资源简介

初中数学单元作业设计
一、单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本
锐角三角
信息 数学 九年级 第二学期 人教版
函数
单元
组织 自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 正弦函数 第 28.1(P61-64)
2 余弦、正切函数 第 28.1(P64-65)
课时 3 特殊角的三角函数 第 28.1(P65-67)
4 一般角的三角函数值 第 28.1(P67-68)
信息
5 解直角三角形 第 28.2(P72-74)
6 解直角三角形在实际中的一般应用 第 28.2(P74-75)
7 利用解直角三角形解含视角的应用 第 28.2(P75-76)
8 利用解直角三角形解含方位角、坡角的应用 第 28.2(P76-77)
二、单元分析
（一）课标要求
了解锐角三角函数的概念，掌握 30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，学会用
计算器求锐角的三角函数值，理解解直角三角形的基本原理，并能够正确应用锐角三角
函数解决一些简单的实际问题。
课标在“知识技能”方面指出：探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，
同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，全面掌握直角三角形的组成要素之间的
关系，掌握解直角三角形的能力。在“数学思考”方面指出：通过用综合运用锐角三角
函数、勾股定理、相似三角形等知识，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，
培养学生的推理能力、运算能力和数学建模等能力。
（二）教材分析
1.知识网络
2.内容分析
《锐角三角函数》一章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），
以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效
的工具，解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用，这也为学习锐角三角函数提供了
理论联系实际、知识服务生活的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一
些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾
股定理等是学习本章的直接基础。
本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本
章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之
间对应的函数关系，理解这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号，如
sin A 、cos A、tan A表示函数等，学生过去没有接触过，因此有一定的难度，只有正确
掌握锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中五个元素（两锐角、三条边）之
间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
（三）学情分析
学生学习了函数、四边形、相似三角形和勾股定理的知识，掌握了直角三角形各边、
各角之间的关系和函数的基本概念，能够利用勾股定理解决有关直角三角形的问题，具
备了一定的逻辑思维能力和推理能力，为锐角三角函数的学习提供了研究的方法。但在
本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学不易理解，学生很难想到在直
角三角形中，对于任意的锐角，它的对边、邻边和斜边的比值也是固定的实事。教师需
要引导学生通过比较、分析、得出结论。
解直角三角形是运用勾股定理、两个锐角互余以及锐角三角函数等知识，解决直角
三角形的边、角问题，既是前面所学知识的综合运用，也是高中继续学习三角函数和解
一般三角形的重要预备知识，蕴含着深刻的数学思想方法。因此，本章内容起承上启下
的作用，承上，使学生对锐角三角函数有更深的理解、对直角三角形有较为完整的认识；
启下，通过对本章的学习为后面的知识打下基础。同时，解直角三角形在生活实际中应
用非常广泛，因此“选择合适的关系式解直角三角形”是学习解直角三角形的难点。
三、单元学习与作业目标
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A 、cos A、tan A），
能够应用 sin A 、cos A、tan A表示直角三角形中两边的比。
2．知道 30°、45°、60°角的三角函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出
这个角；会使用计算器，由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值，求它的对
应锐角。
3．理解直角三角形中边与边之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直
角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形的有关
知识解决简单的实际问题，体会数学的应用价值。
四、单元作业设计思路
分层设计作业。每课时均设计“作业目标”“知识梳理”“基础性作业”（面向全体，
体现课标，题量三题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践
性，题量三题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：
第一课时（28.1（1）正弦函数）
作业目标：
1.能够在直角三角形中通过边长求出某个角的正弦函数值.
2.能够在非直角三角形中通过画辅助线构造所需的直角三角形.
核心素养：运算能力、推理能力、模型观念
知识梳理：
知识点 1 直角三角形的性质
1.直角三角形两个锐角 .
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
3.在直角三角形中，30 的角所对的直角边是斜边的 .
4.在直角三角形中，三边关系： .
知识点 2 正弦函数的概念
在 Rt ABC 中，∠C =90°，就把锐角 A的 与 的比叫∠ 的正弦，
记作 ，即 sin A = ．例如，当 A 30 时，我们有 sin A sin 30 = ；
当 A 45 时，我们有 sin A sin 45 = ．
知识点 3 注意事项
1. sin A 是在直角三角形中定义的， A是锐角.
2. sin A 是一个比值（数值），所以没有单位.
3. sin A 的大小只与 A的大小有关，而与直角三角形边长无关.
4.当用一个字母表示角时，习惯省略角的符号“ ”，如：sin A .当用三个
字母表示角时，角的符号“ ”不能省略，如必须写成 sin∠ABC .
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）在平面直角坐标内有一点 P （6，8），OP 与 x 轴正半轴的夹角为 ，则
sin 的值为_______，若 P 的坐标为（8，6），则sin 的值为_______.
（2）己知在 ABC 中， C 90 ，若 AB ＝5，BC ＝4,则 sin A =_____．
1
若 AB ＝6， BC ＝4,则 sin A =_____.若 sin A ，那么锐角 A =_____.
2
（3）已知一个菱形有一个内角为 120°，周长为 16cm，求这个菱形的面积．
2.时间要求（10分钟以内）
3评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确，书写规范.
书写表达的
B 等，答案正确，书写有问题.
规范性
C 等，答案不正确，书写错误.
解答过程的 A 等，过程完整，答案正确.
完整性 B 等，过程有欠缺，答案正确.
C 等，过程不正确，答案错误.
A 等，直观规范，作图正确.
直观作图的
B 等，缺少相应标注，作图正确
实践能力
C 等，不直观，作图错误
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生了解正弦函数的定义，通过数学运算并能在坐标轴
上画出直角三角形并解答；作业第（2）题要求学生在正弦函数的定义基础上与
勾股定理结合，求出第三条直角边的值，再求正弦函数值、灵活的反向运用正弦
函数，通过正弦函数的值求出直角三角形的某个角度，此题难度不高，对学生思
维灵活性有很大帮助；作业第（3）题运用以前的方法也可以求解，但是比较麻
烦，通过数学建模添加辅助线，构造直角三角形，解题过程简洁方便.
5.作业解析
4 3
（1） ， ；
5 5
4 2
（2） ， ，30
5 3
（3）解:如图所示，作 AE BC 于点 E
A
∵四边形 ABCD为菱形，周长为 16cm， BCD 120 °
∴ AB BC 4 cm， B 60
B D
3
∴ AE AB sin 60 4 2 3 cm E
2
C
∴菱形的面积 BC AE 4 2 3 8 3 （ 2）
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）在 Rt ABC 中， C 90 ，若将三边同时扩大到原来的 3倍，则 sin A 如何
变化？
3
（2）在 ABC中， C 90 ， sin A= ，则 sin B 等于________．
5
（3）定义概念：如图，在 Rt ABC 中，锐角α的斜边与对边的比叫做角α的余割，
AB
记作csc ，即 csc ，根据上述角的余割的概念，解答下列问题：
BC
B
在 Rt ABC 中，①当 AC 12， AB 13时，求csc 的值.
②当 30 ， AB 20 时，求 BC 的值.

2.时间要求（15分钟以内） A C
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，掌握很好，答案正确
基本知识的
B 等，掌握不牢靠，答案不全对.
掌握程度
C 等，掌握不正确，答案错误.
A 等，合情合理，答案正确.
逻辑推理的
B 等，推理不清晰，答案正确.
合理性
C 等，推理不正确，答案错误.
A 等，类比应用准确，答案正确.
知识迁移的
B 等，会类比，应用不准确.
应用能力
C 等，不会类比应用，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生概念清晰，体会锐角三角函数值的大小与边的长短
无关，渗透函数思想；作业第（2）题通过已知角的正弦函数值求出三边的比，
从而求出未知角的正弦函数值；作业第（3）题在正弦函数概念的基础上，引入
新概念“余割”的定义，培养学生知识迁移能力.
5.作业解析
（1）不变；
4
（2）
5
AB 13
（3）解：①由勾股定理得 BC 5 ∴ csc
BC 5
②∵ 30 ， AB 20 ，且 BCA 90 ∴BC 10
第二课时（28.1（2）余弦、正切函数）
作业目标：
1.通过直角三角形边长或三边关系，求出某个角的余弦、正切函数值.
2.能够在非直角三角形中构造直角三角形，求出所需的三角函数值.
3.能够通过正弦函数值，求某个角的余弦函数值，从而发现正弦、余弦之间
的关系.
核心素养：运算能力、数据观念、推理能力、模型观念
知识梳理：
知识点 1 余弦
1.正弦、余弦的本质都是两条线段长度的比值，是数值，没有单位，只与角
的大小有关．
a
2.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以有0＜ ＜1，
c
b
0＜ ＜1，所以0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
c
3.根据正弦、余弦的概念，我们既可以求锐角的正弦值、余弦值，也可以根
据已知正弦值、余弦值求线段的长．
知识点 2 正切
1.当锐角 A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与
邻边的比值总是一个定值，即锐角的大小一定时，其正切值是一定的．
2. tan A 是一个完整的符号，它表示∠A的正切，一般习惯省去角的符号
“∠”．当用三个大写字母表示一个角，并表示它的正切时，角的符号“∠”不
能省略，如 tan∠BAC .
3.明确“对边”与“邻边”都是对直角三角形中的直角边而言的，并要指明
是哪一个角的“对边”与“邻边”．
4.正切的本质是直角三角形两条直角边的比值，它是数值，没有单位，其大
小只与角的大小有关，而与其所在的直角三角形无关．在直角三角形中，各边长
均是正数，于是 tan A＞0 .
5. 2 2 2tan A表示 (tan A) ，而不能写成 tan A .
知识点 3 锐角三角函数
1.定义：对于锐角 A的每一个确定的值， sin A 有唯一确定的值与它对应，
所以 sin A 是∠A的函数．同样地，cos A、 tan A也是∠A的函数．即锐角 A的正
弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
2.性质：①0＜sin A＜1，且 sin A 随锐角 A增大而增大；②0＜cos A＜1，
且 cos A随锐角 A增大而减小；③ tan A＞0，且 tan A随锐角 A增大而增大．
注意：锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角 x的大小有关，sin x 、
cos x， tan x 都是以锐角 x为自变量的函数，当 x 确定后，它们的值都是唯一确
定的．锐角三角函数值随角度的变化而变化.锐角三角函数都不可取负值．
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）①在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 4， AB 5，则 cos B的值是______.
2
②在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 4， cos B ，则 AB 的长为______.
3
3
③在 Rt ABC 中， C 90 ， sin A ，则 cos B的值为______.
4
（2）在 Rt ABC 中， C 90 ，BC 3AC ，则 cos A ____, tan A ____.
（3）在 Rt ABC 中， C 90 ， AC 7 ，BC 24 .
①求 AB 的长；②求 sin A , cos A, tan A的值.
2.时间要求（15分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，掌握很好，答案正确
基本知识的
B 等，掌握不牢靠，答案不全对
掌握程度
C 等，掌握不正确，答案错误
数据处理的 A 等，数据使用合理，计算正确
科学性 B 等，数据使用不简洁，计算正确
C 等，数据使用不正确，计算错误
A 等，直观规范，作图正确
直观作图的
B 等，缺少相应标注，作图正确
实践能力
C 等，不直观，作图错误
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生能正确理解余弦函数的定义、掌握正弦和余弦之间
转换关系，合理分析数据；作业第（2）题要求学生利用边的比例关系，正确掌
握正弦、余弦、正切的定义并写出表达式，利用比例关系求出锐角三角函数值；
作业第（3）题与八年级的勾股定理结合，从而求出锐角三角函数值.
5.作业解析
4 3 10
（1）① ，② 6，③ ；（2） ，3
5 4 10
（3）①由勾股定理得 2 2AB BC AC 25
24② sin A ,
7 24
cos A , tan A
25 25 7
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图所示，在 ABC 中， C＝90 ，点 D在 BC 上， BD 4， AD BC，
3
cos∠ADC . 求：①DC 的长；② sin B 的值．
5
（2）如图所示，在等腰 ABC 中， AB AC ，如果 2AB 3BC ，求 B的三角
函数值．
3
（3）如图，在 ABC 中，CD AB ，垂足为D .若 AB 12，CD 6，tan A ，
2
求 sin B cos B 的值.
（1） （2） （3）
2.时间要求（15分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
解答过程的 A 等，过程完整，答案正确
完整性 B 等，过程有欠缺，答案正确
C 等，过程不正确，答案错误
A 等，合情推理，答案正确
逻辑推理的
B 等，推理不清晰，答案正确
合理性
C 等，推理不正确，答案错误
A 等，直观规范，作图正确.
直观作图的
B 等，缺少相应标注，作图正确
实践能力
C 等，不直观，作图错误
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生利用余弦函数定义，假设未知量，通过数学运算，
数据分析求解题目，利用方程思维解决问题，有助于提高学生函数的认知以及方
程思想的运用；作业第（2）题要求学生通过添加辅助线，构造直角三角形，再
通过假设未知数以及勾股定理求解；作业第（3）题通过正切函数的定义，求出
相应的边，再利用正弦和余弦函数的定义求解，通过灵活变化，加强学生认知.
5.作业解析
DC 3
（1）解：(1)在 Rt ACD 中，cos∠ADC ＝ ＝ ，设DC ＝3k ，则 AD ＝5k .
AD 5
∴ AC ＝ 2 2AD DC ＝ 2 2(5k) (3k) ＝ 4k .
∵ AD＝BC ，∴ 4＋3k＝5k .∴ k＝2.∴DC＝6 .
(2)由(1)知 AC＝8，BC＝10，
AC 8 4 41
∴ AB ＝ 2 2 2 2BC AC ＝ 10 8 ＝2 41. ∴ sin B ＝ ＝ ＝ .
AB 2 41 41
（2）解：如图所示，过点 A作CD AB 于点D .
AB 3
∵ AB＝AC ，∴BD＝DC . 又∵ 2AB＝3BC ，∴ ＝ .
BC 2
设 AB＝AC＝3k k 0 ，则 BC＝2k .
∴ BD＝CD＝k ，∴ AD＝ 2 2AB BD ＝ 2 2(3k) k ＝2 2 k.
AD 2 2 BD 1 AD
∴ sin B ＝ ＝ ， cos B＝ ＝ ， tan B ＝ ＝2 2 .
AB 3 AB 3 BD
（3）解：在 Rt ACD 中，∵ ADC＝90 ，
CD 6 3
∴ tan A ．∴ AD＝4．∴BD＝AB－AD＝12－4＝8 ．
AD AD 2
在 Rt BCD 中，∵ BDC＝90 ，BD＝8，CD＝6，
∴ 2 2BC ＝ BD CD ＝10，
CD 3 BD 4 3 4 7
∴ sin B ， cos B ，∴ sin B cos B= ＋ ＝ .
BC 5 BC 5 5 5 5
第三课时（28.1（3）特殊角的三角函数值）
作业目标：
1.能够熟练掌握 30°、45°、60°角所对应的正弦、余弦、正切函数值.
2.能够通过特殊角的三角函数值求出相应角的度数.
3.能够进行简单的含三角函数值的化简与计算.
核心素养：运算能力、数据观念、推理能力、几何直观
知识梳理：
知识点 1 识图记忆法，如图所示．
知识点 2 列表记忆法
知识点 3 规律性
1.在0 ～90 之间，锐角 A的正弦值随 A的增大(减小)而增大(减小)．
2.在0 ～90 之间，锐角 A的余弦值随 A的增大(减小)而减小(增大)．
3.在0 ～90 之间，锐角 A的正切值随 A的增大(减小)而增大(减小)．
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）计算
① 3tan 60
② 2sin30 ＋sin 45
③ 2cos 45 ＋tan60 sin60
④ 2 2cos 45 ＋sin 45
3
（2）在锐角 ABC 中， A 75 ， sin C ，则 B =_____.
2
（3）如图，在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， B 90 ，
C 45 ， AD 1， BC 4，求CD的值．
2.时间要求（15分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，掌握很好，答案正确
基本知识的
B 等，掌握不牢靠，答案不全对
掌握程度
C 等，掌握不正确，答案错误
A 等，数据使用合理，答案正确
数据处理的
B 等，数据使用不简洁，答案正确
科学性
C 等，数据使用不正确，答案错误
A 等，解法有创意，答案正确
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题四个小题都是直接带入特殊角的三角函数值求解，正确运用
数据展开运算，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值；作业第（2）题已知特
殊角的三角函数值，求原角的度数，再利用三角形的内角和求解；作业第（3）
题本身没有直角三角形，需要学生构造直角三角形，再运用三角函数定义求解，
考查学生综合运用能力.
5.作业解析
（1）① 3 ② 1 ③ 2 ④ 1；（2）45°
（3）解：过点D作DE BC 于 E ．∵ AD∥BC ， B 90 ，
∴四边形 ABED 是矩形．∴ AD BE 1．
∵ BC 4，∴CE BC BE 3． E
CE 2
∵ C 45 ，∴ cosC ，∴CD 3 2 ．
CD 2
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）计算：
1
1
① 018 2cos 45 ( 1)
3
② 2 1 2 2sin 30 ( 3) (tan 45 )
2
2 a 6a 9
（2）化简求值： (1 ) ，其中 a 3 tan 60
a 1 a 1
（3）已知 为锐角，且 tan 是方程 2x 2x－3 0的一个根.
求 2 22sin cos 3 tan( 15 ) 的值.
2.时间要求（15分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确，书写规范
书写表达的
B 等，答案正确，书写有问题
规范性
C 等，答案不正确，书写错误
A 等，数据使用合理，答案正确
数据处理的
B 等，数据使用不简洁，答案正确
科学性
C 等，数据使用不正确，答案错误
A 等，过程完整，答案正确
解答过程的
B 等，过程有欠缺，答案正确
完整性
C 等，过程不正确，答案错误
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题在三角函数值的基础上融入了整数次幂、二次根式等知识，
考查形式与安徽中考题型相近，增进学生学习自信心；作业第（2）题将三角函
数与分式化简求值结合，要求学生具备先化简再代入求值的解题思路，合理运用
数据，避免复杂计算；作业第（3）题先利用二次函数求解，分析合理取值，然
后再代入所求式子求值，体现知识关联性.
5.作业解析
2
（1）①解：原式＝ 3 2 2 3 1 2 2 2 .
2
1
②解：原式＝ 2 2 3 1 1 .
2
2
a 1 2 (a 3) a 3 a 1 1
（2）解：原式= .
2
a 1 a 1 a 1 (a 3) a 3
1 3
∵ a 3 tan 60 3 3 ，∴原式= .
3 3 3 3
（3）解：解方程 2x 2x－3 0得 x 3, x 11 2 .
∵ 为锐角，∴ tan ＞0 .
∵ tan 是方程的一个根，∴ tan =1，即 =45 .
∴原式 2 2=2sin 45 cos 45 3 tan(45 15 )
2
（ ）2
2
（ ）2
3
=2 + 3 3 .
2 2 2
第四课时（28.1（4）一般角的三角函数值）
作业目标：
1.掌握科学计算器的用法.
2.理解并记忆特殊角以及一般角的三角函数值.
核心素养：运算能力、数据观念、应用意识
知识梳理：
知识点 1 用计算器求已知锐角的三角函数值
利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为先按 键或 或
键，再按角度值，最后按“＝”键就可以得出相应三角函数值.
知识点 2 已知锐角的三角函数值，用计算器求出相应的锐角
已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序为先按 键，再按
“ sin ”键或“cos”键或“ tan ”键，然后输入 .最后按“＝”键就可求
出相应角度.
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）一个人从山脚下的 A点出发，沿山坡小路 AB 走到山顶B 点.已知坡角
A为 20 ，山高 BC 2千米,用科学计算器计算小路 AB 的长度, 下列按
键顺序正确的是（ ）.
A . 0 = B . 2 × 0 =
C . 0 = D . × 0 =
2
（2）若锐角 满足 cos 且 tan 3 ，则 的取值范围是（ ）
2
A.30 45 B.45 60 C.60 90 D.30 60
B
（3）如图，有一滑梯 AB ，其水平宽度 AC 为5.3m，铅直高度
BC 为 2.8m , ACB=90 ,求 A的度数.（用计算器计算，
结果精确到0.1 ）
A C
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B 等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C 等，掌握不正确，答案错误.
A 等，过程完整，答案正确
解答过程的
B 等，过程有欠缺，答案正确
完整性
C 等，过程不正确，答案错误
A 等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B 等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C 等，数据使用不正确，计算错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是会使用计算器，要求学生掌握计算器求三角函数值的使用
方法；作业第（2）题要求学生掌握特殊角的三角函数值，体会锐角三角函数值
与锐角的变化规律；作业第（3）题要求学生会根据图形列式解题，正确使用计
算器解决问题.
5.作业解析
BC
（1） A 解：根据题意，在 Rt ABC 中, sin BAC=sin20 =
AB
BC
AB 2 sin 20
sin 20
用科学计算器按键顺序为 2 ， ， s in ， 2 0 ， = ， 故选 A .
2 2
（2） B 解： 是锐角 cos 0 cos 0 cos
2 2
2
cos90 0,cos 45 45 90
2
是锐角 tan 0 tan 3 0 tan 3
又 tan 0 0, tan 60 3 ∴0 60 45 60 ，故选 B .
BC 2.8
（3）解：由题意知：在 Rt ABC 中， tan A= 0.5283
AC 5.3
A 27.8 答： A的度数约为 27.8
作业 2（发展性作业）
1．作业内容
（1）利用计算器求下列各角（精确到1 ）
① sin A 0.75,求 A的度数；
② cos B 0.8889 ,求 B的度数；
③ tan C 45.43,求 C 的度数. A
4cos sin
（2）已知 tan =2 ,求 的值. 50°
2cos sin 80cm 60cm
（3）如图一块三角形钢板，已知两边长及夹角，求这块钢板
的面积.（精确到 21cm ,参考数据: sin 50 0.7660 ）
B
C
2.时间要求（15分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B 等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C 等，掌握不正确，答案错误.
解答过程的 A 等，过程完整，答案正确
完整性 B 等，过程有欠缺，答案正确
C 等，过程不正确，答案错误
A 等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B 等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C 等，数据使用不正确，计算错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题在计算器求三角函数值的使用上,融入了角度里面度分秒的换
算以及精确度等概念，提高学生的理解能力；作业第（2）题化简求值，主要运
用了切化弦或者弦化切的方法，考查学生灵活运用三者之间的关系进行解题；作
业第（3）题利用三角函数中的边角关系，求对应边的高，进而利用面积公式求
面积，需要学生不仅对本课时知识理解透彻，解决实际问题.
5.作业解析
（1）① A 48 35 ② B 27 16 ③ C 88 44
sin
（2）解： tan =2 ∴ =2 即 sin 2cos
cos
4cos 2cos 2cos 1
∴原式= =
2cos 2cos 4cos 2
（3）解：过点C 作CD AB 于点D .
CD
∵在 Rt ADC 中， sin A=
AC
∴CD AC sin A 60 sin 50
1 1
∴ 2S AB CD 80 60 sin 50 1838 cm
ABC
2 2
第五课时（28.2（1）解直角三角形）
作业目标：
1.掌握解直角三角形的定义.
2.会运用解直角三角形，通过已知元素求解求未知元素.
核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观
知识梳理：
知识点 1 在直角三角形中，除了直角外，还有 个锐角、 条边，共五个
元素，由已知元素求未知元素的过程就是 .
知识点 2 解直角三角形的依据，如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，则有：
（1）三边之间的关系： ； A
（2）两锐角之间的关系： ；
（3）边角之间的关系：
sin A= , sin B= ；
cos A= , cos B= ； C B
tan A= , tan B= .
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下面直角三角形中,不能解直角三角形的是（ ）.
A.已知一直角边和它所对的锐角 B.已知直角和斜边
C .已知两条直角边 D.已知斜边和一锐角
（2）在 Rt ABC 中， C 90 ,sin A=0.8，AC 6cm ,则BC 的长度为（ ）.
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
（3）在 Rt ABC 中, C 90 ,根据下列条件解直角三角形.
① A 60 ,b 10 3 ； ② c 2 3,b 3；
③ a 6,b 2 ; ④ c 3 2, B 45 .
2.时间要求（15分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C等，掌握不正确，答案错误.
A等，合情推理，答案正确.
逻辑推理的
B等，推理不清晰，答案正确.
合理性
C等，推理不正确，答案错误.
A等，过程完整，答案正确.
解答过程的
B等，过程有欠缺，答案正确.
完整性
C等，过程不正确，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是对解直角三角形概念的理解；作业第（2）题考查学生对解
直角三角形和勾股定理的综合应用；作业第（3）题 4小题本身没有直角三角形，
需要学生画出直角三角形，通过几何直观，运用解直角三角形的方法求解，要做
到三角形的未知元素不遗漏.
5.作业解析
（1） B
BC
（2）C 解析 在 Rt ABC
2 2 2
中， sin A= 0.8，AC BC AB
AB
2 2 2
设BC=4x, AB 5x, 6 + 4x 5x 解得 x 2或x 2
BC=4x 8cm
（3）解 ① B 30 ，a 30,c 20 3 ② a 3, A 30 , B 60
③ c 2 2, B 30 , A 60 ④ A 45 ,a 3,b 3
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
3
（1）①在 Rt ABC 中， C 90 ，sin A ，c 3 ，则b ；
4
2
②在 Rt ABC 中, C 90 ，cos B ，则 a : b : c .
3
A
1 2
（2）如图， AD是 ABC的中线， tan B ，cosC ，AC 2 ，
5 2
①求 BC 的长；
B
D C
②求 ADC的正弦值.
（3）如图，D是 ABC的 BC 边上一点，连接 AD ，作 ABD 的外接圆，将 ADC
C
沿直线 AD折叠，点C 的对应点 E 落在圆上.
D E
①求证： AE AB ;
1
②若 CAB 90 ，cos ADB ，BE 2，求BC 的长.
3
2.时间要求（15分钟以内） A B
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确，书写规范.
书写表达的
B等，答案正确，书写有问题.
规范性
C等，答案不正确，书写错误.
A等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C等，数据使用不正确，计算错误.
A等，直观规范，作图正确.
直观作图的
B等，缺少相应标注，作图正确.
实践能力
C等，不直观，作图错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题两个小题都是直接带入解直角三角形公式求解，学生可以通
过直观作图，考查学生对各三角函数表达式的掌握情况；作业第（2）题本身没
有直角三角形，需要学生添加辅助线，构造出直角三角形，再利用解直角三角形
及勾股定理进行解答；作业第（3）题第一小题考查翻折问题的有关知识、圆的
有关性质，第二小题考查的是作图能力，构造直角三角形，灵活运用三角函数及
圆解决问题.
5.作业解析
21 a 3 3 3
（1）① 解析：在 Rt ABC 中， sin A ,c 3 a
4 c 4 4
2
2 3 3 21
在 2 2Rt ABC 中应用勾股定理得：b c a 3
4

4
a 2
② 2 : 5 : 3 解析：在 Rt ABC 中, cos B
c 3
设a=2k,c 3k，其中k 0，由勾股定理得
2 2 2 2
b c a 3k 2k 5k
a :b : c 2k : 5k : 3k 2 : 5 : 3
（2）解 ①：过点 A作 BC AH 于点H .在Rt ABH 中，
CH 2 2 2
AC 2,cosC CH 1, AH AC CH 1
AC 2
AH 1
在 Rt ABH 中， tan B BH 5 BC BH CH 6
BH 5
② AD 是 ABC 的中线 BD CD BC 6 CD 3, DH 2
2 2
AD AH DH 5
AH 5 5
在 Rt ADH 中, sin ADH ADC 的正弦值为
AD 5 5
（3）证明：
①由折叠的性质可知 ADE ADC AED ACD, AE AC
AED ABD ABD ACD AB AC AB AE
②过点 A作 AH BE于点H ,
AB AE, BE 2
BH EH 1, ABE AEB
1 1
又 ADB AEB, cos ADB cos ABE cos ADB
3 3
BH 1
AB 3
AB 3
BAC 90 2 2 BC AB AC 3 2
第六课时（28.2（2）解直角三角形在实际中一般应用）
作业目标：
1.掌握解直角三角形在实际生活中的一般应用.
2.培养学生数学知识的应用意识.
核心素养：运算能力、几何直观、应用意识、模型观念
知识梳理：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
①通过几何图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题；
②根据条件，选用适当的锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角
三角形；
③得到数学问题的答案；
④转换成实际问题的．
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，在 ABC 中, C 90 ,点D 在 BC上，CD 3， AD BC ,
3
且 cos ADC ，则BD的长是( )
5
A．4 B ．3 C ．2 D ．1
（2）如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A同
侧的河岸边选定一点C ，测出 AC a 米， A 90 ， C 40 ，则 AB 等
于( )米．
A． a sin 40 B ． a cos 40
a
C ． a tan 40 ° D ．
tan 40
（3）如图，在地面上的点 A处观察树顶B ，若 75 ， AC 6 米，则树高BC
为( ).
6
A． 6sin 75 米 B ． 米
cos75
6
C ． 米 D ．6 tan 75 米
tan75
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C等，掌握不正确，答案错误.
A等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C等，数据使用不正确，计算错误.
A 等，解法有创意，答案正确.
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确.
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析和设计意图
作业第（1）题要求学生在直角三角形中利用余弦概念，解决几何问题；第
（2）题和第（3）题都是锐角三角函数在实际生活中应用，学生需要在情境问题
中抽象出几何问题，培养数学建模及知识的应用能力，同时考查学生对正弦、余
弦、正切的正确运用.
5.练习解析
（1）C 解：在

Rt ADC 中， C 90 ,CD 3 ,
CD 3 3
cos ADC , AD 5
AD AD 5
AD BC 5, BD BC CD 2 ，故选C .
（2）C 解： 在

ABC 中， AC a米， A 90 , C 40 ,
AB
tan C tan 40 . AB a tan 40 . AB a tan 40 m，故选C .
AC
BC
（3）D 解： BC AC, AC 6米， BAC , tan ，
AC

BC AC tan 6 tan 6 tan 75（米）.故选D .
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小
山的另一边同时施工，从 AC 上的一点B ，取 A B D = 1 4 5 ，
BD 500米， D 55 ，那么为了使 A、C 、 E 成一直线，
开挖点 E离D的距离应为______米.
（2）已知学校阅读角规划成锐角三角形区域，记作三角形 ABC ，若 AC 5，
2 3
cos B ， sin C ，则这个公园的规划面积是______.
2 5
（3）如图，某市中心有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道，现决定从小岛架
一座与观光小道垂直的小桥PD，小明在小道上测得如下数据：AB 200 米，

PAB 38.5 ， PBA 26.5 ．请帮助小明求出小桥的 PD长．
（结果精确到 0.1米，参考数据： sin 38.5 0.62 ，

cos 38.5 0.78 ， tan 38.5 0.80 ， sin 26.5 0.45 ，

cos 26.5 0.89 ， tan 26.5 0.50 ）
2.时间要求（15）分钟
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C等，掌握不正确，答案错误.
A等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C等，数据使用不正确，计算错误.
A 等，解法有创意，答案正确.
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确.
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业设计意图
第（1）题需要学生利用角的关系得到直角三角形，然后利用锐角三角函数
解决问题；第（2）题要求学生依题意画出相应的图形，合理使用数据，通过使
用正确的锐角三角函数关系来解决问题；第（3）题需要学生充分分析条件数据，
寻找边角关系，利用方程思维解决问题，考查学生的数据分析与应用能力，培养
学生的模型观念.
A
5.练习解析
（1）解： 500 cos55
（2）解：画出图形，过 A点作 AD BC ,在Rt ADC中，
B
3 D C
由 sin C , AC 5可得AD 3, DC 4 .在 Rt ADB中，
5
2 1 21
由 cos B ，得BD 3， BC 7 ， S BC AD ABC .
2 2 2
（3）解：设 PD x 米， PD AB , APD BDP 90 ,
x x x 5
在 Rt PAD 中， tan PAD ， AD x,

AD tan 38.5 0.8 4
x
在 Rt PBD中，tan PBD ,
BD
x x 5
BD 2x,又 AB 200米， x 2x 200 ，

tan 26.5 0.50 4
解得 x 61.5 ，即 PD 61.5米.
第七课时（28.2（3）用解直角三角形解视角问题）
作业目标：
1.掌握仰角、俯角在解直角三角形中的应用.
2.掌握“化斜为直”，在非直角三角形中构造直角三角形来解决实际问题.
核心素养：几何直观、数据观念、模型观念、应用意识
知识梳理：
知识点 1 当我们测量时，视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫
做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
知识点 2 解含仰角、俯角问题的方法
1.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同
的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数
学问题．
2.视线、水平线、物体的高，构成直角三角形.已知仰角(俯角)和另一边，
利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3.弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关
系归结到直角三角形中来求解．
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）将一长为 6 米的梯子CD斜靠在墙面，梯子与地面所成的角 BCD 55 ，
此时梯子的顶端与地面的距离BD的长为（ ）米．
6 6

A.6 cos 55 B. C.6sin 55 D.
sin 55 cos55
（2）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知 A、B 两点间的距离
为 30米，从 A点看B 点的仰角为 ，则缆车从 A点到达B 点，上升的高度
（即BC的长）为（ ）.
30
A．30sin 米 B ． 米
sin
30
C ．30cos 米 D ． 米
cos
（3）如图，某地修建高速公路，要从 A地向B 地修一条隧道（点 A、B 在同一
水平面上）．为了测量 A、 B两地之间的距离，一架直升飞机从 A地出发，
垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角 为30°，则 A 、B 两地
之间的距离为（ ）.
800 3
A． 400米 B ． 米
3
C ．1600米 D ．800 3 米
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C等，掌握不正确，答案错误.
A等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C等，数据使用不正确，计算错误.
A 等，解法有创意，答案正确.
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确.
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析和设计意图
第（1）题考查学生作图能力，并正确运用锐角三角函数解决实际问题；第
（2）题考查学生对仰角概念的掌握，本题的关键是把实际问题转化为数学问题；
第（3）题考查学生对俯角概念的掌握，以及对平行线的知识的应用，最后转化
为用正弦、余弦来解决问题.
5.练习解析
（1）C 解：作图，在

Rt BCD中， DBC 90 , BCD 55 ,CD 6米，

BD CD sin BCD 6sin55 ，故选C .
BC BC
（2） A 解：由图可知，在 ABC 中， AC BC, sin ,
AB 30
BC 30 sin 米，故选 A .
（3）D 解：由题意

CA AB, AC 800, B 30 ,
AC
AB 800 3 米.故选D .

tan 30
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次
测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成 60 角时，
第二次是阳光与地面成 30 角时，已知两次测量的影长
相差 8米，则树高 AB 为______.（结果保留根号）
（2）如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪
CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 3 m的地面上，
若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部 A处的仰角
为 30 ，求教学楼的高度.
（3）如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了
一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52 才能将
液体倒出，求此时杯子最高处距离桌面的距离.
（ sin 52 0.79 ，cos 52 0.62 ， tan 52 1.28 ）
2.时间要求（15）分钟
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确，书写规范.
书写表达的
B等，答案正确，书写有问题.
规范性
C等，答案不正确，书写错误.
A等，过程完整，答案正确.
解答过程的
B等，过程有欠缺，答案正确.
完整性
C等，过程不正确，答案错误.
A 等，解法有创意，答案正确.
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确.
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业设计意图
第（1）题解题思路是在两个直角三角形中运用三角函数，其中 AB是两个三
角形的公共边，是解题的关键点；第（2）题构造辅助线将实际问题转化为矩形
和直角三角形，运用矩形性质和解直角三角形来解决问题，构造直角三角形是关
键；第（3）题难度在于情境问题的审题，理解题意，培养学生数学建模的思想，
通过添加适当辅助线，将实际问题转化成几何图形的数学问题.
5.作业解析
AB AB AB
（1）解：在 Rt ABD 中， tan ADB , BD ,
BD tan 60 3
AB AB AB 3AB
又 在 Rt ACB 中， tan ACB , BC ,
BC tan 30 3 3
3
3AB AB
BC BD 8, 8, AB 4 3 m .
3 3
AE
（2）解：作DC AB 与点 E （图略），在Rt ADE 中, tan ADE ,
DE
3
AE DE tan 30 18 3 18m ，
3
AB AE EB 18 1.5 19.5m
（3）解：过最高点 A做桌面的垂线 AD，交桌面与D，过流水口
B 作桌面的垂线 BC ，交桌面与点C ，过点 B 做BE AD
于点 E ，连接 AB .在Rt BCF 中， BFC 52

BF 15cm, BC BF sin 52 15 0.79 11.85cm ，
DE BC 11.85cm，
BE∥ CD EBF BFC 52 ABE 38 , BAE 52 .
又在 Rt ABE中， AB 15cm， AE AB cos52 15 0.62 9.3cm，
AD AE DE 9.3 11.85 21.15cm，
即此杯子最高处距离地面约 21.15cm.
第八课时（28.2（4）用解直角三角形解方位角、坡角的应用）
作业目标：
1.掌握方位角，坡比，坡角等概念.
2.进一步掌握“化斜为直”在解决非直角三角形问题中的应用.
核心素养：抽象能力、几何直观、模型观念、应用意识
知识梳理：
知识点 1 方位角的定义： .
知识点 2 坡比的定义： . 坡角的定义： .
知识点 3 解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，
然后根据方位角标出已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数
解决问题；解决坡角问题时，有时需适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形
和矩形来解决问题．
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图, AB是河堤横断面的迎水坡，坡高 AC 1，
水平距离 BC 3 ，则斜坡 AB 的坡度为（ ）
3
A． B ． 3 C ．30 D ．60
3
（2）某人沿坡比 i 1: 2的斜坡向上前进了 10 米，则他上升的高度为（ ）米
A．5 B ． 2 5 C ． 4 5 D ．10 5
（3）如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东方向，距离灯塔
60 海里的小岛 A出发，沿正南方向航行一段时间后，到
达位于灯塔C 的南偏东方向上的B 处，这时轮船B 与
小岛 A的距离是( )
A．30 3 海里 B ． (30 30 3)海里 C ．120海里 D ．60海里
2.时间要求（10分钟以内）
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
A等，掌握很好，答案正确.
基本知识的
B等，掌握不牢固，答案不全对.
掌握程度
C等，掌握不正确，答案错误.
A等，数据使用合理，计算正确.
数据处理的
B等，数据使用不简洁，计算正确.
科学性
C等，数据使用不正确，计算错误.
A 等，解法有创意，答案正确.
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确.
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业分析和设计意图
第（1）题考查学生对坡角概念的掌握；第（2）题由题意画出几何图形，理
解坡比的概念，以及对坡比知识点的应用；第（3）题考查学生对方位角概念的
掌握，需要学生在实际情境中抽象出几何图形，构造直角三角形，正确的进行数
据分析，采用合理的锐角三角函数，将实际问题转化为解直角三角形问题.
5.作业解析
（1） A 解： 坡高 AC 1 ,水平距离 BC 3 ， 斜坡 AB的坡度
AC 1
为 tan B
3
= ,故选 A .
BC 3 3
（2）B .
（3）B 解：过C 作CD AB 于D ACD 30 , BCD 45 , AC 60海里，
1
在 Rt ACD中，AD AC 30海里，
2
CD
cos ACD , CD AC cos30 30 3 海里，
AC
在Rt DCB中， BCD B 45 ,
CD BD 30 3 海里，故选B .
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，斜坡 BC 的长度为 4 米．为了安全，决定降低坡度，将点C 沿水平
距离向外移动 4 米到点 A，使得斜坡 AB 的长度为 4 3 米，则原来斜坡的
水平距离CD的长度是___米．
（1） （3）
（2）在观测站O 处测得船 A和灯塔 B 分别位于正东方向和北偏东60 方向，灯
塔 B 位于船的北偏东15 方向 4 海里处，若船 A向正东航行，则船 A离灯
塔 B 的最近距离是（ ）
A.（ 2 6 ）海里 B .2 3 海里
C .（ 3 +1）海里 D . 2 2 海里
1
（3）如图，一幢居民楼OC 临近坡 AP ，山坡 AP的坡度为 i 1: 3（ tan ），
3
小亮在距山坡坡脚 A处测得楼顶C 的仰角为 60 ，当从 A处沿坡面行走6 米
到达 P 处时，测得楼顶C 的仰角刚好为 45 ，点O、 A、 B 在同一直线上，
则该居民楼的高度为___（结果保留根号）．
2.时间要求（15）分钟
3.评价设计
等级
评价指标 备注
A B C
直观作图的 A等，直观规范，作图正确.
实践能力 B等，缺少相应标注，作图正确.
C等，不直观，作图错误.
A等，过程完整，答案正确.
解答过程的
B等，过程有欠缺，答案正确.
完整性
C等，过程不正确，答案错误.
A 等，解法有创意，答案正确.
建模应用的
B 等，解法古板啰嗦，答案正确.
创新能力
C 等，解法思路不清晰，答案错误.
综合评价 AAA、AAB 综合评价为 A 等，ABB、
等级 BBB、AAC 综合评价为 B，其余为 C.
4.作业设计意图
第（1）题考察坡比、勾股定理，及三角函数应用，解题中需要学生灵活运
用勾股定理，利用方程思维来解决问题；第（2）题需要学生理解题意，自行画
出几何图形，应用方位角知识标出相应的已知角，再运用三角函数解决问题；第
（3）题是解直角三角形的综合运用，考查学生对仰角、坡比等知识，通过构造
直角三角形，并合理利用特殊角度所在的直角三角形，找到边之间的等量关系，
利用方程思维解决问题.
5.作业解析
（1） 解：设CD x m，BD y m，在 Rt BCD中， 2 2 2 2 2 2BD BC CD ,即 y 4 x ，
在 2 2 2Rt BAD 中， 2 2 2BD AB AD ,即 y (4 3) (x 4) ，
2 2 2 2
4 x (4 3) (x 4) ，解得 x 2,即CD 2 米.
（2） A 解：如图，作BD OC于D ,则船 A离灯塔B 的最近距离是BD的长，
作 AE OB于E ，在直角 ABE 中，
AEB 90 ， ABE BAD AOB 45 ，
2
AB 4, AE BE AB 2 2 ,
2
在直角 AOE中， AEO 90 , AOE = 30 ,
AE
OE 2 6 , OB OE BE 2 6 2 2 .
tan AOE
在直角 BOD中， O D B = 9 0 , BOD 30 ,
1
BD OB 6 2 .故选 A .
2
（3）解：如图，过点P 作PE OB 于点E ，PF CO于点F ，
3山坡 AP的坡度为 i 1: 3 tan , AP 6米， 30 ，
3
1
PE OB , PE AP 3米， AE 3PE 3 3 米，
2
PF OC, CPF 45 , PCF 是等腰直角三角形，
CF PF ,设CF PF m米，
则OC (m 3) 米，OA (m 3 3) 米，
在 Rt AOC 中， OAC 60 , ACO 30 ,
OC 3OA,即m 3 3(m 3 3)，
解得：m 6 3 6， OC 6 3 6 3 (6 3 9)米 .
六、单元质量检测作业
（一）单元知识框架
正弦
锐角三角函数 余弦
正切
特殊角的三角函数值
锐
角 三边关系
三
角 解直角三角形
三角关系
函
数 边角关系
仰、俯角问题
题
简单实际问题 方位角问题
坡度问题
（二）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
4
1.在 ABC中, 2 2 2AB AC BC , cos A ,则 tan B 的值为（ ）
5
4 3 3 4
A. B. C. D.
3 4 5 5
3
2.已知 为锐角，且 sin 10 ，则 等于( )
2
A.20 B.35 C.50 D.70
3.在 Rt ABC 中， C 90 , AB 4, AC 1,则 tan A的值是（ ）
15 1
A. B. 15 C. D.4
4 4
4.如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，点D在 AC 上， DBC A，若 AC 4,
4
cos A ，则 BD的长度为（ ）.
5
A.2.25 B.2.4 C.3.75 D.4
5.直角三角形纸片的两直角边长分别为 6 和8，现将 ABC 如图那样折叠，使点 A
与点 B 重合，折痕为DE ，则 tan CBE 的值是（ ）
24 7 1 7
A. B. C. D.
7 3 3 24
C E
6 8
B
D A
（ 第 5 题 ）
二、填空题
6.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A、B、C 都在格点上，则 ABC
的正弦值是______.
7.如图，矩形 ABCD中 AB 5, BC 4, E为AD边上一点，沿CE 将 CDE 对折，
使点D正好落在 AB 边上，则 tan DCE ______．
3
8.如图， ABC中， AD BC ，垂足是D，若 BC 14, AD 12, tan BAD ，
4
则 sin C ______.
（第 6题） （第 7题） （第 8题）
三、解答题
9.计算： 26 sin 60 cos 30 tan 60 tan 45
4
10.如图，在 ABC中， C 90 ，点D在 BC 上 BD 2, AD BC, sin ADC ,
5
求：(1)DC 的长；(2) sin B 的值.
11.如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC, 60 ,汛期来临前
对其进行了加固,改造后的背水面坡角 45 .若原坡长 AB 20m ，求改造
后的坡长 AE ．(结果保留根号)
12.如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC的高度，他们在斜坡上D处
测得大树顶端 B 的仰角是30 ,朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A处，在 A处
测得大树顶端 B 的仰角是 42 ,若坡角 FAE 30 , 求大树的高度.（结果保留
整数，参考数据: cos 42 0.74,sin 42 0.67, tan 42 0.9, 3 1.73）
13.如图， Rt AOB 中, O 90 ,以OA为半径作⊙O , BC 切⊙O 于点C ,连接
2
AC 交OB 于点 P .(1)求证： BP BC ；(2)若 tan PAO ,且 PC 4，
4
求⊙O 的半径．
（第 10题） （第 11题） （第 12题） （第 13题）
（三）单元质量检测作业属性表
对应单元 对应学
序号 类型 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 原创
2 选择题 2 √ 易 原创
3 选择题 1 √ 易 选编
4 选择题 2 √ 易 选编
5 选择题 1、3 √ 中 选编
6 填空题 1 √ 中 原创 30分钟
7 填空题 1、3 √ 中 改编
8 填空题 1、3 √ 中 选编
9 解答题 2 √ 中 原创
10 解答题 1、3 √ 中 改编
11 解答题 1、2、3 √ 较难 选编
12 解答题 1、2、3 √ 较难 改编
13 解答题 1、2、3 √ 较难 改编
（四）练习解析
2 1
1. A 2.C 3. B 4.C 5.D 6. 7.
2 2
12 BD 3
8． 解析：在 Rt ABD中， tan BAD
13 AD 4
3
BD AD tan BAD 12 9 DC BC BD 14 9 5
4
2 2 2 2 AD 12
AC AD CD 12 5 13， sin C AC 13
2
3 3 3 2 3 3 9 3
9.解：原式= 6 + 3 1= + 1= 1
2 2

2 4 4
3 x 3 5
10.解：设CD x ,在 Rt ACD 中， cos ADC ， AD x
5 AD 5 3
5 5
AD BC BC x BC CD BD x x 4 解得 x 6 CD 6
3 3
(2)解： BC CD BD 4 6 10 AD
在 2 2 2 2Rt ACD 中， AC AD CD 10 6 8
在 Rt ABC 中， 2 2 2 2AB AC CB 10 8 2 41
AC 8 4 41 4 41
sin B ，即 sin B 的值为
AB 2 41 41 41
11.解：过点 A作 AF BC 于点F ．
在 Rt ABF 中， ABF 60 则 AF AB sin 60 =10 3 m
AF
在 Rt AEF 中， E 45 则 AE =10 6 m
sin 45
∴改造后的坡长 AE 为10 6m .
12.解：过点D作DG BC 于G ，DH CE 于H ，则四边形DHCG 为矩形．
故DG CH，CG DH，DG / /HC ， DAH FAE 30
在 Rt AHD 中, DAH 30 ，AD 6 DH 3，AH 3 3 CG 3
BC x
设 BC 为 x，在 Rt ABC 中， AC =
tan BAC 1.11
x
DG 3 3 ，BG x 3在Rt BDG 中， BG DG tan 30
1.11
3 x
x 3 (3 3 )，解得 x 13，∴大树的高度为13米.
3 1.11
13.（1）解：连接OC
BC 是⊙O 的切线， OCB 90 即 OCA BCA 90 .
OA OC OCA OAC OAC BCA 90
BOA 90 OAC APO 90
APO BPC BPC BCA BC BP
（2）解：延长 AO 交⊙O 于点 E ，连接CE .
1
在 Rt AOP中， sin PAO 设OP x, AP 3x AO 2 2x
3
AO OE OE 2 2x AE 4 2x
1 AC 2 2 3x 7 2 2
sin PAO ， 在 Rt ACE 中 即 ，解得 x 3
3 AE 3 4 2x 3
AO 2 2x 6 2即⊙O 的半径为6 2 .
七、单元习题整理
建立错题集，温故而知新
课时： 原题： 错因分析：
整理时间：
重做时间：
正确解答：
知识点梳理： 教师点评：
课时： 原题： 错因分析：
整理时间：
重做时间：
正确解答：
知识点梳理： 教师点评：
课时： 原题： 错因分析：
整理时间：
重做时间：
正确解答：
知识点梳理： 教师点评：
（可根据单元学习情况，适当附纸.）
八、单元学习评价
1.我的收获：_____________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
（注：可从知识点的掌握、思维方法的提升、情感态度价值观的转变等方面分享学习收获）
2.教师反馈： _____________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
（注：可从对学生作业情况、课堂表现等方面予以评价）

展开更多......

收起↑