掌握反比例函数的性质，
并能利用这些函数性质分析和解决问题；第（4）题，考查反比例函数和一次函
数图象共存问题；第（5）（6）题,考查学生对反比例函数图象以及性质的了解，
14
考查内容与不等式相结合，要求学生能准确找到图象中满足条件的相对应部分，
借助图象解决问题，发展学生的数形结合的意识和能力；第（7）题,考查反比例
函数比例系数 k的几何意义，需要学生准确找到对应的面积解决问题；第（8）
题，考察反比例函数比例系数 K对图象距原点位置的影响；第（9）题,考查反比
例函数的应用，对于该类问题要求学生能找出常量和变量，建立并表示函数模型，
讨论函数模型并解决实际问题，渗透建模思想，体会反比例函数是刻画数学规律
的重要模型；第（10）题,将反比例函数与一次函数相结合，借助反比例函数解
析式找到点的坐标，进而求出一次函数解析式，并利用割补法求一般三角形面积，
增强学生对这两种函数的认识，考察学生综合应用的能力。
作业 1（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图所示，点 A1, A2 , A3在 x轴上，且OA1= A1A2 = A2A3,分别过 A1, A2 , A3作
y 16轴平行线，与反比例函数 y (x 0)的图像交于点 B1 , B2 , B3 ，分别过点x
B1, B2 , B3作 x 轴的平行线，分别与 y 轴交于点C1,C2 ,C3 ,连结OB1 ,OB2 ,OB3 ,
那么图中阴影部分的面积之和为__________.
C B1 1
C B22
C B33
A1 A2 A3
第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图
m 1
（2）两个反比例函数 y (m 0)和 y 在第一象限内的图象如图所示，点 P
x x
在 y
m
的图象上，PC⊥x轴于点 C，交 y
1
的图象于点 A，PD⊥y轴于点 D，
x x
交 y
1 m
的图象于点 B，当点 P在 y 的图象上运动时，以下结论：
x x
①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形 PAOB的面积不会发生变化；③PA与
15
PB始终相等；④当点 A是 PC的中点时，点 B一定是 PD的中点；
其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
（3）如图，矩形OABC的顶点 A在 y轴的正半轴上，顶点 C在 x轴的正半轴上，
反比例函数 y
k
(k 0)在第一象限内的图象分别与边 AB、BC相交于点 D、E.
x
连结OD，OE，恰有 AOD DOE， ODE 90 ，若 OA 3，则 k 的值
是 .
y 6（4）反比例函数 的图象如图所示，请你利用其比例系数的几何意义，尝试
x
在表格中画出面积为 6的图形，如平行四边形、矩形、三角形等。
示例：
（备用图）
16
2.时间要求（15 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
第（1）题，运用反比例函数的几何意义，找到反比例函数上点到原点的线
段与到 y 轴垂线段所围成的三角形面积 ，再结合相似比与面积比的关系解决问
题；第（2）题，运用反比例函数的几何意义解决问题，考查学生综合应用的能
力，提升学生分析问题，解决问题的能力；第（3）题，通过添加辅助线，设参
数，灵活利用矩形的性质以及全等三角形的性质，找到反比例函数图象上两点的
参数坐标，建立方程，再结合勾股定理 求出参数，确定坐标，从而求出反比例
函数的系数。本道题特别注意数与形相结合解决问题，提升学生的应用意识与解
决问题的综合能力，发展学生的思维能力；第（4）题，以面积问题为依托，发
散思维，再次探究比例系数的意义。
第四课时（6.3 反比例函数的应用）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列关系是反比例函数关系是（ ）
17
A.平行四边形的一边长 a与该边上的高 h之间的关系.
B.平行四边形面积 S一定时，它的一边长 a与这边上的高 h之间的关系.
C.平行四边形的两邻边之和 a与周长 L之间的关系.
D.平行四边形的面积 S与周长 L之间的关系.
（2） 某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以6（0 km / h）的平均速度用了 4h达到目
的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v(km / h)与时间 t（h）之间的函数关系
式为（ ）
v 240 60 t 4A. B. v t 480 C. v D. v
t t t
（3）如图，一块砖的 A、B、C三个面的面积比是 5：3：1．如果 A、B、C面分
F
别向下放在地上，地面所受压强为 p1、p2、p3，压强的计算公式为 p ，其中 pS
是压强，F 是压力，S是受力面积，则 p1、p2、p3，的大小关系正确的是（ ）
A． p1 p2 p3 B． p1 p3 p2 C． p2 p3 p1 D． p3 p2 p1
b
（4） 已知 ab 0，则函数 y ax b和 y 的图像大致是（ ）
x
A． B． C． D．
（5）如图，在蓄水池排水过程中渗透着一定的数学知识：某一蓄水池的排水速
度 v(m3 / h)是排完水池中的水所用时间 t(h)的反比例函数，其图象如图所示.
①请写出点 A的实际意义 .
②请写出 v与 t的函数关系式 .
③若要5h排完水池中的水，则排水速度应为 .
18
4
（6）在同一平面直角坐标系内，一次函数 y 2x b的图象与反比例函数 y
x
的图象没有公共点，则 b的取值范围是 .
（7）如图，在△ABC中，AO=AB，点 A在第一象限，点 B在 y轴上，△ABC的
k
面积为6，反比例函数 y (k 0, x 0)的图象经过A，则k的值等于 .
x
第（5）题图 第（7）题图 第（8）题图
8
（7）一次函数 y kx b（k 0）与反比例函数 y (x 0)的图象交于 A（m，
x
8），B（4，n）两点。
①求一次函数的表达式；
8
②根据函数图像直接写出使 kx b 成立的 x取值范围；
x
③求 AOB的面积。
（9）为严防新冠病毒，某校配置消毒液喷洒于学生教室。经多次实验，测得空
气中药物浓度 y( g mL)与喷洒时间 x(h)之间的函数关系如图所示（当 4 x 10
时， y与 x成反比例）。
①根据图像分别求出空气中药物浓度上升和
下降阶段 y与 x之间的函数表达式；
②空气中浓度不低于 4( g mL)的持续时间是
多少小时？
2.时间要求（25 分钟）
3.评价设计
作业评价表
19
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，要求学生会用反比例函数的概念进行判断，加深对概念的
理解，且与实际问题相联系，让学生体会数学的应用价值；作业第（2）题，要
求学生掌握反比例函数的表达式，并能应用反比例函数的表达式表示简单的函数
关系；作业第（3）题，要求学生会用反比例函数解决实际问题，体会数学与其
他学科的联系；作业第（4）题，要求学生掌握一次函数与反比例函数的系数对
函数图象的影响，加深学生对知识综合应用的能力；作业第（5）题，综合运用
反比例函数的知识解决实际问题，意在让学生经历“实际问题——建立模型——
拓展运用”的过程，寻找实际问题中变量之间的关系，从而建立数学模型，提高
学生分析问题、解决问题的能力，同时感受数学来源于生活并服务于生活的意义；
作业第（6）题，综合运用“反比例函数”、“一次函数”图象没有公共点的条件，
来确定参数的取值范围，加深学生对两个函数有无公共点所对应的函数联立时，
所得的一元二次方程有无解的理解，提高学生运用方程的思想解决函数有无公共
点这一问题的经验，同时增强对二元一次方程（组）解法的应用，加深学生对方
程和函数的理解，体会数学知识间的联系；作业第（7）题，重在提高学生对系
数 k值几何意义的掌握，同时学会运用反比例函数表达式进行图形面积的计算，
在这一过程中，学生可以通过观察图象面积的方式，对反比例函数中 k值进行确
定，考查了学生数形结合的数学思想。作业第（8）题，要求学生会用待定系数
法求解一次函数表达式，理解一次函数与反比例函数图像交点的几何意义，会在
20
平面直角坐标系内求三角形面积；作业第（9）题，要求学生认识反比例函数图
象，会用待定系数法求解反比例函数表达式，会根据函数的横坐标代入求解纵坐
标。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
y 1 y k (k 0) y k（1）反比例函数 和 在第一象限内图像如图所示，点 P在
x x x
1
图像上， PC垂直 x轴，垂足为C，交 y 图像于点 A，
x
1
PD垂直 y轴,垂足为D，交 y 图像于点 B，已知点
x
A(m,1)为线段 PC的中点。
①求m和 k的值；
②求四边形OAPB的面积。
（2）如图， P1OA1 ， P2A1A2， P3A2A3 …
PnAn 1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、
4
P3…Pn都在函数 y (x 0)的图象上，斜边x
OA1、A1A2、A2A3… An 1An 都在 x轴上．则点
A2022的坐标是 ．
m
（3）如图，平行于 y轴的直尺边缘与反比例函 y (m 0, x 0)数的图象交于 A、
x
C两点，与 x轴交于B、D两点，连接 AC，点 A、 B对应直尺上的刻度分别为
5、2，直尺的宽度 BD 2，OB 2．设直线 AC的解析式为 y kx b（k 0）.
请结合图象，直接写出：
①点 A的坐标是 ；
②不等式 kx b
m
的解集是 ；
x
③求直线 AC的解析式．
2.时间要求（15 分钟）
3.评价设计
21
作业评价表
等级 备注
评价指标
A B C
A 等，答案正确，过程正确。
B 等，答案正确，过程有问题。
答题的准确性
C 等，答案不正确，有过程不完整，答案不准确，过程
错误，或无过程。
A 等，过程规范，答案正确。
B 等，过程不够规范，完善，答案正确。
答题的规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案错误。
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为
综合评价等级
B 等；其余情况综合评价为 C 等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，要求学生会用待定系数法求解反比例函数表达式，会在平
面直角坐标系内用割补法求四边形面积；让学生感悟数形结合的思想，提高学生
认识函数图象、分析函数图象的能力，提高学生用数学知识解决实际问题的能力，
树立建模意识；作业第（2）题，考查学生对反比例函数综合应用的能力，再次
体会数形结合的重要思想方法，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质
以及反比例函数的解析式进行求解；作业第（3）题，考查学生对函数图象的理
解，运用待定系数法确定函数解析式，并利用函数图象解决不等式解集问题，理
解函数、方程、不等式之间的联系，提升学生的核心素养。
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
2
1.已知反比例函数 y (m 1)xm 5的图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
1
A．2 B．－2 C．±2 D．
2
k
2.如图是三个反比例函数 y 1 k 0 y
k k
（ 1 ）、
2（k 0）、y 3（k 0）在 x轴上
x x 2 x 3
方的图象,由此观察得到 k1，k2，k3的大小关系（ ）
22
A. k1 k2 k3 B． k3 k2 k1 C． k2 k3 k1 D． k3 k1 k2
3.如图所示，在同一直角坐标系中，函数 y kx 1 ( k 是常数且 k ≠0)和函数
y k ( k是常数且 k ≠0)的图象只可能是（ ）
x
A． B． C． D．
4. 4 1如图所示，反比例函数 y 的图象与直线 y x的交点为 A,B,过点 A作 y
x 3
轴的平行线与过点B作 x轴的平行线相交于点C，则△ACB的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
第 2题图 第 4题图 第 6题图
5.已知 P1(x1, y
2
1)、 P2 (x2 , y2 )、 P3(x3 , y3) 是反比例函数 y 图象上的三点，且x
x1 x2 0 x3 ，则 y1、 y2、 y3的大小关系是（ ）
A． y3 y2 y1 B． y1 y2 y3 C． y2 y1 y3 D． y2 y3 y1
6.如图，点P在反比例函数 y
1
(x 0)的图象上，且横坐标为 2．若将点P先向x
右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点 P ，则在第一象限内，经
过点P 的反比例函数图象的解析式（ ）
A y 5． (x 0) B y 5． (x 0) C 6 6 ． y (x 0) D． y (x 0)
x x x x
二、填空题
7. k如果反比例函数 y ( k 是常数且 k ≠0)的图象经过点 2, 2 ，那么x
23
y k 1 x一定经过点（2， ）．
8.若变量 y与 x成反比例，且 x 2时， y 3，则 y与 x之间的函数关系式是
________，在每个象限内函数值 y随 x的增大而_________.
9. 4若点 A(m, 2)在反比例函数 y 的图像上，则当函数值 y 2时，自变量 x
x
的取值范围是___________.
10.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积 V
时，气体的密度ρ也随之改变．在一定范围内，密度ρ是容积 V的反比例函数．当
容积为 5m3时，密度是 1.4 kg /m3，则ρ与 V的函数关系式为_________．
三、解答题
11.如图，一次函数 y x b的图象过点B( 1,0)，
k
且与反比例函数 y ( k是常数且 k ≠0)的图象
x
在第一象限交于点 A(1,n)．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②当1 x 6时，写出反比例函数 y的取值范围．
8
12.如图，反比例函数 y 与一次函数 y x 2的图象
x
交于 A、B两点．
①求 A、B两点的坐标；②求△AOB的面积；
③观察图象回答：当一次函数值大于反比例函数值时，
x的取值范围．
13.模具厂计划生产面积为 4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已
经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
4
设矩形相邻两边的长分别为 x, y,由矩形的面积为 4，得 xy 4，即 y ；由周长
x
m
为m，得2(x y) m，即 y x 满足要求的 (x, y)应是两个函数图象在第一
2
24
象限内交点的坐标．
（2）作函数图象
4
①当反比例 y (x 0) 的图象与直线
x
y m x 有唯一交点 (2,2)时，周长m的
2
值为_______；
②交点个数还有哪些情况 请写出交点个数
及对应的周长m的取值范围．
（3）解决问题
③若能生产出面积为 4的矩形模具，则周长m的取值范围为_________.
（二）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 填空题 1、2 √ 较易 选编
2 填空题 2 √ 较易 选编
3 填空题 2、3 √ 中等 改编
4 填空题 2 √ 中等 选编
5 填空题 2 √ 中等 改编
6 选择题 2、3 √ 较易 原创
7 填空题 1、3 √ 中等 改编
30 分钟
8 填空题 1、2 √ 较难 改编
9 填空题 1、2 √ 较难 改编
10 填空题 3 √ 中等 选编
11 解答题 2、3 √ 较难 改编
12 解答题 3 √ 中等 选编
13 解答题 2、3 √ 较难 改编
25

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