资源简介

目 录
第十三章 轴对称 作业设计概况 ....................1
第十三章 轴对称 第一课时课后作业 ................9
第十三章 轴对称 第二课时课后作业 ...............13
第十三章 轴对称 第三课时课后作业 ...............18
第十三章 轴对称 第四课时课后作业 ...............23
第十三章 轴对称 第五课时课后作业 ...............27
第十三章 轴对称 第六课时课后作业 ...............31
第十三章 轴对称 第七课时课后作业 ...............35
第十三章 轴对称 第八课时课后作业 ...............40
第十三章 轴对称 第九课时课后作业 ...............44
第十三章 轴对称 第十课时课后作业 ...............48
第十三章 轴对称 第十一课时课后作业 .............53
第十三章 轴对称 第十二课时课后作业 .............57
第十三章 轴对称 第十三课时课后作业 .............61
第十三章 轴对称 第十四课时课后作业 .............67
第十三章 轴对称 单元检测作业 ...................71
第十三章 《轴对称》作业设计
一、作业设计背景与设想
1．作业设计背景
全国性的中小学生“双减”行动正进行的如火如荼，作为一线教师我们应
积极响应国家政策，积极行动起来，争取在追求教育教学质量的同时有效地为
学生减负．
“双减”政策下，我们必须适应新要求，改变教育教学理念，作业设计理
念．只有教师提高课堂教学质量、课后作业品质，学生的负担才会真正的减轻．
“双减”对作业质量提出了更高的要求．我们要改革作业设计，少布置机
械的、整齐划一的作业，尽可能布置分层作业、自主性作业和实践性作业．力
争做到“减负不减质”．
2．作业设计设想
我们想通过本次的单元作业设计，尝试摸索、探究更能适应新形势下的作
业设计方式，找到今后作业设计的方向．
在本单元作业设计中我们努力做到以下几个方面：
1．层次性．同一个班级的学生，智力因素和生活实践都有一定的差别，学
习程度不一．为此，在设计作业时，要设计难易有别、层次不同、形式多样的
弹性作业，学生自主选择，以满足各层次学生的学习需要．
2．情境性．联系生活实际情境的问题能更好的激发学生的兴趣，提高作业
的趣味性．比如在作业中我们以芜湖的长江大桥，长江二桥，长江三桥，芜湖
古城以及方特欢乐世界等生活中的实物为问题背景设计作业，更好的调动学生
解决问题的积极性．
3．实践性．数学来源于生活，应用于生活．新课程标准强调让学生通过实
际的观察、实践来提高解决数学问题的能力．因此，我们结合生活实际，为学
生设计实践性的作业．
4．开放性．开放性的数学作业可以让学生在“多种解法”、“多种答案”
中灵活运用知识．设计开放性作业是训练学生发散思维为中心，引导学生会思
考、善思考．强化学生的创新意识．
二、主创团队名单
许卫国、曹鹏、李利、王辉、陶云、李昊
三、课程标准要求
人教版八年级数学上册第 13章《轴对称》内容包括《13.1轴对称》与《13.2
画轴对称图形》、《13.3等腰三角形》、《13.4最短路径》四个小节，涉及轴
对称、轴对称图形的概念，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
以及等腰三角形，等边三角形的性质和判定等．《义务教育数学课程标准（2022
版）》对本节内容提出的教学要求是：
认知水平 课标内容
①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴
对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．
②理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正
多边形、圆的轴对称性质．
③理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可
以用数学的语言表达对称．
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理解 ④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．
⑤理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反
之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
⑥理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分
线重合．
①能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定
对称轴的对称图形．
②能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直
线的垂线．
③在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知
顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标
之间的关系．
掌握 ④探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形
是等腰三角形．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各
角都等于 60°．
⑤探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一
个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形．
①经历几何命题发现和证明的过程，感悟归纳推理过程和演绎
推理过程的传递性，增强推理能力，会用数学的思维思考现实
世界；
发展 ②发现自然界中的对称之美，感悟图形有规律变化．
③经历借助平面直角坐标系解决现实问题的过程，感悟数形结
合的意义，发展推理能力和运算能力，增强应用意识和创新意
识．
四、单元内容概述
1．本章在教材中的地位及作用
《轴对称》是人教版八年级数学上册第十三章教学内容．本章的主要内容
是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实
生活中的广泛应用．在此基础上探究线段的垂直平分线、等腰三角形和等边三
角形的性质与判定．前面有第十二章《全等三角形》作为探究、推理的基础，
后面还会在八年级下册《平行四边形》，九年级上《圆》的学习中进一步讨论
图形的对称性．所以本章节起到了承上启下的作用．
在几何变换方面，轴对称和平移、旋转都属于基本图形变换，初中阶段还
会学习位似变换，教材在处理这些变换时，也都采取了相似的思路，即从实例
中得到概念、从典型例子中总结性质、以性质为依据进行作图、在坐标系中作
图探索坐标和变换的关系．
在联系实际方面，本章突出知识的现实背景，把课程内容与学生的生活经
验有机地融合．从生活建筑，物品等图形中感受对称，再利用对称变换去设计
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创作图案，以及到利用对称知识探索最短路径去解决造桥问题，都体现了数学
来源于生活又服务于生活．
本章教材在设计上重视实验几何，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量等
活动，探索发现几何结论，在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结
论．本章也渗透了对学生的美学观的培养．
2．从知识结构，整体把握教材
轴对称的概念
生 轴对称的性质 线段的垂直平分线的性质
活
中 作轴对称图形的对称轴
的 轴对称 轴对称的作图 画轴对称图形
轴
对 利用几何变换解决问题
称
坐标系中的轴对称
等腰三角形 等边三角形
3．学情、学习现状分析
（1）认知方面
七年级阶段学生已学习《几何图形初步》，也学习了《平行线》相关几何
图形知识，绝大部分学生对图形的认知具有较好的基础．初步掌握了探究图形
的方法和策略．同时在本章内容前学生也学习了《三角形》、《全等三角
形》．这为本章内容的学习又搭建了很好的桥梁．尤其在探索轴对称的性质，
等腰三角形的性质方面，全等三角形知识又是非常重要的工具．可以说，前面
的教材已经作了很好的渗透和铺垫．但在几何语言的转换，表达，以及逻辑推
理方面还有一部分学生不是特别熟练，还有少部分学生会觉得困难．另外在数
形结合思想的运用方面也需要进一步提高．
（2）心理特征方面
八年级阶段的学生逻辑思维会快速提升和发展，观察能力，记忆能力和想
象能力也随着迅速发展．但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，好奇
心强，兴趣广泛，他们更喜欢形象生动的事物，还有些会惧怕抽象思维知识，
容易产生畏难心理．所以在教学中应抓住这些特点，选取适当的教学资源，如
图片、动画、视频等，吸引他们的注意力，激发学习兴趣，调动学习积极性；
另一方面，通过设计实践活动，动手操作，实验的环节让学生参与到教学过程
中来，发挥学生学习的主动性．
（3）个性差异方面
八年级的学生处于一个个性张扬的时期，学生看待问题的方式各有不同，
对事物的理解也各有特点，在数学学习上也不例外．教学中我们要尊重个性差
异，实现分层教学．同时时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生
提供个性化学习的时间和空间．教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能
用唯一的标准判断全体学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看
学生是否真正理解了轴对称变换的特点．我们的教学要更能激起学生对数学学
习的情感体验，强调学生通过“做数学”来学习数学也是本章的一个突出特点．
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五、单元教学目标和重难点
《义务教育数学课程标准（2022版）》指出义务教育数学课程应使学生通
过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养．核心
素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同，是制定
课程目标的基本依据．
课程目标应以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得
数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验(简称“四基”)的获得与
发展，发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力(简称“四
能”)，形成正确的情感、态度和价值观．在课标的指引下，在围绕教材内容，
结合学情，以“探索、发现、猜想、验证”为主线，培养学生建立空间观念，
培养几何直观，发展推理能力为总目的，设置以下目标：
1．通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解
对应点连线被对称轴垂直平分的性质．
2．探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形关于
给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．
3．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和
判定定理．
4．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理；
探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理．
5．在观察、操作、推理、归纳等过程中发展学生的合情推理能力，逐步养
成数学推理习惯．提高分析问题解决问题的能力．
6．实践感悟、合作交流的过程中，培养合作意识，激发学习兴趣．同时提
升学生的审美能力．
教学重点：（1）轴对称的性质；（2）等腰三角形的性质和判定．（3）等
边三角形的性质与判定．
教学难点：运用轴对称分析、认识复杂图形，进行推理论证．
难点突破：（1）加强对问题分析的教学，帮助学生熟悉分析证明问题的一
般思路流程；（2）继续学习通过几何语言表述逻辑推证的规范语序和说理格式．
六、教学规划
1．课时安排
教材中本单元共设置了 4小节约 11课时，添加“活动探究《数学活动—
三角形中边与角的不等关系》 1个课时和专题教学 2个课时”共计 14课时，具
体安排如下：
课题 课时分配
13.1.1轴对称 1课时
13.1.2线段的垂直平分线 2课时
13.2画轴对称图形 2课时
13.3.1等腰三角形 2课时
13.3.2等边三角形 2课时
13.4课题学习 最短路径问题 2课时
数学活动《三角形中边与角的不等关系》 1课时
专题学习 2课时
单元检测 2课时
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2．教学流程概述
本章的 14课时按照学习内容分为概念学习、证明推理、操作实践活动探究
四个个主题，对于不同的主题，学习活动安排如下：
3．教学活动构思
本章活动设计以“形”为载体，通过观察、测量、折纸、画图等活动探究
轴对称及轴对称图形的性质，通过数来刻画形的特点，又进一步渗透了数形结
合的数学思想．之后应用探究所得解决生活中的问题，在这个学习的过程中，
提高了学生的几何直观和推理能力，也逐步培养了学生的模型观念和创新意识，
并在学习探究的过程中不断积累发现问题，提出问题，抽象出数学问题，建构
数学模型，综合运用所学知识解决问题的活动经验．
新知探究环节是一节课的重要组成部分，这部分教学活动主要围绕教师的
有效组织和学生的自主学习开展，不同的课型有不同的方案设计，大致活动设
计如下：
1．观察，感知概念
概念学习 2．小组讨论，个别作答，抽象，概括，归纳概念
3．对比辨析，举例，判断
1．观察，发现，动手操作，独立思考
教 证明推理 2．小组讨论，猜想，验证
学 3．归纳总结，变式训练
活
动
构 1．视频动画演示，几何画板动态演示
思 实践操作 2．小组分工合作，独立操作
3．学生自评，师生共评，生生互评
1．情境创设，动画演示
活动探究 2．设疑，质疑
3．合作探究，小组汇报，个人展示
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4．核心素养培养和数学思维的发展
动手操作，实验，发现问题， 提出实际问题；讨论，
从生活事物，实际情景出 猜想验证，推理证明，图形 分析问题；建立知识
发，感知共性，尝试描述 语言到符号语言转换，得出 联系；提出解决方案
性质定理和判定定理
概念，性质、定理的
概念认知，概念归纳 定理的证明，定理的运用 应用
抽象思维，观察能力、概 数形结合思想、逻辑推理能 数学建模思想的渗
括能力的发展 力的培养 透；分析、解决问题
能力的提升
核心素养
5．教学关注
（1）注意联系实际，让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程
本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此
在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生
活中，使学生体会“具体——抽象——具体”的认识过程．建议：可以较多地
发动学生参与，比如利用轴对称的观点解释现实生活中的有关现象、简单地利
用轴对称设计图案、一些选址问题的实验比较等．
例如：从中国的建筑结构中寻找轴对称入手，可以设计数学活动课，让更
多动手能力较强的学生参与进来，并鼓励学生利用轴对称去设计更多充满自己
的创意的作品．
（2）满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间
本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，
利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行(垂直)时轴对称的坐标
特点，发现等腰三角形中相等的线段等等，这些内容都为学生个性化的学习提
供了空间．教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性
化学习的时间和空间．例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生可能会有不
同的创意，也会有不同的操作方法(如折叠、剪纸、扎眼、计算机等)完成自己
的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断全体
学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴
对称变换的特点．
（3）注意实验几何与论证几何的结合，发展学生的创新思维和推理能力
教材在内容处理上，加强了实验几何，将实验几何与论证几何有机结
合．论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重大的作用，而实验几何则是
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发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着
大的作用．
教科书大多通过留空、设问、设置“思考”、“探究”、“归纳”以及
“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，
探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程．在探究活动的过程中发展创
新思维能力，改变学生的学习方式．在发现结论的基础上，再经过推理证明这
些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图
形的认识与图形的证明有机整合．
（4）注意推理证明的教学
在这一章，不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，
还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延
续，进一步体会证明的必要性．
学过等腰三角形后，推理的依据逐渐多了，题目的复杂程度也增加了，因此，
如何寻找证明的思路也成为本章教学的一个难点．教学时，要克服这一难点，
关键是要加强证明题前分析的教学，帮助学生学会分析证题思路，找出证明的
途径．以前学生证明问题时，主要考虑利用全等三角形，也总习惯于找全等三
角形．虽然涉及利用等腰三角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决，但
要一定注意纠正这种不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势．这是本章必
须解决的一个问题，这就要求我们在教学中一定要结合具体问题让学生自己分
析，寻找证明方法．对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直平分线的
性质的问题，应当让学生选择简便方法．在与等腰三角形有关的一些命题的证
明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，，需要具体问题具体分析，把常用
的解题思路、解题方法、辅助线的归纳总结给学生，让学生掌握简便的解题方法．
（5）合理使用现代化教学手段辅助学生画图
动手能力的提升来自于模仿和体会，我们应该多带着学生一起画图，比如
如何画等腰三角形等．教师可以在课堂上将画板软件演示与板书演示作图有机
结合，充分发挥现代化教学手段的长处，将几何图形直观地展示到学生面前，
鼓励学生主动利用画板软件进行探索学习，调动学生探索问题的积极性．
在课堂上教师可以利用圆规和直尺给学生做示范，在线上教学时教师可以
利用画板软件进行尺规作图的示范．合理使用画板软件可以促进学生的直观认
识和感性认知，有助于学生形成较为深刻的印象．
例如：使用画板软件可以演示做垂直平分线，可以演示做等腰三角形等
等．画板软件不仅可以用于在课堂上演示尺规作图，而且可以协助学生探索动
态几何中角度和线段之间的关系． 在教学中适当地引入画板软件，引导学生掌
握常用几何画板软件基本功能的使用，可以促进学生自主探索几何问题．
七、单元作业设计思路
1．作业设计理念
在“双减”政策背景下，我们尝试尽量避免出现机械、单调、重复性无效
作业，作业设计要符合学生年龄特点和心理规律，作业的形式必须多样化，增
加更多的实践性、操作性作业．作业设计还应适当增加趣味性，激发学生的兴
趣．例如作业内容以学生熟悉的生活情境为背景，选择学生感兴趣的事物．同
时作业设计既要面向全体，又要兼顾个体差异，教师应该积极探索分层作业、
弹性作业、个性化作业的设计，探索因材施教下的作业设计；
根据数学课程标准对数学学科的要求，在细化解读初中数学学科课程标准，
深入理解数学学科核心素养的基础上，结合学生的认知发展水平，梳理了八年
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级数学上册第十三章《轴对称》的知识内容，将知识进行整合归类，科学设定
学习目标，精心设计本章单元课后作业．题目设计以实际问题情境为载体，题
型多样，灵活性较强，注重实践性和创新性．
作业共分为三个层次：基础巩固题、探究应用题和综合实践创新题．基础巩
固题主要考查本章基础知识：轴对称的性质及等腰三角形性质与判定，注重发
展学生的推理能力，关注学生分析问题、解决实际问题的能力；综合应用题主
要考查轴对称与其他学科知识的综合应用，注重数学思想方法的渗透，提高学
生的应用意识并加强学生对跨学科知识间的联系的重视；综合实践创新题通过
设计方案的问题提高学生的实践能力和创新能力．
2．作业设计结构
课时作业总时间设置一般控制在半小时左右．每个课时作业由五个部分组
成．包含作业标题、作业目标阐述、作业属性（认知水平、难易程度、预计时长）
统计表，作业内容，作业评价．
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第十三章 轴对称 第一课时课后作业
一、作业标题：13.1.1 轴对称
二、作业目标
1．作业目标
（1）认知轴对称与轴对称图形的相关概念；
（2）理解轴对称与轴对称图形的性质．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过剪纸等生活现实，丰富学生对几何图形
的感性认识，增强学生的学习兴趣．从中抽象出数学图形的特征，概括相关概念，
进而培养学生的图形直观和数学抽象能力．通过理解轴对称与轴对称图形之间
的关系体验数学严谨与科学．
达成目标（2）的标志是学生能从图形的概念、性质与判定等方面入手去研
究轴对称与轴对称图形的性质，其中突出对垂直平分的表述，从中培养学生的
理性思考与推理的能力．
三、作业题目属性统计表
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 原创 0.5
基础巩固 2 理解、掌握 较易 改编 2
3 理解、掌握 一般 改编 2
应用探究 4 应用 一般 改编 5
综合实践 5 综合 较难 改编 10
（一）基础巩固
1．2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【设计意图】通过冬奥会的相关实例，丰富学生对几何图形的感性认识，增强
学生的学习兴趣．从中抽象出数学图形的特征，概括相关概念，进而培养学生
的图形直观和数学抽象能力．
2．如图是一块地砖的图片，以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的
图形，则此图形的对称轴有（ ）
A.2条
B.4条
C.6条
D.8条
【答案】B
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解析：如图
【设计意图】从图形的概念方面入手去研究轴对称与轴对称图形的性质．
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的高，点
E，F 是 AD 上的任意两点，若△ABC 的面积为 20 cm2 ，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】10 cm2
【设计意图】从图形的概念、性质与判定等方面入手去研究轴
对称与轴对称图形的性质．
（二）应用探究
4．如图，点P 在 AOB的内部，点M ， N 分别是点P 关于直线 OA，OB 的对
称点，线段 MN 分别交 OA，OB 于点 E，F．
　 （1）若 MN＝50 cm，求△PEF 的周长;
　 （2）若 AOB＝40°，求 EPF 的度数．
【答案】解：（1）∵点M ， N 分别是点P 关于直线OA，OB 的对称点，
∴ME PE， NF PF ．
∴PE EF PF ME EF NF MN 50 cm 即△PEF 的周长是 50 cm．
（2）如图，设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T ．
由（1）知ME PE, NF PF
∴ M EPM , N FPN
∴ PEF 2 M , PFE 2 N
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∵ PRE PTF 90
∴在四边形OTPR 中， MPN AOB 180
∵ MPN M N 180
∴ M N AOB 40
∴ EPF 180 ( PEF PFE) 180 2( M N ) 100
【设计意图】理解轴对称在解决图形问题当中与多边形相关的问题．
（三）综合实践
5．如图△COB 是由△AOB 经过某种变换后得到的图形，观察点 A 与点 C 的坐
标之间的关系，解答下列问题：
　 （1）若点 M 的坐标为 (x，y) ，则经过这种变换后的对应点 N 的坐标为 ;
　 （2）经过这种变换后，点 P 的对应点为 Q，若点P( 2，a)、点Q(b，3)，试
1
求式子 1
1
的值．
ab (a 1)(b 1) (a 2019)(b 2019)
【答案】解：（1） ( x，y)
（2）由题意知点P( 2,a)、点Q(b,3)关于 y 轴对称
a 3，b 2
1 1 1 1 1 1
ab (a 1)(b 1) (a 2019)(b 2019) 2 3 3 4 2021 2022
1 1 1 1 1 1 1 1 505
2 3 3 4 2021 2022 2 2022 1011
【设计意图】利用轴对称在平面直角坐标系当中的应用，并且把知识点进行延
伸，应用到代数领域．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 57 57 100% 57 0 100%
2 57 57 100% 45 12 78.9%
3 57 57 100% 56 1 98.2%
4 57 57 100% 43 14 75.4%
5 57 57 100% 42 15 73.4%
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2．作业实施效果及存在问题
基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，98%的学生能够独
立完成，学生能够读懂题意，并且可以迅速的完成老师布置的任务；
应用探究问题，难度中等，具有一定的深度，80.7%的学生能够完成，需要
借助简单辅助线的帮助，完成度还是不错的；
综合实践问题，第 7题需要学生对以前学习的代数方面的知识进行整合，
具有一定的难度，学有余力的学生可以独立完成作业．
3．后期教学指导与教学改进措施
（1）对于第二题这样类型的题目，学生在完成的时候可以画出部分对称轴，
很多学生不能够画出全部的对称轴，后期在这种类型的题目上应加强同种类型
练习题的练习．
（2）第三四两题是经常出现的轴对称里面的问题，第三题图形的变换可以
是三角形，正方形等等几何图形，第四题可以改变夹角的度数等，可以让学生
们自己改编一下，互相出题加强对此类问题的熟悉程度．
（3）第五题结合了代数方面的知识，是知识的拓展，教师可以在后期课余
时间再找一些这方面的问题来开拓学生的眼界．
4．课时作业改进及反思
全课作业难度梯度整体效果较好，在资源整合的时候，后期应该加强基础
知识方面的训练，比如在解决图形的对称轴个数的问题，可以让学生们进行收
集整理，加强此类问题的训练，并且在原有的基础上进一步进行分层练习，在
做一些综合性的题目之前，可以让学生先对以往的知识进行提前复习，比如在
做第五题这样的题目之前可以复习一下以前学习的代数方面的知识，这样在做
答的时候完成度就会好很多，效果会更好．
剪纸文化
剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合
其他民俗活动的民间艺术．剪纸艺术遗产先后入选中国国家级非物质
文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．
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第十三章 轴对称 第二课时课后作业
一、作业标题：13.1.2 线段的垂直平分线
二、作业目标
1．作业目标
（1）认知线段垂直平分线的概念、性质与判定；
（2）能运用线段垂直平分线的性质与判定定理进行几何推理．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过对条件抽象总结出线段垂直平分线的概
念，并类比角平分线的性质与判定定理的研究过程，研究线段垂直平分线的性
质与判定定理．从中培养学生利用全等三角形进行几何研究的能力，提升学生
的几何直观能力与理性推理能力．
达成目标（2）的标志是学生能直接应用线段垂直平分线的性质与判定定理
进行几何推理，而不是坚持运用全等三角形的知识进行推理证明，从而增强学
生的几何推理能力．
三、作业题目属性统计表
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 改编 1
基础巩固 2 理解、掌握 较易 改编 2
3 应用 一般 改编 5
应用探究 4 应用 一般 改编 7
综合实践 5 综合 较难 改编 10
四、作业内容
（一）基础巩固
1．如图，在△ABC 中，AC＝6 cm，线段 AB 的垂直平分线交 AB，AC 于点
M ， N ，△BCN 的周长是 10 cm，则BC 的长为（ ）
A．4 cm
B．3 cm
C．2 cm
D．1 cm
【答案】A
【设计意图】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌
握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．如图，C 是△ABE 的边 BE 上一点，点 D 是 BC 的中点，且 AB＝AC＝CE，　
求证：AD⊥BC；AB＋BD＝DE.
第 13 页
【答案】
解：由 AB＝AC，点 D 是 BC 的中点可得 AD 垂直平分 BC，得 AD⊥BC 且
AB＋BD＝CE＋CD＝DE
【设计意图】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握
等腰三角形三线合一．
（二）应用探究
3．如图，线段 AB、BC 的垂直平分线l1、l2相交于点 O，若∠1＝35°，求
∠AOC 的度数．
【答案】解：过 O 作射线 BP，
∵线段AB、BC的垂直平分线 l1、l2相交于点 O
∴ AO OB OC， BDO BEO 90
∴ DOE ABC 180
∵ DOE 1 180
∴ ABC 1 35
∵OA OB OC
∴ A ABO， OBC C
∵ AOP A ABO， COP C OBC
∴ AOC AOP COP A ABC C 2 35 70
【设计意图】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三
角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
是解题的关键．
（三）综合实践
4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，O 是△ABC 内一点，且 OB＝OC．求
证：直线 AO⊥BC．
第 14 页
【答案】证明：∵∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上
∵OB＝OC
∴点 O 在线段 BC 的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴直线 AO 是 BC 的垂直平分线，即直线 AO⊥BC
【设计意图】理解线段垂直平分线在确定的时候需要的条件，这是学生很容易
出现错误的地方．
5．如图，点 M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM＝4，ON＝8，
在∠AOB 内有一点 G，到边 OA，OB 的距离相等，且满足 GM＝GN．
（1）尺规作图：画出点 G（要求：保留作图痕迹）；
（2）试证明：∠OMG＋∠ONG＝180°；
（3）若 P，Q 分别是射线 OA，OB 上的动点，且满足 GP＝GQ，则当 OP＝5
时，OQ 的长度为______．
【答案】（1）解：如图，点 G 即为所求．
（2）证明：作GK OA于K，GH OB于H
在△OGK 和△OGH 中
GOK GOH
GKO GHO 90
OG OG
∴△OGK≌△OGH（AAS）
∴OK＝OH，GK＝GH
∵∠GKM＝∠GHN＝90°
第 15 页
∴在 Rt△GKM 和 Rt△GHN 中
GK GH

GM GN
∴△OGK≌△OGH（HL）
∴∠KGM＝∠HGN
∴∠MGN＝∠KGH
∵∠KGH＋∠AOB＝180°
∴∠MGN＋∠AOB＝180°
∴∠OMG＋∠ONG＝180°
（3）如图，
∵OK＝OH，MK＝NH
∴OM＋ON＝OK －KM＋OH＋HN＝2OK＝12
∴OK＝OH＝6
∵OP＝5
∴PK＝6－5＝1
∵GP＝GQ
∴当 Q 在线段 OH 上时，OQ＝OP＝5
∴当Q'在线段 OH 的延长线上时，OQ'＝6＋1＝7
故答案为 5 或 7．
【设计意图】本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，
全等三角形的判定和性质等知识的熟练应用．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 57 57 100% 55 2 96.5%
2 57 57 100% 52 5 91.2%
3 57 57 100% 45 12 80.7%
4 57 57 100% 43 14 75.4%
5 57 57 100% 40 17 70.1%
2．作业实施效果及存在问题
（1）基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，94%的学生
能够独立完成，学生能够读懂题意，并且可以迅速的完成老师布置的任务；
（2）应用探究问题，难度中等，具有一定的理解难度，80%的学生能够完成，
需要借助一般辅助线的帮助，完成度还是不错的；
（3）综合实践问题，第五题，第六题需要学生对概念的理解要深刻，还有
直线公理的灵活运用，并且掌握熟练的作图方法，具有一定的难度，学有余力
的学生可以独立完成作业．
3．后期教学指导与教学改进措施
第 16 页
（1）对于基础性问题关键是让学生对于概念可以进行深刻的理解，这是做
题目的基石，难度虽然不大，但是至关重要，不能忽视．
（2）在做到第三题的时候其实是结合到以前学习过的燕尾模型，教师在教
学的时候可以适当的帮助学生进行回忆，进行知识的整合．
（3）第四题在做的时候很容易出现只判断一个点的情况，往往忽视了第二
个点也需要判断出来才能够得到一条直线这样一结论，这其实就是基本知识的
储备的重要表现．
（4）第五题在解答的过程中学生在图形做出来之后对于后续的分析就有所
欠缺，教师要及时的帮助学生进行分析，带领他们理清解题思路．
4．课时作业改进及反思
全课作业难度梯度整体效果较好，在资源整合的时候，后期应该对概念部
分的理解上面的应用，越是简单的问题其实在回答的时候越是容易出现错
误．比如在解答第四题的时候出现的问题，而且需要加强在解答难题的时候，
如何来理清思路，一步一步的解决问题，教师可以多找一些类似的题目给学生
进行练习．
2022 年北京冬奥会的吉祥物——冰墩墩
冰墩墩（英文：Bing Dwen Dwen，汉语拼音：bīng dūn
dūn），是 2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富
有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头
盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．
冰墩墩寓意创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领
时代，以及面向未来的无限可能．
“冰”象征纯洁、坚强，是冬奥会的特点．“墩墩”意喻
敦厚、敦实、可爱，契合熊猫的整体形象，象征着冬奥会运动
员强壮有力的身体、坚韧不拔的意志和鼓舞人心的奥林匹克精
神．
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第 17 页
第十三章 轴对称 第三课时课后作业
一、作业标题：13.1.3 作对称轴和轴对称图形
二、作业目标
1．作业目标
（1）认知线段垂直平分线的几何作图；
（2）能运用轴对称的性质进行相关作图．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过线段垂直平分线的性质与判定作一条线
段的垂直平分线，从中理解几何作图的科学性与严谨性，培养学生的逻辑推理
能力．
达成目标（2）的标志是学生能应用轴对称图形的性质寻求对称轴和作一个
图形关于对称轴的对称图形，从中体验数学美，增强数学学习能力与几何理性
思维能力．
三、作业题目属性统计表
预计作业时长
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
（分钟）
1 理解、掌握 一般 改编 3
基础巩固
2 理解、掌握 一般 改编 4
3 应用 一般 改编 5
应用探究
4 应用 较难 改编 7
综合实践 5 综合 较难 改编 8
四、作业内容
（一）基础巩固
1．如图，网格中的△ABC 与△DEF 为轴对称图形．
(1)利用网格线作出△ABC 与△DEF 的对称轴 l；
(2)结合所画图形，在直线 l 上画出点 P，使 PA＋PC 最小；
【答案】解：(1)如图所示，直线 l 即为所求．
(2)如图所示，点 P 即为所求；
第 18 页
【设计意图】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌
握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
2．如图，等边△ABC 的顶点 A(2，2)，B(4，2)，甲和乙皆同时由 A 出发，在
△ABC 的边上做环绕运动，甲以 1单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，乙
以 2单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则甲、乙运动过程中第 2021次
相遇点的坐标是多少？
【答案】
解：∵等边△ABC 的顶点 A(2，2)，B(4，2)，
∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC 的周长为 6．
设甲、乙经过 t 秒第一次相遇．
根据题意，得：
t＋2t＝6，
解得 t＝2，
所以甲乙经过 2秒第一次相遇，
此时相遇点的坐标是C（3，2 3）
同理：第二次相遇点的坐标是 B（4，2）
第三次相遇点的坐标是 A（2，2）
以后 3的倍数次相遇都在点 A 处，
∵2021＝673×3＋2
∴第 2021次相遇地点是 B，坐标为（4，2）．
【设计意图】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题，有一
定的难度．
（二）应用探究
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的三个顶点都在格点上，
如果用（0，0）表示 A 点的位置，用（7，－2）表示 B 点的位置，
（6，3）表示 C 点的位置，那么：
（1）画出△ABC 关于 x 轴对称的图形△DEF；
（2）分别写出点 D、E、F 的坐标；
（3）求△ABC 的面积．
【答案】解：
第 19 页
（1）如图所示：
（2）D（0，0），E（7，2），F（6，－3），
（3）△ABC 的面积＝7×5－0.5×7×2－0.5×1×5－0.5×6×3＝16.5
【设计意图】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对
应点的位置是解题的关键．
（三）综合实践
4．如图，在平面直角坐标系中，A（1，－1），
B（3，2），C（0，4）．
（1）请画出△ABC 关于 y 轴对称的△ A 1 B 1 C 1 ；
（2）直接写出△ABC 的面积为______；
（3）仅用无刻度的直尺画出∠ABC 的平分线
BD，保留作图痕迹．
【答案】
解：（1）如图所示，△ A 1B 1 C 1 即为所求；
1 1 1
（2）由题可得△ABC 的面积为 3×5－ ×2×3－ ×5×1－ ×2×3＝
2 2 2
6.5 ；
故答案为：6.5；
（3）如图所示，BD 即为所求．
第 20 页
【设计意图】本题主要考查了利用轴对称变换作图，掌握关于y轴对称的点的坐
标的特点．
5． 在 4×4的正方形网格中建立如图 1、2所示的直角坐标系，其中格点 A、B
的坐标分别是（0，1），（－1，－1）
（1）请图 1中添加一个格点 C，使得△ABC 是轴对称图形，且对称轴经过点（0，
－1）．
（2）请图 2中添加一个格点 D，使得△ABD 也是轴对称图形，且对称轴经过
点（1，1）．
【答案】解：（1）如图，点 C 即为所求．
（2）如图，点 D 即为所求．
【设计意图】本题考查坐标与图形的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题．
五、作业评价
1． 作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 57 57 100% 50 7 87.7%
2 57 57 100% 48 9 84.2%
3 57 57 100% 52 5 91.2%
4 57 57 100% 47 10 82.5%
5 57 57 100% 45 12 78.9%
2． 作业实施效果及存在问题
（1）基础作图效果较好，90%的学生能够独立完成，学生能够读懂题意，
并且做出相应的图形；
（2）应用探究问题，难度中等，具有一定的深度，80%的学生能够完成，20%
的学生需要借助小组合作完成，完成时间为 10分钟；
第 21 页
（3）综合实践问题，具有一定的深度和难度，需要结合具体问题作图难度
加大，学生掌握起来有些困难．
3． 后期教学指导与教学改进措施
（1）在基础作图的基础上，解决一些与实际相关联的一些问题的时候，学
生存在一定的困难，特别是根据实际情况解答一些应用题的时候难度加大，今
后在这方面应用加强训练．
（2）结合平面直角坐标系的问题的时候，要让学生自己动手，建立简单的
数学模型进行解答．
（3）在解决建设性问题的时候，学生的思维容易受到限制，老师需要适当
的进行指引，然后让学生再进行作答，不要直接给出学生答案，发散他们自己
的数学思想．
4． 课时作业改进及反思
作图题结合实际问题的作图需要加强，特别是在基础作图的基础上，加大
作图的难度训练．而且在出现发散性思维的作图题的时候，学生的思维在短时
间内容易受到限制，教师可以积极的进行引导，也可以把问题延申到课后，作
为课后思考题也是一个不错的选择，让他们多多进行思考，发挥他们自己的主
观能动性，这样效果会更好．
第 22 页
北京冬奥会的国家速滑馆——“冰丝带”
国家速滑馆（National Speed Skating Oval）又称为“冰丝
带”，位于北京市朝阳区近奥林匹克公园林萃路 2 号，是 2022
年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆、唯一新建的冰上竞赛场
馆．
“冰丝带”的设计理念来自一个冰和速度结合的创意，22
条丝带就像运动员滑过的痕迹，象征速度和激情． 国家速滑馆
将作为北京冬奥会大道速滑比赛场地．拥有亚洲最大的全冰面设
计，冰面面积达 1.2 万平方米．平时可接待超过 2000 人同时开
展冰球、速度滑冰、花样滑冰、冰壶等所有冰上运动．
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第十三章 轴对称 第四课时课后作业
一、作业标题：13.2.1 作轴对称图形
二、作业目标
1．作业目标
（1）能作点和线段关于直线对称的图形；
（2）能作几何图形关于直线对称的图形．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过轴对称的性质和线段垂直平分线的性质
与判定，作已知点关于已知直线对称的点，并借此联系到直线上所有点关于已
知直线的对称点，从中培养学生严谨的数学思维与几何作图能力，增强学生数
学美的体验，激发学生喜爱数学的情绪．
第 23 页
达成目标（2）的标志是学生通过对关键点的选择，作关键点关于直线对称
的点，进而对基本图形关于已知直线的对称图形的作法有更深的理解，从中增
强学生化难为简的能力，提升学生的几何作图的能力．
三、作业题目属性统计表
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 改编 2
基础巩固 2 理解、掌握 一般 改编 2
3 应用 一般 改编 5
应用探究 4 应用 一般 改编 6
综合实践 5 应用 较难 改编 10
四、作业内容
（一）基础巩固
1．如图，△AOD 关于直线 l 进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中
不正确的是( )
　 A． ∠A＝∠B
　 B． ∠C＝∠D
　 C． l 垂直平分 AB，且 l 垂直平分 CD
　 D． AC 与 BD 互相平分
【答案】D
【设计意图】利用轴对称的基本概念和性质解决问题
2．如图，已知△ABC 和直线 l，求作△DEF 以直线 l 为对称轴的对称图形.
【答案】解：如图所示
第 24 页
【设计意图】
本题主要考查作图 轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性
质．
3．如图，网格中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 在小正方形的顶点
　 上．
　 (1)在网格纸中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A’B’C’；
　 (2)再找一个格点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是轴对称图形，
　　　并画出对称轴．
【答案】解：（1）如图，△A’B’C’为所求；
（2）如图，点 D 即为所求；
（一）应用探究
4．在平面直角坐标系中，对矩形 ABCD 进行循环往复的轴对称变换，若原
　 来点A的坐标是（a，b），且在第一象限，则经过第 2022次变换后所得 A
　 点坐标是______．
【答案】（－a，－b）
解：∵点 A 第一次关于 x 轴对称后在第四象限，
点 A 第二次关于 y 轴对称后在第三象限，
点 A 第三次关于 x 轴对称后在第二象限，
点 A 第四次关于 y 轴对称后在第一象限，即点 A 回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505…2
第 25 页
∴经过第 2020次变换后所得的A点与起始位置相同，在第一象限，第 2022次变
换后坐标为（－a，－b），
故答案为（－a，－b）．
【设计意图】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，
是本题的难点．
（二）综合实践
5．如图，在 3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，　
　 以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC
　 为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与
　 △ABC 成轴对称．
【答案】6
解析：如图
【设计意图】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出
对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 57 57 100% 55 2 96.5%
2 57 57 100% 55 2 96.5%
3 57 57 100% 45 12 78.9%
4 57 57 100% 46 11 80.7%
5 57 57 100% 40 17 70.1%
2．作业实施效果及存在问题
（1）基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，96%的学生
能够独立完成，学生能够读懂题意，并且可以迅速的完成老师布置的任务；
（2）应用探究问题，难度中等，具有一定的理解难度，80%的学生能够完成，
完成度还是不错的；第六题作图题需要学生对轴对称概念的理解要深刻，并且
掌握熟练的作图方法，具有一定的难度，学有余力的学生可以独立完成作业．
3．后期教学指导与教学改进措施
（1）第一题在做的时候加强基础知识的巩固，对于基本概念的理解需要很
清楚．
第 26 页
（2）第二题在作图的时候难度并不是很大，我们需要的是强调作图的操作
的规范性和步骤的准确性．
（3）对于学生在作图的加强作业当中，图形变换的多样性是我们需要重点
解决的问题．
（4）第四题在完成的时候结合到代数方面的知识，教师可以在讲解的时候
帮助学生回忆以前在学习这部分的知识点，然后再让学生进行作答，增强学生
完成的正确性，增强他们做题的信心．
（5）第五题具有发散性思维，让学生进行充分的思考，在有一定完成度的
时候可以采取全班抢答的方式，增强他们思考的积极性，这样做出来的答案更
加能够在他们的心里加深印象．
4．课时作业改进及反思
全课作业难度梯度整体效果较好，在资源整合的时候，后期应该对作图方
面的应用应该加强，比如像第三题这样的题目，一题多解的情况在作图当中也
是经常出现的．特别体现在第五题的作答过程中，让学生们的积极思考，发挥
他们的主观能动性，这样更能够加强他们学习数学的兴趣．
小小设计师
请你在下方空白处，设计一个美丽的轴对称图形．
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第 27 页
第十三章 轴对称 第五课时 课后作业
一、作业标题： 13.2 《画轴对称图形》 第二课时
二、作业目标
1．作业目标
（1）认知平面直角坐标系中的点关于坐标轴对称点；
（2）理解平面直角坐标系中图形的轴对称．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过平面直角坐标系中点关于坐标轴对称的
点的坐标的规律，体验由特殊到一般的数学思想，为认知与理解几何图形关于
坐标轴对称作准备，从而体会数形结合思想的应用．
达成目标（2）的标志是学生通过点关于坐标轴对称点的规律的认知，以寻
求关键点而作几何图形关于坐标轴对称的图形，从中体验数形结合思想的重要
性，体会数学的美．
三、作业题目属性统计表
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 改编 2
基础巩固
2 理解、掌握 较易 改编 1
3 应用 一般 原创 4
应用探究
4 应用 一般 改编 4
综合实践 5 应用 较难 原创 10
四、作业内容
（一）基础巩固
1．点 M（－2，3）与点 N 关于 y 轴对称，求 M，N 两点之间的距离（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
【答案】B
【设计意图】本题主要考察关于坐标轴的对称点的坐标规律，点到坐标轴上的
距离，以及两点（横坐标或纵坐标相同时）间的距离，引导学生体会数形结合
的思想，培养学生对知识的迁移能力，以及综合运用能力．
2．如图，线段 AB 关于 y 轴对称的线段是（ ）
A． 线段 BC B． 线段 OD
C． 线段 DE D． 线段 EF
【答案】C
【设计意图】本题主要考察图形关于 x 轴、y 轴对称
的特征，从点关于坐标轴对称迁移到线段关于坐标
轴对称． 学生通过点关于坐标轴对称点的规律的认
知，以关键点寻求已知线段关于坐标轴对称的线段，
使学生能在平面直角坐标系中确定几何图形的轴对
称图形，培养学生的类比的思想和数形结合的思想．
（二）应用探究
3．已知点 P（x，y＋3）与点 Q（1－y，2x）关于 y 轴对称，求 x y的平方根．
【答案】解： ∵点 P（x，y＋3）与点 Q（1－y，2x）关于y轴对称
x 1 y
∴
y 3 2x
第 28 页
x 4
解得
y 5
∴ x y 9
即 x y 3
【设计意图】本题目考察学生对于二元一次方程列式解法的运用，对两点关于
坐标轴对称的特征的掌握，以及对于平方根的计算． 培养学生对知识点的综合
运用能力． 提高学生对于代数的计算能力，也提高学生对于坐标系图像中轴对
称的理解能力，培养学生数形结合的思想．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC
　 的顶点坐标，点 A（－1，2），点 B（－3，
1），
　 点 C（－2，4）．
　 (1)画出△ABC 关于 x 轴对称后的对称图形
　　　△ A1B1C1．
　 (2)将△ABC 向下平移三个单位长度所得到
的图形，再关于 y 轴对称得到△ A2 B2C2， 　
请画出△ A2 B2C2，写出顶点 A2，B2，C2 　
的坐标．
　 (3)求出△ABC 的面积．
【答案】
解：(1) 如图
(2) A2（1，－1），B2（3，－2），C2 （2，1）
如图
(3) S矩形 2 3 6
S1 S2 0.5 2 1 1
S3 0.5 3 1 1.5
S ABC 6 1.5 1 1 2.5
【设计意图】本题目考察学生掌握图形在坐标系中平移的特征，图形在坐标系
中轴对称的应用，图形关于 x 轴、y 轴的对称图形的作图方法和过程，以及运用
割补法求坐标系中图形的面积方法，通过点关于坐标轴对称点的规律的认知，
来寻找关键点而作几何图形关于坐标轴对称的图形，从中体验数形结合思想的
重要性，感受数学之美． 培养学生抽象思维和具体逻辑思想相结合的能力，提
高学生对知识点的综合运用能力．
（三）综合实践
5．芜湖市方特欢乐世界是一座以文化产业理念打造的主题乐园，也是中国目前
规模最大的第四代主题乐园．图一是一幅芜湖市方特欢乐世界的游览图，其
中以水世界为原点，分别以水平线和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标
系，对应如图二所示的坐标．
第 29 页
（图一） （图二）
(1)请直接写出儿童王国的坐标 ，渔人码头的坐标 ．
(2)请写出儿童王国关于 y 轴对称的地点是哪一处，坐标是多少．
(3)找出国关于 x 轴对称的地点，写出所有相应的地点和坐标．
(4)小芳一家人来到方特欢乐世界游玩，进大门后来到渔人码头，小芳看了看
地图所对应的坐标系，说到从渔人码头直接到儿童王国的距离与从渔人码
头直接到神秘河谷的距离相等，请问小芳说的正确吗？请用所学过的数学
知识来说明理由．
【答案】
解：(1)（－5，2） （0，－3）
(2)答：儿童王国关于 y 轴对称的地点是神秘河谷，坐标（5，2）
(3)答：儿童王国（－5，2）和火流星（－5，－2）关于 x 轴对称．
失落帝国（5，3）和太空世界（5，－3）关于 x 轴对称．
(4)答：小芳说的正确，从渔人码头到儿童王国的距离与从渔人码头到神秘河谷
的距离相等．
∵儿童王国（－5，2）和神秘河谷（5，2）关于 y 轴对称
∴y 轴是儿童王国和神秘河谷两点所构成线段的垂直平分线
∵渔人码头（0，－3）是 y 轴上的点，由于垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
∴从渔人码头到儿童王国的距离与从渔人码头到神秘河谷的距离相等
【设计意图】本题主要考察两点关于坐标轴对称的特征，图形关于坐标轴对称
的特征，以及垂直平分线的性质的理解和运用． 通过对芜湖方特的介绍，感受
生活之美，数学之美，丰富学生的生活知识，课外知识，提高学生对数学的兴趣．
利用实际问题转化为数学模型，培养学生理论联系实际的思想，增强学生对知
识点的综合运用能力．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 56 56 100% 52 4 93%
2 56 56 100% 50 6 89%
3 56 56 90% 43 13 77%
4 56 56 90% 45 11 80%
5 56 56 82% 38 18 68%
2．作业实施效果及存在问题
第 30 页
基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，95%的学生能够独
立完成，所有学生能够读懂题意，平均完成时间为 3分钟，部分同学错于对基
础知识，对称点坐标规律的理解不全面；
应用探究问题，难度中等，具有一定的深度，90%的学生能够完成，其中 10%
的学生需要借助小组合作完成，完成时间为 8分钟，部分同学错在对综合知识，
对称点坐标规律，平移点的坐标规律以及解方程等知识点综合运用不熟练；
综合实践问题，第 6题，82%的学生能够完成，完成时间为 10分钟，需要
学生对本课时的作业进行整合建构，具有一定的深度和难度，学有余力的学生
可以独立完成作业，大部分学生需要通过小组合作完成，整体效果次之．
3．后期教学指导与教学改进措施
（1）第一题完成情况较好，正确率较高，能看出学生对于轴对称的两个点
之间的距离可以熟练解决.对于两点间的距离问题理解较为透彻.
（2）第二题绝大部分同学能够理解轴对称的两条线段之间的关系和特征，
少部分同学将轴对称与中心对称混淆，因此在之后的练习中可以设计此类题目，
便于学生区分.
（3）第三题中，关于坐标轴对称的两点间关系，少部分同学易混淆.尤其是
两点的横坐标和纵坐标的特征上，忘记哪两个相同，哪两个互为相反数.今后的
复习时，需要将此类问题多在平面直角坐标系的图像上展示给学生，通过数形
结合的思想，理解并掌握此类性质，大多数同学对于解二元一次方程这个知识
点掌握情况较好.
（4）第四题作图题中，第一问，第二问大多数同学能够顺利完成，对于平
移和轴对称的图形问题掌握较好，在动手作图上少数同学不能准确找到轴对称
图形，平移的图形的对应点，针对动手的能力还需要再提高.部分学生对于第三
问，利用割补法求面积时，较多的数字，多次的计算，图形面积之间的关系综
合知识点上无法做好每一步，总在某处有不足，后续教学中，需要将每个知识
点都要熟练掌握，再以综合性知识点的题型加以训练，从而锻炼学生的思维.
（5）第五题实际问题中，第一问正确率较高，点的坐标都能正确表示出来.
第二问完成程度较好，轴对称的点也能较准确的找出并表示.第三问中需要学生
考虑问题要全面，少部分同学无法准确找出所有关于 x轴对称的点的坐标，说
明学生考虑问题上不够周全，往往找到一组后就不去思考其余情况，这种缺点
需要在今后的教学中指出纠正，设计一些综合性多种答案的问题，锻炼学生全
面思考问题的能力.最后一问中，大部分学生可以完成，但美中不足的是无法准
确描述所用的数学知识，说明学生掌握但不完全理解垂直平分线的数学知识，
今后教学中仍需不断提升自身素养，每一个知识点的讲解中，需要从图像或引
例或实际问题来深入理解知识点，而不能死记硬背.
4．课时作业改进及反思：
（1）作业的布置上要加深当前学习知识的理解，对所学过的知识进行复习
巩固，且要注意难度上层层递进，要能够体现知识点之间的联系．
（2）作业不但要培养学生的理论知识，还需要培养学生动手操作的能力．
（3）作业通过坐标轴，对称点坐标规律与生活实际相结合．学生通过实际
生活中的问题从而建立数学模型．
（4）部分学生对于对称点坐标规律死记硬背，从而记忆混淆导致错题．教
学应通过画平面直角坐标系，用坐标表示点，并从中体会对称点坐标的规
律．通过用坐标表示对称点的规律，提高学生数形结合的数学思想．
（5）复习时应从对称点的坐标规律，平移点的坐标规律，上升到图形的对
称和平移的规律，从而培养学生对知识点的迁移能力． 返回目录
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第十三章 轴对称 第六课时 课后作业
一、作业标题： 13.3.1 《等腰三角形》 第一课时
二、作业目标
1．作业目标
（1）理解“等边对等角”；
（2）理解“三线合一”．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过熟悉的证明三角形全等的方法认知“等
边对等角”，并能应用这一定理进行几何推理证明，从而理解等腰三角形两个
底角相等的由来，体验三角形中边与角的关系，从中培养学生的观察能力与逻
辑推理能力．
达成目标（2）的标志是学生能通过证明的过程突出“三线合一”的状态，
从中体验数学图形的特殊性与数学的美．
三、作业题目属性统计表：
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 改编 1
基础巩固 2 理解、掌握 较易 改编 2
3 理解、掌握 较易 原创 2
应用探究 4 应用 一般 原创 6
综合实践 5 应用 较难 改编 10
四、作业内容
（一）基础巩固
1．如图，在△ABC 中，已知 AB＝BC，∠ABC＝40°，
BD∥AC，BE 为∠CBD 的平分线，求∠DBE 的
度数（ ）
A． 30° B． 35°
C． 40° D． 45°
【答案】C
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质 1等边对等角，平行线的性质，
角平分线的基本定义，培养学生对知识的迁移能力，使学生对等腰三角形的性
质加以巩固，以及综合知识的运用．
2．如图、在△ABC 中，已知 AB＝AC，AD⊥BC，则下列说
法中错误的是（ ）
A． ∠B＝∠C 　 B． ∠BAD＝∠CAD
C． BD＝CD 　 　 D． ∠B＝∠BAC
【答案】D
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质 1等边对等角和性质 2三线合一．
突出本节课的重点，考察点明确，使学生直观感受等腰三角形的两条性质，符
合学生认知，使学生有效的掌握等腰三角形的两条性质，并且能够熟练运用．
3．在许多桥梁建筑中，也运用到了等腰三角形的性质． 如图，芜湖中江桥是一
座独塔斜拉桥，桥长约 1.6 km． 若将中江桥简化成等腰三角形模型，已知 BC
＝1.6 km，AB＝AC，AD⊥BC，BD 长度为 ．
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【答案】 0.8 km
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质 2三线合一的实际运用． 通过理
论联系实际，学生从芜湖众多桥梁中感受到数学知识的运用，既能够体现生活
的艺术，又能培养学生对数学的兴趣． 从几何图形的概念、性质与判定等方面
去认知，提高学生对学好数学的积极性． 通过实际运用，更能有效的掌握三角
形的性质，加深印象．
（二）应用探究
4．芜湖长江大桥于 2000年竣工，是安徽省第一座公路及铁路两用大桥．它也
同样运用到等腰三角形的性质等知识点．如图，简易模型中，在△ABC 中，
AB＝AC，AD 为∠BAC 的平分线，点 E 是 AD 上任意一点（点 E 不与点 A 或
点 D 重合）
(1)证明 BD＝CD
(2)证明△BDE≌△CDE
【答案】
证明：(1)∵在△ABC 中，AB＝AC
∴△ABC 为等腰三角形
∵AD 为∠BAC 的平分线
∴AD 为 BC 边上的中线（三线合一）
∴BD＝CD
(1)∵△ABC 为等腰三角形，AD 为∠BAC 的平分线
∴AD 为 BC 边上的高（三线合一）
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在△BDE 和△CDE 中
BD CD

ADB ADC 90
DE DE
∴△BDE ≌△CDE（SAS）
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质 2，全等三角形的判定．培养学生
对知识点的迁移能力，对知识点的综合运用能力，培养学生对证明题过程的掌
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握，学生能通过证明的过程突出“三线合一”的状态，从中体验数学图形的特
殊性与数学的美．理论联系实际，感受等腰三角形的性质对实际运用的过程起
到的作用．
（三）综合实践
5．等腰三角形在力学中也有应用，如图，已知梁架 AF 与架底 AE 形成 20°的夹
角，为了分解AF的受力，现将长度相等的钢条焊接在上面，即AB＝BC＝CD＝
DE＝EF，这样可以使得梁架 AF 不易变形．根据以上条件求得∠DFE 的度数．
【答案】
解：∵AB＝BC，∠A＝20°
∴∠ACB＝∠A＝20°
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝40°（三角形外角等于不相邻的两个内角和）
∵BC＝CD
∴∠BDC＝∠CBD＝40°
∴∠BCD＝180°—∠BDC—∠CBD＝100°
∴∠DCE＝180°—∠BCD—∠ACB＝60°
∵CD＝DE
∴∠CED＝∠DCE＝60°
∴∠CDE＝180°—∠CED—∠DCE＝60°
∴∠EDF＝180°—∠CDE—∠BDC＝80°
又∵DE＝EF
∴∠DFE＝∠EDF＝80°
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质 1，三角形内角和，三角形外角定
义． 培养学生对知识点的迁移能力，对知识点的综合运用能力． 既要学习新
知、掌握新知，也要巩固复习所学过的知识，体现数学知识的相互联系． 通过
数学和物理知识的结合，数学知识与生活实际想联系，丰富学生的课外知识，
提高学生的学习兴趣，培养学生对知识实际运用的能力．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 56 56 100% 52 4 93%
2 56 56 100% 49 7 88%
3 56 56 100% 51 5 91%
4 56 56 93% 40 16 71%
5 56 56 80% 35 21 63%
2．作业实施效果及存在问题
基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，95%的学生能够独
立完成，所有学生能够读懂题意，平均完成时间为 5分钟，部分同学错于对基
础知识，等腰三角形的性质理解不全面；
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应用探究问题，难度中等，具有一定的深度，93%的学生能够完成，其中 10%
的学生需要借助小组合作完成，完成时间为 7分钟，部分同学错在对综合知识，
等腰三角形性质及全等三角形综合运用不熟练；
综合实践问题，第 6题，80%的学生能够完成，完成时间为 10分钟，需要
学生对本课时的作业进行整合建构，具有一定的深度和难度，学有余力的学生
可以独立完成作业，大部分学生需要通过小组合作完成，整体效果次之．
3．后期教学指导与教学改进措施
（1）第一题完成情况较好，正确率较高，能看出学生对于等腰三角形等边
对等角的性质掌握熟练，能够运用角平分线，平行线的性质解决问题，拥有初
步的几何证明的推理能力.
（2）第二题绝大部分同学能够理解并掌握等腰三角形等边对等角，三线合
一的性质，少部分同学基础较为薄弱，对于概念性的知识点不能熟记，需要在
今后教学中有针对性的指导学生，于等腰三角形的图像中通过全等三角形的几
何证明推演，深入理解等腰三角形的性质.
（3）第三题中，少部分学生掌握等腰三角形三线合一的性质不够牢固，或
者掌握却不能合理运用，今后需要以等腰三角形三线合一的性质为重点，进行
相关题型的练习，在几何证明中一步步推理并得到结论.
（4）第四题拓展题中，第一问大多数同学能够顺利完成，对于三线合一的
性质理解并掌握.第二问，既涉及到等腰三角形三线合一的性质，又运用到全等
三角形的证明，少部分学生无法完整推理证明.说明学生虽然掌握每一条性质知
识点，但综合起来后，无法准确运用合适的知识点去解决相关问题，这也是这
个阶段许多学生的通病.今后教学中，加强知识点的理解，熟练掌握知识点的前
提下，才能够解读相关题型所涉及到的知识.多以综合性证明题型进行推演讲解
和练习，并且引导学生一步步自己证明，提升学生的逻辑思维能力，增强学生
学习的信心.
（5）第五题实际问题，涉及到物理相关知识点，提高学生眼界，培养学生
学习兴趣.大部分学生能够利用三角形的外角，等腰三角形的性质解决问题，少
数学生在一步步推演过程中发生计算错误，还有少部分学生，对于三角形的外
角，等腰三角形的性质不熟所导致错误.这些错误都是由于概念不清，计算基础
能力不扎实导致，之后的课堂上巩固相关知识点，扎实学生的基础，针对不同
程度学生，设置不同题型和教法，使得每一位学生发现自己某知识点不足，从
而进行该知识点的练习得到改进.
4．课时作业改进及反思
（1）作业的布置注意难度上层层递进，加深当前学习知识的理解，并对所
学过的知识进行复习巩固，能够体现知识点之间的联系．
（2）作业不但要培养学生的理论知识，还需要培养学生动手操作的能力，
本课时作业侧重几何逻辑推理题型．
（3）作业上能够体现理论联系实际，数学学科与其他学科知识相互联系．
（4）课后的学习中，需要提高学生的基础，即计算能力，许多同学由于计
算错误导致错题．
（5）教学中巩固学生对等腰三角形性质，三线合一的理解，许多同学理解
定义不会运用，教学需要通过证明的过程突出“三线合一”的状态，从中体验
几何逻辑推理．
（6）教学上突出知识点的综合运用，等腰三角形三线合一与全等三角形相
结合，培养学生对知识点的迁移能力，部分学生对于等腰三角形与全等三角形
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综合知识运用不熟练． 返回目
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第十三章 轴对称 第七课时 课后作业
一、作业标题： 13.3.1 《等腰三角形》 第二课时
二、作业目标
1．作业目标
（1）理解“等角对等边”；
（2）能利用“等边对等角”与“等角对等边”进行几何证明．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过质疑“等边对等角”的逆命题，类比其
证明过程，提出“等角对等边”定理的证明方法，从而体验三角形中边与角的
关系，从中培养学生的观察能力与逻辑推理能力．
达成目标（2）的标志是学生能通过直接应用等腰三角形的性质与判定定理
进行几何推理，突出对三角形的边与角的关联的理解，从而提升学生的几何推
理能力，增强学生的逻辑思维能力．
三、作业题目属性统计表：
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 原创 1
基础巩固
2 理解、掌握 较易 改编 2
3 应用 一般 原创 4
应用探究
4 应用 一般 改编 5
综合实践 5 应用 较难 原创 9
四、作业内容
（一）基础巩固
1．芜湖古城有着悠久的历史文化，街两旁店铺林立，多为两层砖木结构的房屋，
呈徽派居民风格． 在其中我们不难发现房檐的侧视图中有许多三角形模
型．为 判断房檐侧视图是否为等腰三角形，如图，在△ABC 中，已知点 D
是 BC 中点，添加以下哪一个条件，仍不能推出△ABC 为等腰三角形（ ）
A． ∠B＝∠C B． ∠BAD＝∠CAD
C． ∠ADB＝90° D． ∠B＝∠CAD
【答案】D
【设计意图】本题主要考察等腰三角形三线合一的判定方法． 通过直接应用等
腰三角形的性质三线合一与判定定理进行几何推理，突出对三角形的边与角的
关联的理解，从而提升学生的几何推理能力，增强学生的逻辑思维能力．通过
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联系生活实际，介绍芜湖古城的形象，感受到芜湖之美，芜湖历史文化的悠久，
培养学生的对几何学习的兴趣，感受到几
何的艺术．
2．如图，在△ABC 中，已知△ACD 的周长
为 11 cm，BC 的垂直平分线分别交 AB，
BC 于点 D，点 E，CE＝4 cm，则△
ABC、
的周长为 ．
【答案】 19 cm
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质与判定的综合运用，三角形周长
的计算方法以及体验垂直平分线的性质和三线合一之间的联系．等腰三角形的
性质与判定定理是类比角平分线与线段垂直平分线的性质与判定定理完成的，
在几何推理中是可以直接应用的，而学生习惯于通过证明三角形全等来论证线
段与角的相等．培养学生的类比思维．
（二）应用探究
3．在物理学中，光的反射定律也利用了等腰三角形的轴对称特点．如图，线段 m
和线段 n 是两面平行放置的平面镜，点 B 和点 D 在线段 m 上，点 F 和点 H
在线段 n 上，光源从点 A 发出的入射光线，经过平面镜三次反射于 DE 方向
射出．已知入射角等于反射角，∠ABF＝∠CBF＝40°，∠BCG＝∠DCG，∠
CDH＝∠EDH，BF⊥BD，DH⊥BD，CG⊥FH，证明△BCD 为等腰三角形，
求出其底角度数．
【答案】
证明：∵∠ABF＝∠CBF＝40°，BF⊥BD
∴∠CBD＝90°—∠CBF＝50°
∵m∥n
∴∠CBD＝∠BCF＝50°
又∵CG⊥FH
∴∠BCG＝90°—∠BCF＝40°
∴∠DCG＝∠BCG＝40°
即∠DCH＝90°—∠DCG＝50°
∵m∥n
∴∠CDG＝∠DCH＝50°
∴∠CDG＝∠CBD＝50°
即△BCD 是底角为 50°的等腰三角形（等角对等边）
【设计意图】本题主要考察等腰三角形的性质与判定的综合运用，平行线的性
质，垂线和平行线的联系． 增强对“等边对等角”与“等角对等边”的的理解．
知识点的综合运用，提高学生的学习能力． 使学生能够运用严谨的数学语言来
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进行证明，提升学生的逻辑思维能力． 感受数学与物理的紧密联系，数学与生
活的紧密联系，培养学生对学习的兴趣，对生活的好奇心和对知识的探知欲．
4．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点 F 为 BC 中点，BD＝AE，证明△DEF
为等腰三角形．
【答案】
证明：连接 AF
∵△ABC 是等腰直角三角形，点 F 为 BC 中点
∴AF⊥BC 于点 F（三线合一）
∴∠B＝∠C＝45°，∠AFB＝∠AFC＝90°
∴∠B＝∠BAF＝∠CAF＝45°
∵∠B＝∠BAF
∴AF＝BF（等角对等边）
在△BDF 和△AEF 中
BD AE
B EAF
BF AF
∴△BDF≌△AEF（SAS）
∴DF＝EF
∴△DEF 为等腰三角形
【设计意图】本题主要考察辅助线的作法，等腰三角形的性质和判定，全等三
角形的证明方法．从等腰三角形的性质和题目所给条件的灵感突出辅助线的作
法，解决文字命题的求证过程，突出几何语言的表达，增强学生对性质和判定
的认知与应用能力．培养学生的学习能力，逻辑思维能力，对知识的综合运用
能力．
（三）实践性作业
5．动手做一做． 每位同学在纸上画一个任意的直角三角形，将两张纸重叠，沿
着画出的痕迹剪出两个直角三角形，如图一． 试着动手拼一拼，能拼出几种
不同的三角形，并且证明拼成的三角形是等腰三角形．
（图一） （图二） （图三）
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【答案】
解：实践题，开放性答案． 需要学生自己动手做，动手裁剪，再去拼接，在第
二天课堂上，师生共同归纳总结．
情况 1：如果剪出其余角是 45°的直角三角形，该同学只能拼出一种等腰
三角形，并且是等腰直角三角形．
情况 2：如果剪出其余角不是 45°的直角三角形，该同学可以通过图二、
图三的情况拼出两种等腰三角形，一个是锐角等腰三角形，另一个是钝角等腰
三角形．
证明方法有多种．
方法一：通过两个全等的直角三角形，得到两个对应角相等，等角对等边
的方法证明等腰三角形．
方法二：通过两个全等的直角三角形，得到重合的公共边是三角形底边上
的高，是三角形的顶角平分线，也是三角形底边上的中线，通过三线合一的方
法证明等腰三角形．
【设计意图】本题为实践题，目的考察学生对等腰三角形性质和判定的实际运
用，以及理论知识与生活实际相结合的能力，培养学生独立思考，动手操作的
能力． 运用对三角形的判定相关知识，学生体验多种情况讨论的思想，培养学
生的学习能力，从而促进学生对等腰三角形性质和判定的理解和运用． 提升学
生的研究能力和几何证明能力，体会几何直观感受． 通过学生实际操作，感受
数学几何之美，培养学生对数学的兴趣，提高学生学习的主观能动性．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 56 56 100% 52 4 93%
2 56 56 100% 50 6 89%
3 56 56 100% 49 7 88%
4 56 56 90% 39 17 70%
5 56 56 80% 34 22 61%
2．作业实施效果及存在问题
基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，95%的学生能够独
立完成，所有学生能够读懂题意，平均完成时间为 3分钟，部分同学错于对基
础知识，等腰三角形的判定理解不全面；
应用探究问题，难度中等，具有一定的深度，90%的学生能够完成，其中 10%
的学生需要借助小组合作完成，完成时间为 8分钟，部分同学错在对综合知识，
等腰三角形判定及全等三角形综合运用不熟练；
综合实践问题，第 6题，80%的学生能够完成，完成时间为 10分钟，需要
学生对本课时的作业进行整合建构，具有一定的深度和难度，学有余力的学生
可以独立完成作业，大部分学生操作过程需要通过小组合作完成，部分同学错
在不能讨论出所有情况．
3．后期教学指导与教学改进措施
（1）第一题完成情况较好，正确率较高，能看出绝大部分学生对于等腰三
角形等角对等边，三线合一的判定掌握较好.通过了解课外知识芜湖古城，培养
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学生学习兴趣，可以看出学生在做练习时十分投入，增强学生的民族自豪感，
爱国情怀.
（2）第二题绝大部分同学能够理解并掌握等腰三角形等角对等边，三线合
一的判定方法，少部分同学基础较为薄弱，对于概念性的知识点不能熟记，运
用垂直平分线的性质和判定时不够熟练.需要在今后教学中有针对性的指导学
生，巩固知识点从而理解并掌握相关性质和判定.通过含等腰三角形三线合一和
垂直平分线综合知识点的练习，提升学生的几何证明能力.
（3）第三题中，少部分学生掌握等腰三角形三线合一的判定不够牢固，或
者掌握却不能合理运用，今后需要以等腰三角形三线合一的判定为重点，进行
相关题型的练习，在几何证明中一步步推理并得到结论.大多数学生对该题十分
感兴趣，学生对于物理中光的反射知识已经掌握，联系到数学时，既培养学生
学习的水平迁移能力，又增强学生对知识点的巩固和兴趣.
（4）第四题拓展题中，关于三线合一的知识点大多数同学能够顺利发现并
运用，对于三线合一的性质理解并掌握.本题涉及的知识点，既有等腰三角形三
线合一，又运用到全等三角形的证明，少部分学生无法完整推理证明.今后教学
中，加强知识点的理解，熟练掌握知识点的前提下，才能够解读相关题型所涉
及到的知识.多以综合性证明题型进行推演讲解和练习，并且引导学生一步步自
己证明，提升学生的逻辑思维能力，增强学生学习的信心.
（5）第五题实践操作问题，涉及到等腰三角形的判定，三线合一，提高学
生动手操作能力，全面分析问题的能力，培养学生学习兴趣.部分学生能够利用
等腰三角形的性质解决问题，准确拼凑出两种等腰三角形并且加以证明.其余大
部分学生能拼出一个等腰三角形并且加以注明.少部分同学在理论上掌握知识
点，但实践操作时不能灵活运用知识证明.今后的教学中，不仅注重理论知识点
教授，推演几何证明，还需要注重学生自己动手作图，动手操作的能力，发现
学生此类弱点加以改进，今后的课后作业也可以多设置动手实践性题型.
4．课时作业改进及反思
（1）作业的布置要注意难度上层层递进，加深当前学习知识的理解，并对
所学过的知识进行复习巩固，要能够体现知识点之间的联系．
（2）作业不但要培养学生的理论知识，还需要培养学生动手操作的能力，
提高学生思维能力，本课时作业考察动手操作的同时还需要学生能够讨论多种
情况．
（3）作业上理论联系实际，学生能通过实际问题转化为数学模型从而解决
问题．本课时作业学科之间相互联系，能促进学生对学科之间知识的迁移能力．
（4）还需加强学生对等腰三角形判定，三线合一的理解，许多同学理解定
义不会运用，需要突出对三角形的边与角的关联的理解，从中体验几何逻辑推
理．
（5）从知识点的综合运用，等腰三角形三线合一与全等三角形相结合进行
教学，培养学生对知识点的迁移能力，部分学生对于等腰三角形与全等三角形
综合知识运用不熟练，导致题目出错．
（6）多巩固作辅助线类型的题目．通过知识点的熟练掌握从而判断出正确
的辅助线，锻炼学生的思维能力．让学生能够从生活中善于发现等腰三角形相
关知识的运用．
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第十三章 轴对称 第八课时 课后作业
一、作业标题： 13.3.2 《等边三角形》 第一课时
二、作业目标
1．作业目标
（1）理解等边三角形的概念、性质与判定；
（2）能利用等边三角形的性质进行推理与计算．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过对等腰三角形的底和腰相等的特殊情况
的认知，抽象出等边三角形的概念，并利用“等边对等角”推理出等边三角形
的性质，由此通过从边、角以及角边组合三个方面寻求等边三角形的判定方
法．从中培养学生养成良好的学习习惯，体验严谨的研究精神，增强学生的逻
辑推理能力．
达成目标（2）的标志是学生能利用等边三角形的性质与判定定理进行几何
证明的推理，从中增强学生应用定理的能力与逻辑思维能力．
三、作业题目属性统计表
预计作业时
题目类型 题目序号 认知水平 难易程度 题目来源
长（分钟）
1 理解、掌握 较易 改编 1
基础巩固 2 理解、掌握 较易 改编 2
3 理解、掌握 较易 改编 2
应用探究 4 应用 一般 改编 6
综合实践 5 综合 较难 改编 10
三、作业内容
（一）基础巩固
1．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 a b b c 2 0，则△ABC 是
（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】A
【设计意图】本题主要考察等边三角形的判定，绝对值和平方的非负性． 增强
学生应用定理的能力与逻辑思维能力，提高学生对等边三角形判定的掌握，通
过绝对值和数的平方的非负性来提高学生知识的迁移能力及综合运用能力．
2．如图，△ABC 是边长为 6 cm的等边三角形，点 D，
E
分别为 AC，BC 边上的中点，则△CDE 的周长是
（ ）
A． 6 cm B． 9 cm
C． 12 cm D． 18 cm
【答案】A
【设计意图】本题主要考察等边三角形的性质和判定的
理解和运用，中点的定义，以及三角形周长的计算方法． 运用等边三角形三边
关系和三个内角度数的性质，结合中点的含义，从而判定△CDE 为等边三角形，
进而求得 DE 长度． 学生尝试对定理的直接应用，增强知识的应用能力，巩固
学生对等边三角形的性质与判定定理的理解．
3．下列三角形中，是等边三角形的有 ．
①有两个角等于 60°的三角形．
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②有一个角等于 60°，两边相等的三角形．
③一边上的中线也是这条边上的高的三角形．
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
【答案】 ①②④
【设计意图】本题主要考察等边三角形的判定的多种情况，学生对概念掌握是
否牢固，运用是否熟练． 继对等腰三角形的边和角的关系的认知之后，再对等
边三角形的边和角的关系的认知，通过从边、角以及角边组合三个方面寻求等
边三角形的判定方法．提高学生的辨析能力，培养学生的抽象逻辑思维能力．
（二）应用探究
4．如图，点 C 是线段 BE 上一点，△ABC，
△DCE是等边三角形，AE交CD于点N，
BD 交 AC 于点 M，连接 MN
（1）证明：∠AEC＝∠BDC；
（2）证明：△CMN 为等边三角形．
【答案】
证明：
（1）∵△ABC，△DCE 是等边三角形
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°
∵点 C 是线段 BE 上一点
∴∠ACD＝180°—∠ACB—∠DCE＝60°
∴∠ACE＝∠BCD＝120°
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴∠AEC＝∠BDC
（2）由（1）可知 ∠AEC＝∠BDC，∠ACD＝∠DCE＝60°
在△DMC 和△ENC 中
MDC NEC

CD CE
MCD NCE
∴△DMC ≌△ENC（ASA）
∴CM＝CN
∵∠MCN＝60°
∴△CMN 为等边三角形
【设计意图】本题主要考察等边三角形的性质和判定的多种方法综合运用，以
及证明全等三角形的方法综合运用．从等边三角形的性质入手，为全等三角形
的证明提供条件．培养学生对于全等三角形发现，证明，判定，以及结果的运用，
增强学生的几何直观与逻辑思维，培养学生严谨的几何证明过程．
（三）综合实践
5．如图，△ABC 是边长为 12 cm的等边三角形，动点
M，N 分别从点 A，B 同时出发，沿着△ABC 的边
运动，已知点 M，点 N 的速度分别为 1 cm/s，2
cm/s，当 N点第一次到达 B点时，点 M，点 N同时停
止运动，设运动时间为 t(s)．
（1）当 t 为何值时，M，N 两点重合？两点重合在
什么位置？
（2）运动过程中，是否存在△AMN 是以 MN 为底
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边的等腰三角形？若存在，请求出此时运动时
间 t；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）由题可知 t＋12＝2t，解得 t＝12，
∴当 t＝12s 时，M，N 两点重合，此时两点在 C 处重合
（2）情况 1：如图一所示，当点 N 在 AB 上，点 M 在 AC
上，AN＝AM 时，
可以得到以 MN 为底的等腰三角形．
12－t＝2t，解得 t＝4，
∴当 t＝4 s时，可以得到以 MN 为底的等腰三角形
情况 2：如图二所示，当点 M，N 都在 BC 上，AN＝
AM 时，
可以得到以 MN 为底的等腰三角形．
理由如下：由（1）可知，12 s时，M，N 两点在 C 处重合．
当△AMN 为等腰三角形时，即 AM＝AN 图一
∴∠AMN＝∠ANM
∴∠AMC＝∠ANB
∵△ABC 为等边三角形
∴AC＝AB，∠C＝∠B
∴△AMC≌△ANB（AAS）
∴CM＝BN
设点 M，N 从 C 点开始运动 x 秒，CM＝x，CN＝2x， 图二
BN＝12－2x
x＝12－2x，解得 x＝4，∴此时一共运动时间 t＝12＋4＝16 s
∴当 t＝16 s时，可以得到以 MN 为底的等腰三角形
【设计意图】本题主要考察等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据运动
轨迹建立方程模型，以及分类讨论的思想． 巩固学生对新知的所学，并且能复
习旧知． 将知识点融会贯通，相互联系，提升学生的研究能力，增强学生的逻
辑思维． 并且培养学生的数学建模思想，数形结合思想以及分类讨论的思想，
通过几何语言让学生更深刻地体验几何推理的应用，感受几何之美．
五、作业评价
1．作业题目具体数据分析
题号 应做人数 实做人数 完成率 答对人数 答错人数 正确率
1 56 56 100% 52 4 93%
2 56 56 100% 50 6 89%
3 56 56 100% 49 7 88%
4 56 56 90% 38 18 68%
5 56 56 80% 29 27 52%
2．作业实施效果及存在问题
基础题目整体效果较好，考察本课时知识的基础性问题，95%的学生能够独
立完成，所有学生能够读懂题意，平均完成时间为 3分钟，部分同学错于对基
础知识，等边三角形的判定理解不全面；
应用探究问题，难度中等，具有一定的深度，90%的学生能够完成，其中 10%
的学生需要借助小组合作完成，完成时间为 8分钟，部分同学错在对综合知识，
等边三角形性质和判定及全等三角形综合运用不熟练；
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综合实践问题，第 6题，80%的学生能够完成，完成时间为 12分钟，需要
学生对本课时的作业进行整合建构，具有一定的深度和难度，学有余力的学生
可以独立完成作业，大部分学生操作过程需要通过小组合作完成．大部分同学
只能讨论出一种情况，不能讨论出所有情况．
3．后期教学指导与教学改进措施
（1）第一题正确率较高，能看出绝大部分学生对于等边三角形的性质和判
定，有理数相关知识点掌握较好.
（2）第二题绝大部分同学能够理解并掌握等边三角形的性质，中点的定义，
三角形周长计算方法.少部分同学基础较为薄弱，计算出错，有针对性的进行计
算题上的训练.
（3）第三题中，大部分学生可以理解并掌握等边三角形的几种判定方法，
少数学生易混淆，或漏记某种判定方法.在教学中，需要通过几何证明来推理出
等边三角形的判定成立条件，加深学生理解和印象.通过课前的几分钟提问复
习，使学生能够自己归纳出等边三角形的判定.练习中多以等边三角形各类判定
综合性题型来巩固知识点.
（4）第四题拓展题中，大部分学生可以准确解决第一问，找出全等三角形
并正确推理证明，说明大多学生掌握全等三角形的证明，等边三角形的性质的
运用.但在第二问中，部分学生难以思考到第二组全等三角形，难以证明出等边
三角形导致错误，需要通过教学上多以综合知识点的题型给学生进行思考，并
且教学方法多以学生为主体，引导学生发现条件，甚至一题多解，在练习上以
综合性的题型为主，培养学生几何证明的能力，巩固知识点并能灵活运用.
（5）第五题综合题，涉及到等腰三角形的判定，等边三角形的性质和判定，
第一问中大部分学生可以正确解决，说明对于一元一次方程的行程问题掌握熟
练.但第二问，许多学生考虑不周全，导致遗漏一种情况没讨论到，反应学生全
面分析问题的能力不足，少数学生在做题时作出的图像中可以看出，等边三角
形的一周都考虑到是否存在等腰三角形，考虑问题十分全面.大多数学生思维较
为跳跃，容易考虑不周全.部分学生即使考虑到了所有情况，在几何证明推理过
程中不够严谨导致出错.今后教学中，更加严格规范学生的几何证明过程，明确
题目用到的定理，清楚条件和结论.学会多种情况考虑问题，教学时应该多给学
生展现的机会，分享不同观点，从而培养全面分析问题的能力.
4．课时作业改进及反思
（1）作业的布置要注意难度上层层递进，加深当前学习知识的理解，并对
所学过的知识进行复习巩固，要能够体现知识点之间的联系．极少数学生审题
不仔细，需要在教学中提醒学生对于题目重点信息勾画标记来减少此类错误.
（2）作业不但要培养学生的理论知识，还需要培养学生动手操作的能力，
本课时作业侧重几何逻辑推理，多种情况和动点问题，培养学生的抽象逻辑思
维．
（3）作业应多理论联系实际，学生能通过实际问题转化为数学模型从而解
决问题．
（4）巩固学生对等边三角形性质和判定的理解，许多同学理解定义不会运
用，教学上需要突出对等边三角形的边与角的关联的理解，增强逻辑思维能力．
（5）通过等边三角形及全等三角形相结合，培养学生对知识点的迁移能
力．部分学生对于等边三角形与全等三角形综合知识运用不熟练，导致题目出
错．
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（6）对于运动问题，等边三角形，等腰三角形，全等三角形相结合的综合
性题型，学校容易出错，绝大多数同学在讨论多种情况时，不能分析全面，教
学中需注重综合性题型的解题思路，提高学生的分析能力和思维能力．
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第十三章 轴对称 第九课时课后作业
一、作业标题：13.3.2 等边三角形 第二课时
二、作业目标
1．作业目标
（1）理解“直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半”；
（2）能利用“直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半”进行
推理与计算．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是学生能通过对等边三角形的性质的认知，观察、猜
想与论证出“直角三角形中 30°的角所对的直角边等于斜边的一半”，同时也
可以利用对称性通过将这样特殊的直角三角形分成三个全等的三角形而得出结
论．并通过对其逆命题的思考与论证，养成学生的学习与认知能力．从中培养
学生的观察能力与逻辑推理能力，增强学生学习数学的兴趣．
达成目标（2）的标志是学生能利用“直角三角形中 30°的角所对的直角边
等于斜边的一半”进行几何证明的推理和计算，学生从中体验特殊三角形中的
角与边的数量关系，增强学生应用定理的能力与逻辑思维能力．
三、作业题

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