资源简介

初中数学作业设计
第十五章
轴对称图形与等腰三角形
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初中数学第十五单元作业设计
一、单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本信息 轴对称图
数学 八年级 第一学期 沪科版 形与等腰
三角形
单元组织方式 自然单元 口重组单元
序号 课时名称 对应教材内容
1 轴对称图形 第 15.1（P118-119）
2 两个图形成轴对称 第 15.1（P120-122）
3 坐标轴中点的对称特征 第 15.1（P123-124）
4 线段垂直平分线性质 第 15.2（P128-129）
5 线段垂直平分线判定 第 15.2（P129-130）
6 等腰三角形性质定理 1 第 15.3（P132-133）
7 等腰三角形性质定理 2 及推论 第 15.3（P133-134）
课时信息
8 等腰三角形判定定理 第 15.3（P134-135）
9 等腰三角形判定推论 第 15.3（P136-137）
10 等边三角形判定及推论 第 15.3（P137-138）
11 角平分线作法 第 15.4（P141-142）
12 角平分线性质 第 15.4（P143-144）
13 角平分线判定 第 15.4（P144-145）
14 第 15 章小结 15 章（P148-149）
15 第 15 章评价 15 章（P148-149）
二、单元分析
（一）课标要求
本章课标要求（2022 新版）
通过具体实例了解轴对称和轴对称图形的概念，探索它们的基本性质；
认识和欣赏自然界和生活中轴对称图形；
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多
边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判
2
定定理；
理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握
等腰三角形的判定定理；
探索等边三角形的性质定理和判定定理；
理解角平分线概念，了解角平分线性质和判定，能够利用尺规作图作已知
线段的垂直平分线和已知角的平分线，并能证明其正确性.
（二）教材分析
1． 知识网络
本章主要内容共有四个部分，它们是图形的轴对称、线段的垂直平分线、等
腰三角形和角的平分线，其内容用图表概括如下：
2． 教材分析
本章所研究的轴对称变换是基本的几何变换，线段的重直平分线、角的平分
线和等腰三角形，是基本的几何图形，它们的性质与到定理不仅可以直接用来解
决实际问题，而且对今后继续学习几何知识具有十分重要的意义.本章的后面三
节内容线段的垂直平分线、等腰三角形、角的平分线的研究和学习,都是以第一节
轴对称图形为基础，围绕图形的轴对称性的研究展开的.线段的垂直平分线、角的
平分线、等腰三角形的性质和判定是证明线段和角相等的重要依据，应用十分广
泛.
重点:轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和
判定.
难点:轴对称和轴对称图形的区别和联系、线段的垂直平分线、角的平分线
尺规作法的正确性的证明；线段的垂直平分线、角的平分线，等腰三角形的性质
和判定的综合运用.
3． 学情分析
从学生的认知规律看：学生通过生活中大量的实例，对轴对称图形及等腰三
角形已经有直观的认知，了解轴对称图形的特征，能辨别常见的轴对称图形，轴
对称等概念，了解等腰三角形两底角相等，两腰相等，理解等边三角形相关性质，
了解角平分线概念。这些知识都为本章的学习做了铺垫，但前两个学段根据学生
的认知特点，侧重直观认识，知识点比较分散，没有深入与系统地学习，也没有
规范地表达与推理与论证.
从学生的学习习惯、思维规律看：与其它内容相比，图形与变化更容易激起
学生的兴趣，八年级学生经历过全等三角形学习，已经具备一定的图形意识，符
号意识，逻辑推理能力，但要求他们把思维的形成过程用图形语言、文字语言和
3
符号语言严谨完整的表述出来尚欠缺。所以本章的教学中不仅重视对思维的引导，
还要重视对引导后结果的表述.
三、单元学习与作业目标
1. 了解轴对称概念、轴对称图形概念及生活中的轴对称图形、线段的垂直
平分线的概念、三角形外心、内心概念；
2. 理解轴对称的基本性质、等边三角形的性质和判定；
3. 会画简单平面图形关于给定对称轴对称后的图形，能掌握线段的重直平
分线的性质定理和逆定理、角的平分线的性质定理和逆定理、等腰三角
形的判定，会用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线、
能应用“直角三角形中 30°锐角所对边等于斜边的一半”解决问题;
4. 能利用轴对称进行简单的图案设计、应用所学知识解释生活中的对称现
象，能解决简单的实际问题，能利用等腰三角形性质解决实际问题，提
高应用意识；
5. 能够应用所学知识解释生活中对称现象，解决简单实际问题，在观察、
操作、论证的过程中，发展空间观念，激发学习图形的兴趣.
6. 能对归类比等活动猜想所得结论进行推理验证，能运用文字、符号、几
何语言描述和表达思考过程和推理方法.
四、单元作业设计思路
分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量 1-4
题，要求学生必做)和“发展性作业”（体现综合性、探究性、实践性、个性化，题
量 1-3 题，要求学生有选择地完成）.具体设计体系如下：
4
五、课时作业
课题：15.1.1 轴对称图形
作业 1（基础性作业）
1. 先判断下列图形是否为轴对称图形，如果是，画出它的对称轴.
（1） （2） （3） （4）
2. 如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，直线 AC 是它的对称轴，若∠BAC=63°，
BC=2，则 CD= ，∠BAD= .
A
B D
C
3. 如图，△ABC 中，AB=11，AC=9，D 在 AC 边上，△ABD 沿 BD 折叠后点 A
落在 BC 边上 E 处，△CDE 的周长为 13，求 BC 的长．
A
D
B E C
【作业分析与设计意图】
第 1 题从生活中常见的图形出发，通过直观图象的观察，落实对轴对称图形
的理解，这里注意第 3 幅风车图是一个旋转对称图形，这是在九年级下册中才出
现的，这里比较容易出错，需要学生具备一定的空间想象能力；第 2 题对轴对称
图形基本性质做了考察，利用轴对称两侧图形能够完全重合，结合了全等三角形
性质解决问题，这也为第 3 题翻折问题做一个思维铺垫；第 3 题是轴对称图形的
一个应用，涉及了线段的转化，体现了数形结合和整体思想，有一定的综合性.
【参考答案】
1. （1）（2）（4）为对称轴图形，对称轴如下（虚线所示）
5
2. CD=2, ∠BAD=126°
3. 解：由折叠可知，BE=AB=11,DE=DA
∵△CDE 的周长为 13
∴CD+DE+EC=CD+DA+EC=AC+EC=13
又∵AC=9
∴EC=13-9=4
∴BC=BE+EC=11+4=15
作业 2（发展性作业）
【数学操作实践】
1. 中国是世界上最早使用铸币的国家，距今三千年前殷商晚期出土了不少“无文
铜贝”，为最原始的金属货币，如图所示的货币，右边是它的示意图，通过上
面文字你能判断它是哪个朝代的吗？它是轴对称图形吗？若是，请你尝试画
出它所有对称轴，试着用一张圆形纸片剪一个这样的钱币.
【作业分析与设计意图】
本题改编于教材 P120 页练习第 2 题，从中国古代钱币出发，把实物模型抽
象成数学图象，体现了数学的应用意识，宣扬了中国灿烂的古文化，增强学生民
族自豪感，题目中所引用的钱币需要学生通过查阅相关历史资料才能解出，适度
跨界，促进学科融合，最后通过动手实践操作过程，这里可以先把圆形纸片折叠
再剪，引导学生积累生活经验和数学活动经验，促进学生应用意识和创新意识.
【参考答案】
1. 清朝，是轴对称图形，如图所示
6
剪纸时，可以先折叠再剪，形式多样，不限定方式.
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，8 分钟）
3．评价设计
15.1.1 轴对称图形作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.1.2 两个图形成轴对称
作业 1（基础性作业）
1. 如图，正方形 ABCD的边长为 6．则图中阴影部分的面积为 ．
7
A C
B D
2. 如图，△ABC 与△ A B C 关于直线 l 对称， BB 交 l 于点O．则下列结论：
① ABC A B C ② AA l ③ AB / /A B ④BO B O一定正确的是
有 .
l
A A'
B B'
O
C C'
3. 如图，在 2 2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角
形称为格点三角形，图中阴影部分是一个格点三角形．作出一个与阴影部分
成轴对称的格点三角形，请尽可能多画（至少作出两种）.
【作业分析与设计意图】
第 1 题从学生熟悉的正方形入手，通过图象直观体现轴对称图形性质的简单
应用；第 2 题为教材 P121 页思考的再探究，对线段垂直平分线和对称图形对应
点所连线段关系做对比考查，落实了对基础知识的再巩固；第 3 题属于开放性问
题，在常规图形之后，要想再多画出，学生需要进一步打破常规思维，以崭新姿
态去思考，思维的开放就是让学生能想，敢想，会想，其次格点问题也是安徽中
考热点，这里也体现了源于教材，贴近中考，提炼思维的命题意识.
【参考答案】
1 1
1. 18 解析： S阴= S正方形 6 6 18 ABCD
2 2
2. ①②④
3. 参考案例如图所示
8
作业 2（发展性作业）
1.【问题情境】
（1） 如图，小明站在 A 处，l 为一面镜子，请作出小明关于 l 对称点 A'
A
l
【问题解决】
（2） 如图 ABCD 是一个长方形的台球面，有 M、N 两球分别位于图中所在位
置，试问怎样撞击球 M，才能使 M 先碰到台边 BC 反弹后再击中球 N？
在图中画出 M 球的运动线路．
A D
N
M
B C
【问题延伸】
（3） 古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专
程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营 A 出发，先到河边给马喝水，然
后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后
便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质
要解决的问题是：如图，A，B 为直线 l 同侧两点，在 l 上找一动点 P，使
得 PA+PB 最小，你能找出 P 点位置并说明理由吗.
B
A
l
【作业分析与设计意图】
本题实质考查了“将军饮马”模型，但考虑到八年级学生认知特点，问题情境
先从学生熟悉的镜面对称作为起点，逐渐建立起几何模型意识，解决问题板版块
学生就会有意识的参考上述研究结论作为启发点，最后问题延伸就是对该类问题
9
统一化反思，培养学生数学建模意识，发展学生理性思维，体现数学学科育人核
心思想.
【参考答案】
1.【问题情境】
A
l
A'
【问题解决】
A D
N
M
B C
M'
【问题延伸】
B
A
l
P
A'
理由：因为 PA+PB=PA’+PB≥A’B，所以当在 P 点处，有最小值.
2. 要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3. 评价设计
15.1.2 两个图形成轴对称作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
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作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.1.3 坐标轴中点的对称特征
作业 1（基础性作业）
1. 点 A（3,4）关于 x 轴对称点坐标为 ，关于 y 轴对称点坐标
为 .
变式 1：若点 A（-2，a）与点 B（b,3）关于 x 轴对称，则 a+b 的值 .
变式 2：点 A（m,n）关于 x 轴对称点 A1坐标为 ，A1关于 y 轴对称点 A2
坐标为 ，用一句话概括你的发现.
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（1，2），B
（﹣2，-1），C（2，-2），将 A，B，C 三点横坐标乘－1，纵坐标不变，依次
得到 A' , B ' ,C ' ，在坐标系中标出 A' , B ' ,C '，依次连接 A' , B ' ,C '，判断
△ A'B 'C ' 和△ABC 的位置关系.
11
y
A
O x
B
C
【作业分析与设计意图】
第 1 题在母题后设置了两个变式小题，母题是直接求某点关于 x 轴，y 轴的
对称点，属基础知识应用，变式 1 则是逆向应用，变式 2 为教材 P124 页问题[1]
的变式，某个点先关于 x 轴对称，再关于 y 轴对称，实质就是关于原点呈中心对
称，用符合表示体现了从特殊到一般的数学思想，也为九年级中心对称做一个知
识铺垫，第 2 题是教材 P124 页练习 2 变式，通过横坐标乘 1（数的变化）会得
到图象位置（形的变化）怎么改变呢？实际上这是继平移后图象变化的又一重要
联系，体现了重要的数形结合思想.
【参考答案】
1. （3，-4），（-3，4）
变式 1.-5
变式 2.（m,-n），（-m,-n）
若两点关于 x 轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；
若两点关于 y 轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数.
2. ABC 和△ A'B 'C '关于 y 轴对称.
作业 2（发展性作业）
1. 点 P（2,m）向上平移 8 个单位后得到P '和点 P 关于 x 轴对称，则 m= .
【变式-数形结合】点 P（2,m）向上平移 8 个单位后得到P '和点 P 关于直线
x=-1 对称，则 m= .
2. 如图，在平面直角坐标系中，对 ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来
点 A坐标是 ( 2,3)
12
y
A
①
B C ②
④ O x
③
（1）第 2 次变化之后，点 A 的坐标是 ，
（2）第 2022 次变化后，点 A 的坐标是 ，
（3）第 n 次变化后，点 A 坐标是（2,3），请谈一谈数字 n 的特征.
【作业分析与设计意图】
第 1 题为教材 P126 页习题 15.1 第 5 题的变式，结合了平移和对称两个几何
变化去思考，变式题将关于坐标轴对称扩展为关于平行于坐标轴的直线对称，需
要学生根据题意，画出图形去理解把握，第 2 题则是考查了一个规律变化问题，
从一系列结果中发现数学规律，总结并应用，启发学生能用数学的眼光解决问题.
【参考答案】
1. （1）（2，-3）（2）解析：2002÷4=505…2，故还是（2，-3）
（3）数字 n 必须满足除以 4 之后能余 1，即 n=4k+1，其中 k 为正整数.
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
15.1.3 坐标轴中点的对称特征作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
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作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.2.1 线段的垂直平分线性质
作业 1（基础性作业）
1. 已知线段 AB=6，小明作线段 AB 的垂直平分线时，他分别以点 A，B 为圆心，
a 为半径画弧，任写一个符合条件的 a 的取值 .
2. 已知：如图，x 轴平分线段 AB，点 P 在 x 轴上，点 A，B 在 y 轴上.
（1）若点 A 坐标为（0,2），则 B 点坐标是 ；
（2）若 AB=m，则 B 点坐标是 .
y
A
P O x
B
3. 教材 P128 页介绍了尺规作图线段 AB 的垂直平分线方法，根据作图步骤，写
出“已知”，“求证”和“证明.”
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E E
A O B A O B
F F
【作业分析与设计意图】
第 1 题是对教材作线段垂直平分线圆的半径一个具体理解，将几何语言代数
化，第 2 题是教材 P131 页习题 15.2 第 1 题变式，从横坐标到纵坐标，从具体数
到字母，体现了新课标（2022 版）增设的“增强代数推理”应用的体现.第 3 题是
教材 P128 页注意标[2]变式，要求学生写出已知求证证明，让学生既能“口头表
达”，也能“书面表达”，培养学生严谨数学思考和论证能力.
【参考答案】
1. 4
m
2. （1）（0，-2） （2） (0, )
2
3. 已知：线段 AB，AE=AF=BE=BF
求证：EF 垂直平分线段 AB
证明：在△AEF 和△BEF 中
A E B E

A F B F ∴△AEF 和△BEF（SSS） ∴∠AEF=∠BEF

E F E F
AE BE

在△AEO 和△BEO 中 AEO BEO ∴△AEO≌△BEO（SAS）

EO EO
∴AO=BO,∠AOE=∠BOE
∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴EF 垂直平分线段 AB
作业 2（发展性作业）
1. 一张长方形纸片 ABCD，AB=3，BC=4
（1）用两种方式作线段 BD 的垂直平分线
（2）若 BD 的垂直平分线交 AD，BC 于 E 和 F 点，连接 BE，求△ABE 周长；
（3）BD 垂直平分 EF 吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由.
15
A D
B C
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P128 页“问题[1]”变式,在教材原来左右折叠基础上作延伸处
理，第（1）问要求两种思路，体现了思维的发散性，第一种为常见的尺规作图，
第二种通过对长方形纸片折叠，达到效果；第（2）问体现了对垂直平分线的应
用；第（3）问学生如果不好理解，可以动手操作，在操作中发现思路，体验过
程，让实践操作与理论相联系，在此基础上，由浅入深的设计问题，考查学生的
思维能力，猜想探究能力.
【参考答案】
1. （1）方法一：用直尺作图（2）方法二 折叠长方形 ABCD，使得 B，D 两点
重合；
（2）解：∵EF 垂直平分 BD，∴EB=ED
∴△ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+AD=3+4=7
（3）解：BD 垂直平分 EF,理由如下：
∵EF 垂直平分 BD
∴BO=DO,∠BOE=∠DOE=90°
在△BOE 和△DOE 中
O B O D

B O E D O E

O E O E
∴△BOE≌△DOE（SAS）
∴∠BEO=∠DEO ∠EBO=∠EDO
∵AD∥BC
∴∠DEO=∠BFO ∠EDO=∠FBO
∴∠BEO=∠BFO ∠EBO=∠FBO
∴△BOE≌△BOF（AAS）
∴OE=OF
∵EF⊥BD
∴BD 垂直平分 EF
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，7 分钟）
3．评价设计
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15.2.1 线段的垂直平分线性质作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.2.2 线段垂直平分线判定
作业 1（基础性作业）
1. 如图，四边形 ABCD 中，CD 垂直平分 AB，∠ACB+∠ADB=228°，则∠
CAD= .
17
C
A B
D
2. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠C=42°，DE 垂直平分 BC，则∠ABD 的度
数为 ．
A
D
B E C
3. 【实践操作】敏敏将一张三角形纸片 ABC 按照如图方式折叠，使得点 A 落在
BC 边上，敏敏发现当折痕 DE∥BC 时，则 D，E 分别为 AB，AC 中点，你能
说明为什么吗？
A
D E
B A' C
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P130 页练习 2 变式，考查了线段垂直平分线基本应用，第 2
题在线段垂直平分线直接应用基础上，增加了和三角形内角和定理的联系，体现
了知识点的综合性和关联性，第 3 题实践操作，还是以学生常见的三角形为背
景，将教材知识运用到折纸过程中，研究图形的性质，变化等，本题落脚点是将
来要学的“中位线”，在前期的研究过程中给未来学习做好铺垫.
【参考答案】
1. ∠CAD=66°
2. ∠ABD=64°
3. 理由如下：由折叠可知：DA DA ' , ADE A ' DE
∵DE∥BC
18
∴ ADE B, A ' DE DA ' B
∴ B DA ' B ,
∴DB DA '
∴AD=BD,即 D 是 AB 的中点
同理 E 是 AC 的中点
作业 2（发展性作业）
1. 如图，直线 l是线段 AB 的垂直平分线，P 点在直线 l的右侧，求证：PA PB ．
l
P
A B
2. 如图，将 ABC放在每个小正方形边长均为 1 的网格中，点 A 、 B 、C 均落
在格点上，若点 B 的坐标为 ( 3, 1)，点C 的坐标为 (1, 1)，
（1） 找出原点 O 的位置，并画出直角坐标系
（2） 用无刻度直尺找出一点 P，使得 PA=PB=PC，并直接写出 P 点坐标 .
A
B C
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P131 页习题 15.2 习题 3 变式，教材中都一再强调线段垂直平
分线上点到线段两端点距离相等，那么如果点不在线段的垂直平分线上呢？实际
上，点在线段垂直平分线上是一种更特殊的情况存在，这里研究了一般情况，从
特殊到一般，渗透了“特殊与一般”的数学思想，扩展学生的空间想象力；第 2 题
用无刻度直尺作图前提是了解 PA=PB=PC 需要满足的条件，先逻辑推理再解决
19
问题，发展学生推理能力和应用意识.
【参考答案】
1. 证明:连接 PA、PB、PA 与直线 L 交于点 C，连接 BC
∵直线 L 是线段 AB 的垂直平分线
∴ CA=CB
在△PBC 中，PC+BC＞PB
∴PA＞PB
2. （1）作图如下：
y
O
P x
（2）（-1,0）
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
15.2.2 线段的垂直平分线判定作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
20
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.3.1 等腰三角形性质定理 1
作业 1（基础性作业）
1. 填空
（1）等腰三角形顶角为 100°，那么它底角度数为 ；
（2）等腰三角形底角度数为 40°，那么它顶角度数为 ；
（3）等腰三角形一个角度数为 40°，那么它底角度数为 ；
（4）等腰三角形一个外角为 40°，那么它的底角度数为 .
2. 等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，AD=4，则
∠ADB= °，△ABD 周长为 .
3. 如图，AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，∠BAC＝54°，求∠D 的度数．
A D
B C
【作业分析与设计意图】
第 1 题以一个问题串 的形式出现，从告知等腰三角形顶角，到等腰三角形
底角，到不确定角，从内角到外角，从无需讨论到需要分类讨论到分类讨论后排
21
除，加深对比，让学生在定理基础上更深入理解透彻；第 2 题是对“三线合一”性
质的基本应用，对基本概念和技能再夯实，第 3 题结合的平行线性质去考查，本
题也是常见的 “平行线+角平分线得等腰” 小模型初步体现，也是后续作角平分
线一个重要理论证明依据.
【参考答案】
1. （1）40° （2） 100° （3） 40°或 70° （4）20°
2. ∠ADB=90°,BD=3
3. 解:∵AB=AC, ∠BAC＝54°
∴∠ABC=∠C=63°
∵AB=AD,AD∥BC
∴∠ABD=∠D, ∠D=∠DBC
1 1
∴ D DBC ABC 63 31.5
2 2
作业 2（发展性作业）
1. 在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，P 为直线 BC 上一点，CP=CA，连结 AP，
则∠BAP 的度数是 ．
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D，交
AB 于点 E，∠C＝66°．
（1）求∠A 的度数；
（2）求∠CBD 的度数．
A
E
D
B C
【作业分析与设计意图】
22
第 1 题改编于绍兴中考题，这里 P 为直线 BC 上一点，就意味着 P 点方向不
确定性，用圆规以 C 为圆心，CA 为半径作图就不容易遗漏，体现了数形结合思
想，在此基础上再分类讨论才不会丢掉另一个点的位置；第 2 题结合了线段垂直
平分线，实际上等腰三角形就是由线段垂直平分线知识点引申而来，引导学生关
注知识点的“源”和“去”.
【参考答案】
1. 75°或 15°
2. 解：（1）∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=66° ∠A=180°-66°×2=48°
（2）∵DE 垂直平分线段 AB
∴DA=DB
∴∠DBA=∠A=48°
∴∠CBD=66°-48°=18°
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
15.3.1 等腰三角形性质定理 1 作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
23
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.3.2 等腰三角形性质定理 2 及推论
作业 1（基础性作业）
1. 如图，△ABC 中，AB=AC，DM，EN 分别垂直平分 AB，CD
A
M N
B D E C
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若 BC=12cm，求△ADE 的周长；
（3）去除题干中“AB=AC”这个条件，当∠BAC=100°时，求∠DAE 度数；
（4）在（3）的条件下，若∠BAC=α，用含有 α 的式子表示∠DAE.
【作业分析与设计意图】
第 1 题改编于教材 P133 页例 1，以层层递推的方式设置了 4 个小题，（1）
（2）两小题在教材基础上进一步研究基本图形所能得到的结论，（3）去除了特
殊条件，利用了整体思想解决问题，（4）将具体数据用字母替代，从特殊到一般，
通过对本题的逐步加深，引导学生用数学眼光探究问题，落实学生数学抽象核心
素养.
【参考答案】
1. 解：
（1）∵DM，EN 分别垂直平分 AB，CD
∴DA=DB,EA=EC
∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠B=∠DAB=∠C=∠EAC
在△ABD 和△ACE 中
24
B C

AB AC

DAB EAC
∴△ABD≌△ACE（ASA）
（2）∵DM，EN 分别垂直平分 AB，CD
∴DA=DB,EA=EC
∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=12cm.
（3）∵∠BAC=100°
∴∠B+∠C=80°
又∵DM，EN 分别垂直平分 AB，CD
∴DA=DB,EA=EC
∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC
∴∠ADE+∠AED=2（∠B+∠C）=2×80°=160°
∴∠DAE=20°
（4）由（3）得∠ADE+∠AED=2（∠B+∠C）=2×（180-a）=360°-2a
∴∠DAE=180°-（360°-2a）=2a-180°
作业 2（发展性作业）
1. 如图，等边三角形 ABC 在 a 和 b 之间任意移动，顶点 A 和 C 始终落在 a 和
b 两条直线上， a∥b，则∠2－∠1= .
A a
1
B 2
b
C
2. 已知，如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
（1）找出一对全等的三角形并证明；
（2）延长 BD 交 CE 于 P，求它们较小的交角度数.
A
E
D
B C
25
【作业分析与设计意图】
第 1 题改编于阜新中考真题，虽然△ABC 不断运动，但∠B 的值却始终为定
值，用七年级两平行线之间拐角模型很容易解决，体现了“动中取静，以静制动”
的数学解题方向；第 2 题实际上是一个“手拉手”旋转模型，和上一题一样，当图
形不断变化时，可以先将图形 “静”下来，研究某个特殊位置后再推广到一般位
置，从而达到解决问题的目的.
【参考答案】
1. ∠2-∠1=60°
2. 解：（1）△ABD≌△ACE
证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形
∴AB=AC AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD 和△ACE 中
A B A C

B A D C A E

A D A E
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）解：∵△ABD≌△ACE
∴∠ABF=∠ACE
在△ABF 和△CDF 中，
∠AFB=∠CFP
∴∠BPC=∠BAC=60°
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
15.3.2 等腰三角形性质定理 2 及推论作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
26
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.3.3 等腰三角形判定定理
作业 1（基础性作业）
1. 已知：如图△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点，CA=CD，∠BAC=3∠CAD，
求△ABC 各内角度数.
A
B C D
2. △ABC 中，AB＝AC＝6，△ABC 面积为 12，E 为 AB 边上一动点，P 为底边
中线 AD 边上一动点， 则 PE+PB 的最小值为 .
A
E
P
B D C
【作业分析与设计意图】
第 1 题为教材 P136 页练习 1 变式，通过改变数量关系，进一步对课堂所学
27
基本知识，基本概念加深理解和应用，第 2 题考查了“将军饮马”模型下的最值，
由于前期的学习铺垫，学生相对比较容易找出 P 点位置，但是如何计算有一定的
思考，这里题目给出的条件就是引导学生通过三角形的面积，去解决问题，体现
了知识点间的融合应用.
【参考答案】
1. 解:设 D x
∵CA=CD
∴∠CAD=∠D= x
∴∠ACB= 2x
∵ AB=AC,∠BAC=3∠CAD
∴ ABC ACB 2x, BAC 3x
∴2x 2x 3x 180
180
∴ x
7
360 540
∴ ABC ACB , BAC .
7 7
2. 4
作业 2（发展性作业）
1. 某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC＝α（0°
＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线 AB、AC 之间，并使小棒两端分别落
在两条射线上，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2 为第
1 根小棒，且 A1A2＝AA1，若只能摆放 5 根相同的小棒，则 α 的取值范围
是 ，若最多能摆放 n 根相同的小棒，则 α 的取值范围是多少（用含
有 n 的式子表示），写出你的思考过程.
B
A A64
A2
α
A A1 A3 A5 C
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P136 页练习 2 变式，教材给出了具体度数，这里反其道而行
之，假如 5 次之后就无法继续操作了，那∠BAC 大小应满足怎样关系，这里要求
28
学生需要先构建关系，分析要素，归纳后再一般化，最后系统化用数学符号表示，
发展学生数学抽象能力.
【参考答案】
90 90
a
n 1 n
1. 15≤a＜18
理由如下：若只能放 5 根相同的小棒，
则 A5 A6B 90 ,而 A5 A4B 90
6a 90
由 解得.15≤a＜18
5a 90
若最多摆放 n 根相同的小棒，
（ n 1)a 90 90 90
则 解得 a
na 90 n 1 n
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
15.3.3 等腰三角形判定定理作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
29
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.3.4 等腰三角形判定推论
作业 1（基础性作业）
1. 如图，等腰△ABC 中，AB=AC，CD，BE 分别是 AB，AC 边上中线，CD，BE
交于 O 点，求证：△OBC 为等腰三角形
A
D O E
B C
2. 已知，如图，AB，CD 交于 M 点，M 为 AB 中点，∠AMD=2∠B，∠C+2∠
D=180°，求证：AC=DM
C
B
A M
D
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P139 页练习 5 变式，从角平分线到中线，从角度到线段长，
变的是条件，不变的是思路，第 2 题为教材 P138 页练习 1 变式，这题很经典，
对于看起来无法一致的，学生经常想到的构造全等，在学习了等腰三角形性质后，
引导学生思考到利用等腰三角形两腰相等证明两条线段相等也是初中数学重要
的方法之一.
【参考答案】
1. 证明： ∵AB=AC, CD，BE 分别是 AB，AC 边上中线
∴∠ABC=∠ACB BD=CE
30
在△BCD 和△BCE 中
BD CE

DBC ECB

BC CB
∴△BCD≌△BCE（SAS）
∴∠OBC=∠OCB
∴OB=OC（等角对等边）
∴△OBC 为等腰三角形
2. 证明：∵∠AMD=2∠B=∠B+∠D
∴∠B=∠D
∴MD=MB
∵∠AMC=∠DMB=180°-2∠D
又∵∠C+2∠D=180°
∴∠C=∠AMC
∴AC=AM
∵M 为 AB 中点
∴AM=BM=AC
作业 2（发展性作业）
1. 【问题发现】如图，等腰△ABC 中，AB=AC，CD，BE 分别是 AB，AC 边上
高，求证：CD=BE
A
D E
B C
【问题思考】对于任一个三角形，如果它两边上高对应相等，那么这个三角形是
不是等腰三角形？如果是，请根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，并“证明”，
如果不是，请说明理由并给出反例示意图.
【作业分析与设计意图】
第 1 题实质对上面第 1 题的再探究，教材中角平分线，中位线都是成立的，
那么高线成立吗？考虑到三角形的高线有可能在外面，会不会得到与前面截然不
同的结论呢？这里引导学生探索思考，接着给出第 2 个思考，如果题设和结论互
换，命题是否依然成立？如何证明，一步步的设想驱动学生作图，思考和探究，
培养学生严谨的数学反推和论证思维.
【参考答案】
1. 证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
31
∵CD，BE 分别是 AB，AC 边上高
∴∠BDC=∠CEB=90°
在△BDC 和△CEB 中
∴△BDC≌△CEB（AAS）
∴CD=BE
【问题思考】
已知：在△ABC 中，BE⊥AC、CD⊥AB,垂足分别为 D、E
BE=CD
求证：AB=AC
证明：∵BE⊥AC、CD⊥AB
∴∠BDC=∠CEB=90°
在 RT△BDC 和 RT△CEB 中
BE CD

BC CB
∴RT△BDC≌RT△CEB（HL）
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，6 分钟）
3．评价设计
15.3.4 等腰三角形判定推论作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
32
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.3.5 等边三角形判定定理及推论
作业 1（基础性作业）
1. 判断正误
三个角都相等的三角形是等边三角形（ ）
有两个角等于 60°的三角形是等边三角形（ ）
三角形一边上高和中线重合的三角形是等边三角形（ ）
有一个外角等于 120°的等腰三角形是等边三角形（ ）
2. 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=30°，过点 A 作 AD⊥AB，交 BC 边于点
D，若 AD=2，则 BC 的长为 .
A
B D C
3. 若等腰三角形的底角为 15°，腰长为 a，则此等腰三角形的面积为 （用
含有 a 的式子表示）
【作业分析与设计意图】
第 1 题判断正误是对教材中出现的基本概念再一次甄别和判断，需要学生细
心判别，第 2 题是教材 P139 页练习 6 变式，变化的是条件，不变的是图形，当
然思路也要跟着改变；第 3 题需要通过作图，结合等腰三角性质和 30°所对直角
边为斜边一半解决问题，这里有一个提示 15°并非是特殊角，如何转化成 30°呢？
33
这个思考过程就是培养学生思维迁移的过程，让思考具有指向性，目的性和可行
性.
【参考答案】
1. √ √ √ √
2. 6
解析：∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∴ ∠BAC=120°
∵AD⊥AB
∴∠BAD=90°,∠DAC=∠C=90°
∴AD=CD=2
在 RT△BAD 中，∠B=30°
∴BD=2AD=4
∴BC=2+4=6
3. 解：作 BD⊥AC,垂足为 D
∵∠A=∠ABC=15°
∴∠BCD=30°
1
∴在 RT△BCD 中， BD a
2
1 1 1
∴ S ABC a a a
2
2 2 4
作业 2（发展性作业）
1. 如图 1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，AE，BD 交于 F 点
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）求∠BFE 的度数；
（3）如图 2，当 D 在△ABC 内时，BD 延长线交 AE 于 F，则（2）的结论是否
依然成立？如果成立请证明.
34
A
D F
A B D
F E
B C
E C
图 1 图 2
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P140 页第 12 题变式，教材中 B,C,E 三点共线，如果不共线
呢？是否依然成立，体现了从特殊到一般的数学思想，问题（3）是在现有问题
基础上进一步拓展，在变化过程中寻求不变的关系，开放性探究，通过“不确定
性结构”，引导学生摆脱题型套路的枷锁，落实创新思维的锻炼.
【参考答案】
1. （1）证明：∵△ABC 和△DCEA 是等边三角形
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+ACD=∠DCE+∠ACD
即∠BCD=∠ACE
在△ACE 和△BCD 中
C A C B

A C E B C D

C D C E
∴△ACE≌△BCD（SAS）
（2）解：∵△ACE≌△BCD
∴∠CAE=∠CBD
∵∠BMC=∠AMF
∴∠AFB=∠ACB=60°
∴∠BFE=120°
（3）∠BFE=120°,理由如下：
∵△ACE≌△BCD
∴∠CAE=∠CBD
∵∠BMC=∠AMF
∴∠AFB=∠ACB=60°
∴∠BFE=120°
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，8 分钟）
3．评价设计
15.3.5 等边三角形判定及推论作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
35
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.4.1 角的平分线作法
作业 1（基础性作业）
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以 B 为圆心，任
意长为半径作弧，分别交 BA、BC 于 M、N 两点；②分别以 M、N 为圆心，
1
以大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作射线 BP，交边 AC 于 D
2
点．∠A=40°，则∠CDB= .
36
C
D
N
P
A B
M
2. 如图，∠CAD 是△ABC 的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD 的平分线 AE，过 C 点作 CF⊥AE，垂足为 F，交
AD 于 G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 AB=AG，求证∠BCG=90°.
C
B A D
【作业分析与设计意图】
第 1 题是黄石中考真题改编，要求不仅会作图，还能通过作图痕迹识别常规
的作图；第 2 题为河池中考真题改编，在落实尺规作图后增添了等腰三角形性质
的综合考查，体现了知识点联系.
【参考答案】
1. ∠CDB=65°
解析：∵∠ACB＝90°，∠A=40°
∴∠ABC=50°
∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD=25°
∴∠CDB=90°-25°=65°
2. （1）作图如下：
E
C
F
B A G D
37
（2）证明：∵AE 平分∠CAD
∴∠CAF=∠GAF
∵CF⊥AE
∴∠AFC=∠AFG=90°
又∵AF=AF
∴△AFC≌△AFG（ASA）
∴AC=AG,∠ACG=∠AGC
∵AB=AG
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
∵∠B+∠ACB+∠ACF+∠AGF=180°
∴∠BCA+∠ACG=90°
即∠BCG=90°
作业 2（发展性作业）
1. 问题一：尺规作图包含着重要的几何原理，在学习了尺规作图作一个角的平
分线后，敏敏同学继续和同学探索角平分线尺规作图,她的思考过程如下：
如图，要作∠AOB 的角平分线，可以借助等腰三角形“三线合一”性质，“先构造
以 O 为顶点的等腰三角形，…”请根据这个思路帮敏敏用不同于教材中的方法作
∠AOB 的角平分线
A
D
H
O B O E
问题二：你还能找出另外的方法吗？（提示：可参考 15.3.1 基础作业第 3 题的
原理）
问题三：把全班同学分成四个小组，看看哪个小组找到的方法最多，尽可能把每
个方法都证明下.
【作业分析与设计意图】
第 1 题的设计源于对尺规作图的反思，每一个尺规作图的背后都需要严谨的
几何证明作为支撑，一旦有了理论依据，尺规作图方法不再是唯一化，标准化，
如角平分线作图，我们可以利用平行线结合等腰三角形解决，可以直接利用等腰
三角形性质解决，第 3 问引导学生分组交流，加大学生间探究辩论，本题旨在引
导学生多思维，多角度思考问题，本题解法具有开放性，创新性，发散性等特点，
很好的培养学生数学兴趣和素养.
【参考答案】
方法①：作底边 DE 的垂直平分线；方法②：在 OA 上任意取一点 C，过 C 点作
CD∥OB，在 CD 上截取 CE=OC，则 OE 即为∠AOB 平分线
38
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
15.4.1 角的平分线作法作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.4.2 角的平分线性质
作业 1（基础性作业）
1. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝8，BD＝5，AB＝10，
求△ADB 的面积．
39
A
C D B
2. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，
连接 EF 交 AD 于 G．
（1）求证：AE＝AF．
（2）试判断 AD 与 EF 的位置关系，并说明理由．
A
E
G
F
B D C
【作业分析与设计意图】
第 1 题为常见的应用，需要求△ADB 的面积，在已知一边的前提下需要知
道对应边上高，而这里出现角平分线，自然会想到做角平分线，引导学生常规的
思维导向；第 2 题为教材 P146 页练习第 2 题改编，在教材熟悉问题的基础上连
接了 EF，对图形进一步探究，对基本图形的本质再一次延伸，体现课内到课外
的连贯性.
【参考答案】
1. 解：作 DE⊥AB，垂足为 E
∵AD 平分∠CAB，∠C=∠DEA=90°
∴DE=DC=8-5=3
1 1
∴ S ADB AB DE 10 3 15
2 2
2. （1）证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
DE DE

AD AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
40
∴AE＝AF；
（2）解：AD⊥EF，
理由如下：∵DE＝DF，AE＝AF，
∴AD 是 EF 的垂直平分线，
∴AD⊥EF．
作业 2（发展性作业）
1. ABC 中，AD 平分∠BAC，
（1）求证 S△ABD：S△ADC＝AB：AC；
（2）在△ABC 中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，求 DC 的长．
A
B D C
【作业分析与设计意图】
第 1 题是对角平分线性质再深入的探究，如果说中线把三角形分成面积相等
的两部分，那么角平分线会得到怎样的结论？教材在 P152 页 C 组复习题第 1 题
也对该问题做了针对性探究，和本题相比，属于两个不同探究方向同一论证结果，
第（2）问在第（1）题基础上，增设了特殊条件，需要学生通过条件增设辅助线
解决问题.
【参考答案】
1. （1）解：作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为 E、F
∵AD 平分∠BAC
∴DE=DF
1 1
∴S△ABD：S△ADC＝ AB DE : AC DF
2 2
=AB：AC
（2）解：∵S△ABD：S△ADC=AB：AC=BD：CD=5：4
5
∴ BD CD
4
∵BD+CD==BC=6
5
∴ CD CD 6
4
8
∴CD
3
41
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，7 分钟）
3．评价设计
15.4.2 角的平分线性质作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 15.4.3 角的平分线判定
作业 1（基础性作业）
1. 在△ABC 中，O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等，∠BOC
＝130°，则∠A 的度数为 ．
2. 如图，AD、CE 分别为△ABC 的两个外角角平分线，BP 为△ABC 内角平分
线，证明 AD，CE，BP 一定交于同一点.
42
E
A P
D
B C
【作业分析与设计意图】
第 1 题实际是对三角形内心的考查，但考虑到八年级学生特点，这里淡化内
心概念，重视内心本质特征，通过角平分线性质解决问题；第 2 题是教材 P145
页例题变式，从内角角平分线到外角角平分线，证明思路一致，教学中学生对例
题的证明理解相对困难，这里再一次复习，弥补课堂疑难点.
【参考答案】
1. 80°
2. 证明：作OF⊥AB OG⊥AC OH⊥BC
∵AD、CE 分别为△ABC 的两个外角角平分线
∴ AP、CP 相交于点 O，OH=OG OG=OF
∴OF=OH
∴点 P 在∠ABC 的角平分线上
∴AD，CE，BP 一定交于同一点.
F E
A P
D
O
G
B C H
作业 2（发展性作业）
1. 如图有 a、b、c 三条公路，先要建一个货物中转站到三条公路的距离相等，
这样的中转站共有 个.
a
c
b
43
2. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点 P 为∠ABC、∠ACB 的
角平分线的交点．
（1）∠BPC 的度数是 ．
（2）请问点 P 是否在∠BAC 的角平分线上？ （填“是”或“否”）．
（3）证明：AB＝PC．
A
P
B C
【作业分析与设计意图】
第 1 题是教材 P147 页第 4 题变式，为角平性质的应用，从理论到应用，落
实了数学源于生活，又应用于生活的实际意义，第 2 题有一定难度，在常规角平
分线基础上增加了∠ABC＝60°，也引导学生想到构造等边三角形解决问题，引
导学生能关于数学概念，方法等内部联系构造所需条件.
【参考答案】
1. 4 个
2. 解：（1）130°
（2）是
解析：作 OE⊥AB OF⊥AC OG⊥BC
∵OB 平分∠ABC,OC 平分∠ACB
∴OE=OG OF=OG
∴OE=OF
∴点 P 是在∠BAC 的角平分线上
（3）证明：延长 AP，在 AP 延长线上取 PG＝PC，连接 GC，
A
P
B C
G
44
∵AP、CP 分别为∠BAC、∠ACB 的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC 为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC 和△CGA 中，
∠ACB=∠CAG，∠ABC=∠G，AC=CA
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故 AB＝PC．
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，8 分钟）
3．评价设计
15.4.3 角的平分线判定作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
45
作业 2 C 等，常规解法，思路不清楚，过
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
课题： 第 15 章小结
作业 1（基础性作业）
1. 已知，如图△ABC 中，∠B=20°，∠C=30°，AC=4
（1） 尺规作图：作出点 A 关于 BC 的对称点 D，连接 BC，CD（保留作图痕迹，
不写作法）；
A
B C
（2）填空：∠BDC= ，AD= ；
（3）P 为 BC 边上任一点，过 P 点分别作 PM⊥AC，PN⊥CD，求证 PM=PN；
A
M
B P C
N
D
（4）设 AD 与 BC 交于 O 点，当 P 点与 O 点重合时，作 OF⊥AC，求证:CF=3AF
46
A
F
B O C
D
（5）K，I 分别为 BC，CD 上两动点，当 KD+KI 取最小值时，作出 K 点位置并
说明理由
A
K
B C
I
D
【作业分析与设计意图】
第 1 题采用了原创“问题串”形式，第（1）（2）两题涉及了轴对称图形及作
图和性质，第（3）题对角平分线性质作了考查，第（4）题重点针对 30°角所对
的直角边等于斜边的一半这个推论作探究，第（5）问是“将军饮马”模型的应用，
通过层层递进模式，让不同层次的学生都能得到训练，同从一个题干中引申变化
而来，在减少学生阅读量同时增加做题量，真正做到“减量增质”，既落实了“双
减”，又不耽误学生的学习.
【参考答案】
1. （1）尺规作图：作出点 A 关于 BC 的对称点 D，连接 BC，CD（保留作图
痕迹，不写作法）；
A
B C
D
（2）填空：∠BDC=20° AD=4
（3）
47
A
M
B P C
N
D
证明：∵由作图可知△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DCB
∵PM⊥AC,PN⊥CD
∴PM=PN
（4）证明：∵∠C=30 ,OF⊥AC
∴OC=2OF
∵OF 2 CF 2 OC2
∴CF= 3OF
同理可得，OF= 3AF
∴CF= 3OF = 3 × 3AF =3AF
（5）
解：作 AI⊥CD,交 BC 于点 K，点 K 就是所求的点
理由如下：
∵点 A 与点 D 关于 BC 对称
∴BC 垂直平分 AD
∴KA=KD
∴KD+KI=AK+KI
根据两点之间线段最短和垂线段最短可知
点 A 到 BC 的距离 AI 的长度
A
K
B C
I
D
作业 2（发展性作业）
1. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．
48
A A
E
D E
D
B C B C
图 1 图 2
（1）如图 1，当 D，E 分别在 AB，AC 上时，求证 BD=CE；
（2）如图 2，当 D，E 不在 AB，AC 边上时，（1）中结论是否依然成立，为什
么？
（3）如果△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，（2）中结论是否依然成立？
（4）请把上述探究整理成一份数学解题笔记，总结下这类问题问题的通解通法，
并和你同学做交流.
【作业分析与设计意图】
第 1 题起点低，第（1）题直接用等边三角形性质就能解决，第（2）题问将
当 D，E 为平面内任一点的时，结论是否依然成立，这里体现了从特殊到一般思
想，第（3）问把图形进一步一般化，由等边三角形到等腰三角形，逐渐弱化条
件，在变化过程中寻找不变量，从“模仿”到“迁移”，引导学生关注图形间内在联
系，问题（4）为开放性问题，“学而不思则罔”，通过对同类问题的反思，总结，
研究其一般关系，引导学生在解题中“万象归一”，这就是我们常说的“模型”，模
型应该是学生做题中不断总结出来的，而非告知模型生搬硬套的.
【参考答案】
1. （1）
证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形
∴AB=AC,AD=AE
∴AB-AD=AC-AE
即:BD=CE
（2）解：成立，理由如下：
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形
∴AB=AC,AD=AE
∠BAC=∠DAE=60°
49
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即：∠BAD=∠EAC
∴△BAD≌△EAC
∴BD=CE
（3）成立
（4）请把上述探究整理成一份数学解题笔记，总结下这类问题问题的通解通
法，并和你同学做交流.
2．要求时间（作业 1，10 分钟；作业 2，10 分钟）
3．评价设计
第 15 章小结作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
作业 1 A 等，答案正确、过程正确.
B 等，答案正确、过程有问题.
C 等，答案不正确，有过程不完整；
准确性
作业 2 答案不准确，过程错误、或无过程.
作业 1 A 等，过程规范，答案正确.
B 等，过程不够规范、完整，答案
正确.
规范性 C 等，过程不规范或无过程，答案
作业 2 错误.
作业 1 A 等，解法有新意和独到之处，答
案正确.
B 等，解法思路有创新，答案不完
整或错误.
创新性 C 等，常规解法，思路不清楚，过
作业 2
程复杂或无过程.
作业 1 AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、
BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余
综合评价等级
作业 2 情况综合评价为 C 等.
50
轴对称图形与等腰三角形单元作业评价
一. 判断正误，对的打“√”，错的打“×”
（1） 轴对称图形至少有一条对称轴……（ ）
（2） 线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等……（ ）
（3） 等腰三角形的底角一定是锐角……（ ）
（4） 直角三角形中，30°所对的直角边等于另一边的一半……（ ）
（5） 任意三角形内部一定存在一点，到三边距离相等……（ ）
（6） 任意三角形内部一定存在一点，到三个顶点距离相等……（ ）
二. 选择题，每小题只有一个选项正确
1. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
2. 如图，线段 AC，AB 的垂直平分线交于点 O，已知 OC＝2cm，则 OB 等于
（ ）
C
O
A B
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3. 如图，在△ABC 中，∠A＝90°，BE 是△ABC 的角平分线，ED⊥BC 于点 D，
CD＝4，△CDE 周长为 12，则 AC 的长是（ ）
B
D
A E C
A．14 B．8 C．16 D．6
51
4. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝72°，以 B 为圆心，BC 的长为半径画
弧，交 AC 于点 D，连接 BD，若 AD＝3，则线段 BC 的长为（ ）
A
D
C B
A． 2 B．3 C．4 D．5
三. 填空题
1. 点 M（3，﹣1）关于 x 轴的对称点的坐标为 ．
2. 如图，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACG 的平分线 CF 相交于点 F，过点 F 作 DF
∥BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD＝8，DE＝3，则 CE 的长 ．
A
D E F
B C G
3. 如图，等边△ABC 中，D 为 AB 的中点，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，过点 F
作 FE⊥BC 于点 E，若 AF＝3，则线段 BE 的长为 ．
A
F
D
B E G
四. 解答题
1. 在△ABC 中，∠C＝90°，DE 垂直平分斜边 AB，分别交 AB、BC 于 D、E．若
52
∠CAB＝∠B+20°，求∠AEB．
C
E
A D B
2. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角
尺，又需要作 60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开
（如图 1 ）．
第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕
BM，同时得到线段 BN （如图 2）．
猜想论证：
若延长 MN 交 BC 于点 P，如图 3 所示，试判定△BMP 的形状，并证明你的
结论．
A D A M D A M D
N N
E F E F E F
B C B C B P C
图 1 图 2 图 3
3. （选做）学完 15 章，你肯定做了很多有意思的题目，从你所做的题目中选出
一道印象最深的，可以是教材中，也可以是你自编，或者和你朋友共同创作
的，针对该题写一篇数学小论文吧，和你的同学交流，相信你一定会有很多
收获.
【作业分析与设计意图】
第一题判断正误对本章中易错的概念做了阐述，如第（4）题需要强调斜边，
第（5）和（6）实质就是内心和外心是否一定在三角形内部之区别，放在一起，
有利学生对比发现，引导学生对基本概念要清晰，教材内容要透彻；第二题选择
分别从轴对称图形的判定，线段的垂直平分线应用，角平分线性质和尺规作图等
知识点考查，选择第 4 题也是教材 P134 页例 2 变式，作为经典的黄金三角形，
在后期相似学习中还会深入研究，而研究的理论基础就建立在等腰三角形关系式
上，具有一定的前瞻性；第三题填空题设置了 3 个小题，第 1 小题考查了点在坐
53
标中对称，第 2 小题是教材 P 152 页 B 组练习题第 6 题变式，考查了平行线下角
平分线为等腰三角形线段之间关系，第 3 题需要利用含 30°直角三角形边角关系
结合等边三角形性质解决问题，有一定的综合性；第四题为解答题模式，第 1 题
改编于牡丹江中考真题，考查了线段垂直平分线性质，第 2 题改编于青海中考真
题，考查了学生数学活动经验的积累程度以及考查学生推理能力，几何直观，空
间观念等；第 3 题选做题，本题设置跳开了常见的压轴大题难，繁，杂，而是让
学生把本章学生印象最深刻的题目，写成小论文形式，相互交流， “数学小论文”
不仅是教师了解学生数学学习的心理、思维及非智力因素等个别差异的新途径，
更是学生进行自我分析、自我评价的新思路问题的能力，发展学生的自主性和创
造性.
【参考答案】
一. 判断题
（1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√ （6）×
二.选择题
1. D 2. B 3. B 4. B
三．填空题
1. （3,1） 2. 5 3. 7.5
四.解答题
1. 解：∵DE 垂直平分斜边 AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA．
∵∠CAB＝∠B+20°，
∠CAB＝∠CAE+∠EAB，
∴∠CAE＝20°．
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝70°．
∴∠AEB＝110°
2. 解：（1）△BMP 是等边三角形，
理由如下：连接 AN，
由折叠的性质可得 AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，
∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AN＝BN，
∴AN＝BN＝AB，
∴△ABN 是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
54
∴∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，
∴∠BMN＝∠BPM＝60°，
∴△BMP 是等边三角形；
3. 数学写作：教师引导学生，注意思维的逻辑性和严谨性.
单元作业评价属性表
完
对应学
对应单元 成
序号 类型 难度 来源
作业目标 时
了解 理解 掌握 应用
间
1 判断正误 1 √ 容易 原创
2 判断正误 4 √ 容易 原创
3 判断正误 3 √ 容易 原创
4 判断正误 2,5 √ 容易 原创
5 判断正误 3 √ 中等 原创
6 判断正误 3 √ 中等 原创
7 选择题 3 √ 容易 该编
30
8 选择题 2 √ 容易 原创
分
9 选择题 3，5 √ 中等 原创
钟
10 选择题 3 √ 中等 原创
11 填空题 2,5 √ 容易 原创
12 填空题 3 √ 中等 原创
13 填空题 5 √ 较难 原创
14 解答题 2 √ 中等 改编
15 解答题 3 √ 中等 改编
16 写作题 3，5 √ 中等 原创
55
六、作业设计说明
1.在作业来源上，本单元作业题目 95%均为原创或改编于教材例题，练习，
习题，阅读与思考等栏目，体现了回归教材，研究课本的命题意识 .
2.在作业难度上，无论是基础性作业 1 还是发展性作业 2，基本概念，
基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验始终贯穿其中，重视基础是本
单元课时作业设计的基本理念.
3.在作业形式上，本单元作业形式多样化，除常规的选择，填空和解答，
也有判断正误，动手操作，写数学小论文等，在丰富作业形式的同时提升学
生作作业兴趣，同时也注重培养学生空间想象和逻辑推理能力 .
4.在作业思维探究设计上，尽量做到难题做到坡度合理，宽入口，多探
究，方法多样性既兼顾了整体性又对“个性发展”的差异性作出有效甄别，同
时也给学生课后留下了广阔的探讨空间，做到既关注绝大多数，也发展小部
分，既能吃的饱，又能吃的好.
5.在作业创新上，也设置了诸多创新，如在小结环节利用“问题串”形式
将本节课串联起来，在评价环节，以数学小论文作为压轴呈现，让评价方式
多元化.
当然，一份好的作业，需要不断的打磨和教学一线反馈，时间匆忙，不完善
之处还请各位评委批评，指正.
56

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