资源简介

解直角三角形单元作业设计
一、单元信息
基本 学科 年级 学期 教材版本 单元名称
信息 数学 九年级 第一学期 沪科版 解直角三角形
单元
自然单元 □重组单元
组织
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 锐角三角函数概念 第 23.1(P112-116)
课时
2 30 ，45 ，60 角的三角函数 第 23.1(P117-119)信息
3 一般锐角的三角函数值 第 23.1(P120-121)
4 解直角三角形 第 23.2(P124-125)
5 解直角三角形的应用 第 23.2(P126-130)
二、单元分析
（一）课标要求
以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，全面贯彻党的教育方针遵
循教育教学规律，落实立德树人根本任务，发展素质教育，坚持德育为先，提
升智育水平，全面落实核心素养。本单元从探索并认识锐角三角函数 sinA，
cosA,tanA，熟记 30°，45°，60°角的三角函数值。会使用计算器由已知锐角
求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。能用锐角三角函数解
直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
新课标强化课程的综合性和实践性，推动育人方式的变革，着力发展学生
的核心素养，新课标在“知识技能”方面指出：体验从日常生活情境中抽象出
数学模型的数学建模过程；注意让学生自己观察、分析，同时注重揭示数学概
念的本质，通过类比一次函数二次函数类推到三角函数，就可以让学生对量变
的性质及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念及数学本质的
理解。在教学中还要特别强调对数形结合的理解与应用，以及密切联系实际的
思想。由测高的实际问题抽象出数学模型体会数学建模思想，通过合情推理探
索得出数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理能力，培养独立思
考，体会数学的基本思想和思维方式。
（二）教材分析
1、知识网络：
1
2、内容分析：
《解直角三角形》是《课标（2022 年版）》“图形的变化”中“图形的相
似”内容的第 8第 9 第 10 部分的内容，是现实生活中的图形抽象建模运用数学
知识解决实际问题，主要研究锐角三角函数的概念、坡度（或坡比）、正切、正
弦、余弦、30 ,45 ,60 角的三角函数值，任意锐角的正弦值等于它余角的余弦值，
计算器操作计算一般锐角的三角函数值以及解直角三角形及其应用.它是在学生
已经学习了“勾股定理”“相似三角形判定、相似三角形性质”“图形的位似变
换”“综合与实践 测量与误差”等内容之后安排的.在知识结构上遵循代数研究
的一般路径（概念—性质—运算）；在研究方法上，让学生经历“具体情境抽象
概念—数学建模—运用性质解决问题”等活动过程，渗透类比、特殊到一般和一
般到特殊等研究问题的思想方法，数形结合的思想，数学抽象、数学建模、数学
运算、数学推理等能力，从而实现培养学生数感的目标。
通过本单元的学习，学生能够建立起比较完善的锐角三角函数及解直角三角
形实际应用的知识结构，进一步感受“数形结合”和数学建模在实际生活中的运
用，通过测高触礁等问题充分体现三角函数与现实生活的密切联系且充满了生活
的乐趣。同时，也为“圆”、“投影与视图”、“概率初步”等内容的学习奠定
基础。因此，本单元的学习重点是：锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法。
2
（三）学情分析
新课标落实党中央、国务院“双减”政策，坚持减负提质目标导向，调整优
化课程设置，本单元从学生的认知规律看：在“相似形”这一章，学生已学习了
比例线段、相似三角形的判定、相似三角形的性质、图形的位似变换；在“综合
与实践 测量与误差”等章节中，学生通过实际操作培养学生运用数学知识解决
一些实际问题的能力和应用数学的意识，培养学生互相协作的精神和实际动手操
作的能力，结合相似图形的判定与性质的探索和证明，进一步发展学生的逻辑思
维能力和解决实际问题的能力，这些内容都为解直角三角形的学习奠定了基础。
从学生的学习习惯、思维规律看：九年级（上）学生已经具有一定的自主学
习能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自
己是一个发现者、研究者和探究者。但是，学生的思维方式和思维习惯还不够完
善，数学的运算能力、逻辑推理能力、数学建模解决实际问题的能力尚且不足。
因此，应加强相似三角形与解直角三角形的联系的应用练习，强化运用“相似三
角形的性质和判定”等来简化对解直角三角形的理解，架通学生思维的“桥梁”，
提升学生的数学抽象，数学建模等能力。因此，本单元的学习难点是：对锐角三
角函数的概念的理解。
三、单元学习与作业目标
按照《课标（2022 年版）》的理念，本单元作业设计的目标是以学生的发
展为本,以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、
基本思想和基本活动经验（简称“四基”）的获得与发展，发展运用数学知识与
方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、
态度和价值观。具体设计目标如下：
1.理解锐角三角函数的的概念，通过作业练习加深对“正弦、余弦、正切三
角函数”的认识，记清30 ,45 ,60 角的各个三角函数值，并且会运用这些特殊三
角函数值进行计算，会由特殊锐角的三角函数值求出这个角。
2.通过作业设计使学生能够利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或
由已知三角函数的值求出相应的锐角。
3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系，边与角的关系，会运用
勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形。通过作
业设计培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯，提升运算能力和推理能力。
4.会运用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，特别是测量
中锐角三角函数知识的运用，培养学生解决实际问题的能力和运用数学的意识。
5.通过锐角三角函数及解直角三角形知识应用的作业设计，让学生进一步认
识和体会函数及函数的变化与对应的思想，领悟数形结合的思想。
四、单元作业设计思路
根据《课标（2022 年版）》，本单元基于学生个人核心素养发展水平的
要求，结合本单元课程内容，整体把握不同层次学生学业成就的具体表现特征，
形成本单元作业设计的基本思路：分层设计作业.每课时均设计“基础性作业”
（面向全体，体现课标， 题量3--4大题，要求学生必做）和“发展性作业”
3
（体现个性化、探究性、实践性，题量3大题，要求学生有选择的完成）,具体
设计体系如下：
常规联系
基础性作业 整合运用
思维拓展
作业设计体系
探究性作业
实践性作业
发展性作业
个性化作业
跨学科作业
五、课时作业
第一课时（23.1(1) 正切函数）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB,垂足为D.
BC ( )
tanA = =
( ) AD
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，则tanA=______，tanB=______．
（3）已知一个斜坡长25米，其铅直高度为7米，则这个斜坡的坡度为 .
（4）在Rt △ ABC中，∠C = 90°，AC = 5，AB = 13，求tanA和tanB.
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题加深学生对正切函数的理解，结合图形巩固正切函数的概念：
直角三角形中一个锐角的对直角边与邻直角边的比；第（2）题是通过具体的图
形和数值运算加强对正切函数概念的理解，并且通过具体的数值可以直观的对比
发现同一个直角三角形中两个锐角的正切值之间的关系，培养学生知识迁移的能
力；第（3）题是通过实际问题加深学生对坡度的理解，提高学生理论应用于实
践的能力；第（4）题考查学生自主作图的能力及学生对基本知识的掌握，培养
学生应用所学知识解决问题的能力。
作业2（发展性作业）
1. 作业内容
（1）在Rt △ ABC中，∠C = 90° ，tanA=2，AC = 5，则S△ABC等于（ ）
A. 10 B. 20 C. 503 D. 25
（2）如图1，在坡度为1： 2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平
距离）是4米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________ 米.
A
B C
图1 图2
（3）如图2，∠A为钝角，AB = 25, AC = 51， tan C= 815，则BC = .
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题需要学生在充分理解正切函数概念的基础上，画出直角三角
形，利用所作的直角三角形解决问题，同时复习直角三角形面积求法，培养学生
数形结合的能力；第（2）题需要学生充分掌握坡度这个概念，仔细读题，运用
5
相关知识解决实际问题，培养学生的观察能力和数学思维能力；第（3）题需要
学生充分理解正切函数的概念，借助辅助线构造直角三角形解决问题，让学生体
会数形结合的思想。
第二课时（23.1(1)正弦、余弦函数）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图1,在Rt △ ABC中，∠C = 90° ，AC = 12，BC = 9，
B
则AB = AC2 + BC2 = 122 + 92 = .根据正弦定义，
sin A = AC 9AB = ，sinB = AB = ，根据余弦定义，
A 12 C
cosA = ACAB = ，cos B =

AB = .
图1
sinα = 3（2）如图2，若 5，则cos ＝ ．
4
（3）在△ ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 、 、 ，sinA= ，
5
= 8， = .
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题学生可以通过实际图形，结合正弦、余弦函数的概念，形成
对互余的两个锐角的正弦、余弦函数之间的特殊关系的思维，为后面问题的探究
做铺垫；第（2）题是需要学生在观察思考后，正确做出辅助线构造直角三角形
求出所需的角度，通过特殊的角的关系发现互余的两角的正余弦值之间的关系，
培养学生多角度思考、解决问题的习惯；第（3）题是简单的解直角三角形问题，
6
用三角函数概念及勾股定理解决直角三角形的边角问题，培养学生的观察、分析
能力，提高学生的运算素养。
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图1，在Rt △ ABC中，∠BAC＝90°，AD ⊥ BC，垂足为D．给出下列四
个结论：①sinα＝sin β；②sin β＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα=cos β．其中正
确的结论有 .
（2）锐角三角形ABC中，若tanA = 2，那么cosA的值为（ ）
5 2 5 2 3
A． B． C． D．
5 5 3 3
（3）如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，D是AC边上一点，
若tan∠DBA = 1 ，则tan∠CBD的值为（ ） A
4
D
3 2 3 2
A. B. C. D.
5 3 4 2
C B
2.时间要求（10分钟） 图2
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题巩固正余弦函数的概念，培养学生符号意识，引导学生发现
三角函数值只与角的大小有关；第（2）题对一般的锐角三角形中出现的三角函
数值，应先构造直角三角形，用设参数的方法结合勾股定理表示出直角三角形的
1
三条边，从而正确写出∠A的余弦值；第（3）题考查学生根据tan∠DBA = 4构造
7
直角三角形的能力，再利用已知条件，结合等腰直角三角形的特殊性及三角函数
的知识解决问题，在这过程中涉及到方程的思想，重点是对学生综合应用能力的
考查。
第三课时（23.1(2) 30°，45°，60°三角函数值）
作业1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）填空
sin 30° = ， sin45° = ， tan 60° = ，
sin 60° = ， tan45° = ， cos 45° = ，
cos 30° = ， cos 60° = ， tan 30° = .
（2）计算
1
① 2 sin60° + 2 sin 30° tan 45° tan 60° + cos
2 30°；
② 2 cos2 30° 2 sin 60° cos 45°.
（3）填空
若sinα = 1 ，则锐角α＝ ；cos β = 2 ，则锐角β = ；tan γ = 3，
2 2
则锐角γ = .
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，复习30°，45°，60°三角函数值；第（2）题考查学生是否
识记30°，45°，60°三角函数值并能够熟练地运用到计算中，同时要求学生掌握
正确地运算顺序，培养学生的规则意识；第（3）题属于由特殊的三角函数值得
到角的度数的一个逆向思维的训练，进一步加深学生对特殊角的三角函数值的识
记程度，提高学生的数学运算能力。
作业2（发展性作业）
8
1.作业内容
2
1
（1）计算： 12022 + 3 3 2sin 60° .
3
（2）填空：
①要使二次根式 x cos 60 °有意义，则x的取值范围为____________；
②在△ ABC中，∠B＝30°，AB＝6，AC＝ 10，则BC的长为________．
（3）已知△ ABC中的∠A与∠B满足 (1 tanA)2 + cos B 1 = 0，试判断
2
△ ABC的形状．
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题检验学生运算的能力，及对30°，45°，60°角的正弦值、余弦
值和正切值的准确应用,同时复习学过的各类运算，能有效训练学生的运算能力；
第（2）题的第①小题是对二次根式概念的复习以及准确运用特殊角的三角函数
值，提高学生对基本概念的理解和应用能力；第②小题需要分类讨论，分△ ABC
是锐角三角形或钝角三角形两种情况，培养学生思维的严谨性以及分析和解决问
题的能力；第（3）题利用特殊的三角函数值及三角形的相关知识解决问题，训
练学生对数学知识的综合应用能力。
第四课时（23.1(2)互余两个角正弦、余弦的关系）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）已知∠A与∠B都是锐角.
① 把cos（90° ∠A）写成∠A的正弦；
② 把sin（90° ∠B）写成∠B的余弦.
（2）根据下列条件求锐角α：
① sinα= cos35°；
② cosα=sin40°.
9
（3）计算：
2
① 已知：cosA = ，且∠B = 90° ∠A，求 sinB的值；
3
② 已知：sin22° = 0.3746，cos22° = 0.9272，求 68°的正弦、余弦的值.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是检查学生对公式 ( sinA = cos（90° ∠A）， cosA =
sin（90° ∠B）)的记忆及掌握情况，逆用公式，培养学生举一反三的能力；
第（2）题是用具体的度数直接考查学生对互余两个锐角正余弦关系的理解，达
到知识间相互转化的目的；第（3）题是对课本例题的改编，目的是检验学生对
课本知识的掌握以及对“互余两个角正余弦关系”的理解和运用，培养学生发现、
提出、分析和解决问题的能力。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）同桌合作，比较大小：
① sin 30° cos 30°；
② cos 33° sin 57°.
（2）探究与发现：
① 如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变
化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
1
1
2 2
3
3
1 1 2 3
图1 图2
10
② 根据你探索到的规律，试比较18 ，34 ，52 ，65 ，88 这些角的正弦值
的大小和余弦值的大小；
③ 利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大
小：sin10 ，cos30 ，sin50 ，cos70 ．
（3）已知cos45 = 2 ，求cos21 + cos22 + + cos289 的值．
2
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题考查学生对特殊三角函数值的掌握以及对互余的两锐角的正
弦值、余弦值的关系的灵活应用，培养学生互相协作的精神和实际动手操作的能
力；第（2）题培养学生的识图能力，渗透数形结合的数学思想，引导学生运用
数学知识与方法发现和提出问题，培养学生分析和解决问题的能力，发展学生的
直观想象、逻辑推理等素养；第（3）题是求值问题，解决问题的策略可以进行
多维的思考，发展学生思维的广度，如将“cos 1°”转化为“sin 89°”，渗透“
转化”思想，渗透类比、特殊到一般和一般到特殊等研究问题的思想方法，同时
也考查了学生对知识的综合应用能力，如 “sin A + cos A = 1”，培养学生的
数学思维和理性精神。
第五课时（23.1（3）一般锐角的三角函数值）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）用计算器计算，并填写下表中的各个三角函数值：
α sinα cos α tanα
0°
90°
（2）比较下列各题中的两个值的大小：
11
①sin 46°，sin 44°；
②cos 20°，cos 50°；
③tan 43°25’，tan 43°14’.
（3）已知三角函数值，用计算器求锐角A：（精确到1’）
①cosA= 0.3338；
②sinA= 0.7022；
③tanA = 0.7898.
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题检查学生能否熟练使用计算器，通过用计算器计算特殊角的
三角函数值验证之前所学的知识，加深对计算器使用步骤的掌握，并让学生切实
感受到tan 90°在计算器上的计算结果是什么，从而感受人类无穷的智慧；第（2）
题通过计算一般锐角的三角函数值进一步熟练计算器的操作步骤，观察计算器给
出近似值的数字个数的不同，并且通过计算一般锐角的三角函数值并比较大小，
总结三角函数值是如何随着角度的变化而变化的，让学生感受知识的形成过程；
第（3）题是“已知一个锐角的三角函数值，求这个锐角”的题型，感受按键顺
序的区别，并且了解【DMS】键的功能，在计算器上实现角度的转化。
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）用计算器求sin5°、sin15°、sin25°、sin35°、sin45°、sin55°、sin65°、sin75°、
sin85° 1的值，研究sinα的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若 < sinα <
2
3
，则（ ）
2
A.30° < α < 60° B. 30° < α < 90°
C. 0° < α < 60° D. 60° < α < 90°
12
（2）若计算器的四个键的序号如图所示，在角的度量单位为“度的状态下”
用计算器求cos 53°，正确的按键顺序是（ ）．
DMS cos = 53
(1) (2) (3) (4)
A. (1)(2)(3)(4) B. (2)(4)(1)(3)
C. (1)(4)(2)(3) D. (2)(1)(4)(3)
（3）①猜想并用计算器验证：sin25 + sin46 是否等于sin71 ，cos45° cos15
是否等于cos30 ，sin60°是否等于2sin30°；
②若α，β，α + β都是锐角，猜想sinα + sinβ是否等于sin(α + β)；
③请借助如图所示的图形证明②中的猜想．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是让学生能够熟练使用计算器迅速计算出一个一般锐角的正
弦值，并能总结出一个锐角的正弦值是如何随着角度的变化而变化的，同时结合
特殊锐角的三角函数值进行锐角范围的确定；第（2）题检查学生在脱离计算器
的情况下能否从雷同选项中清晰地分辨出正确的按键顺序，使学生在大脑中形成
一个计算器的模型；第（3）题的第①小题是让学生通过计算器准确计算出两锐
角正弦值的和与两锐角和的正弦值是否相同，两锐角余弦值的差与两锐角差的余
弦值是否相同，从而避免学生将这种计算与乘法分配律混为一谈。在实际问题解
决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激
发学生的想象力，提高学生的信息素养。第②小题是从特殊到一般，训练学生从
具体到抽象的逻辑思维能力，培养学生用字母表示数的能力，第③小题是将前两
13
题总结得到的猜想进一步进行理论推导，将三角函数与图形相结合，培养学生的
识图能力，并且引导学生能够借助“数形结合”的思想解决问题，让学生经历“
具体情境抽象概念—数学建模—运用性质解决问题”等活动过程，渗透类比、特
殊到一般等思想方法，培养学生数学抽象、数学建模、数学运算、数学推理等能
力，使学生能够熟练的运用数学语言进行合理的推理论证，从而得出正确的结论。
第六课时（23.2 解直角三角形）
作业1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）如图，在Rt △ ABC中,∠C = 90°, AC = 2， BC = 2 3，
那么∠B的度数是 .
（2）在Rt △ ABC中,已知∠C = 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.
若a = 5，c = 10,则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是 ( )
A.∠A = 30°,∠B = 60°, b = 2 5 B.∠A = 30°,∠B = 60°, b = 2
2
C.∠A = 45°,∠B = 45°, b = 5 D.∠A = 45°,∠B = 45°, b = 2
（3）在Rt △ ABC中,已知∠C = 90°，∠A = 50°，BC = 3，则AC等于( )
A. 3sin50° B. 3sin40° C. 3tan50° D. 3tan40°
（4）在Rt △ ABC中,∠C = 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.已知
∠B = 60°，c = 20，解这个直角三角形.
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）、（2）题是已知两边解直角三角形，第（1）题直接用tanB的
值来判断∠B的度数，考查学生对基础知识的掌握情况；第（2）题锻炼学生几
何画图解题的能力，培养学生的直观想象能力；第（3）、（4）题是已知一边和
14
一锐角解直角三角形，培养学生数形结合的能力；第（4）题是进一步要求学生
能够准确使用几何语言进行规范书写，加深学生对解直角三角形的理解，培养学
生的运算能力，提升数学运算、逻辑推理等素养。
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）在△ ABC中,∠B = 45°，∠C = 60°，AC = 8.求:
①边BC上的高；
②BC的长；
③△ ABC的面积.
（2）如图,在△ ABC中,∠B = 90°,∠BDC = 45°,∠A = 30°
①若CD = 6,求BC的长； C
②若BC = 4,求AC的长和△ ACD的面积.
B D A
（3）如图,在菱形ABCD中，DE AB，cosA = 0.8. D
①若BE = 2 tan C，求 ∠DBE的值;
②连接AC，若BD = 10，求AC的长.
A E B
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题中，设计的三个问题是层层递进的关系，第①问需要学生作
出BC边上的高，构造直角三角形，根据已知条件解直角三角形，培养学生的数
学建模能力；第②问培养学生数形结合的思想，利用异侧双直角三角形的特点来
求出BC的长；第③问要求学生计算三角形的面积，不断提高学生解决问题的能
15
力，将前面两个问题的结果综合利用，提升学生的应用意识；第（2）题第①问
中设计的新条件CD，让学生在Rt △ BCD中，利用特殊角的三角函数解决问题，
提升学生解决问题的信心；第②问目的在于引导学生根据问题条件和要求探究解
决问题的思路，寻求合理的解题途径；第（3）题是三角函数与四边形的综合，
结合菱形的性质和三角函数来解决问题，培养学生发现问题和解决问题的能力，
在①、②两个问题中都设置新条件，提高学生的数学逻辑推理能力，提升学生的
运算素养。
第七课时（23.2 测量未知高度）
作业1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端50米的B处,
测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为 ( )
A 50. 米 B.50sin 米
tan
C.50 tan 米 D.50cos 米
（2）如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教
学楼水平距离为20 3m的地面上.若测角仪的高度是2m,测得教学楼的顶部A处
的仰角为30°,则教学楼的高度是( )
A. 30 m B. 32 m C. 22 m D. 20 m
（3）如图,飞机飞行的高度是1200米,从飞机上测得正前方一座楼楼顶的俯角
为20°,已知楼的高度为90米,求此时飞机与楼的水平距离BC的长.
(参考数据：精确到0.1m, sin20° ≈ 0.34, cos20° ≈ 0.94, tan20° ≈ 0.36 )
D
C B
（4）如图,在高出海平面100 m的悬崖顶A处,观测海面上的一艘小船 ,并测得
它的俯角为30°,则船与观测者之间的水平距离是 .(结果保留根号)
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
16
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是在测量一棵树的高度，实际情境接近生活，考察学生对仰
角的理解和审题的能力；第（2）题设置是仰角，让学生理解侧角仪的高度对测
量教学楼AB高度的影响，引导学生构造直角三角形，解直角三角形，提高学生建
模能力；第（3）题飞机飞行过程中的俯角问题，需要学生作辅助线构造直角三
角形来解决问题，目的是为了学生体会数形结合的思想，提高学生解决问题的能
力，充分巩固学生对知识的理解并且规范学生的几何语言，培养学生严谨求实的
科学态度；第（4）题设置的是俯角，再次巩固学生对俯角的理解，需要学生将
实际情境抽象为数学模型，培养学生建立数学模型的思想。
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B
的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是10米，那么该建筑物的高
度BC为 米.（结果保留根号）
（2）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE,为了测量天线的高度,在地面上取同
一条直线上的三点C,D, A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点D,测
得CD = 8米,从点D测得天线底端B的仰角为45°,已知A, B, E在同一条垂直于地面
的直线上,AB = 22米.
①求A与C之间的距离;
②求天线BE的高度.(参考数据: 3 ≈ 1.73,结果保留整数)
17
（3）某地为打造宜游环境,对旅游道路进行改造,如图是风景秀美的观景山,
从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道,为方便游客登顶观景,欲从D到A修建电动
扶梯,经测量,山高AC = 159m,步行道BD = 178 m,∠DBC = 30°,在D处测得山
顶A的仰角为45°,求电动扶梯DA的长.(结果保留根号)
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题是仰角俯角的异侧双直角三角形问题，与前一节知识相呼应，
让学生在实际情境中构建数学模型，从而解决实际问题；第（2）题第①问求A
培养学生认真审题的能力，以及分析问题和解决问题的能力；第②问培养学生自
主探索的精神，在第①问的基础上，求出AE的高度，再间接性求出天线BE的高度，
培养学生的识图能力，并且引导学生运用“数形结合”的思想理解题意；第（3）题是
进一步强化学生数学建模思想，同时培养学生的逻辑推理能力并训练学生熟练的运用数
学语言正确表达解题思路，培养学生的符号意识。
第八课时（23.2 测量底部不可到达物体高度及航海问题）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图1，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B
处，再向东南方向行驶，共经过1小时返回O港，已知快艇的速度是50km/h，则
A，B之间的距离是（ ）
A． 50 25 2 km B． 50 2 50 km
C． 100 50 2 km D． 100 2 100 km
18
（2）如图2，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A
处向正东方向行驶30海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在
B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．60 3海里 B． 15 3 + 15 海里
C．60海里 D． 30 3 + 15 海里
（3）如图3，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏
东60 的方向以24海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2
小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行多少海里？
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备 注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）、（2）题根据实际问题结合图形已知方向角，通过构造直角三
角形求路程，从而解决问题，是对解直角三角形的进一步应用，培养学生数学建
模的思想，提高学生分析问题，解决问题的能力，使学生感受到数学与生活实际
的密切联系；第（3）题是在（1）、（2）两题的基础上，训练学生通过添加辅
助线的方式构造直角三角形，将实际问题与数学模型联系起来，让学生感受数学
的实用性，同时锻炼学生的逻辑推理能力和思维表达能力。
作业2（发展性作业）
19
1.作业内容
（1）如图，风景区为了方便游人参观，从山峰A处架设一条缆车线路到另一
山峰C处，李明在C处测得A处的仰角为30°，他在山峰C处对山峰A两山峰高喊一
声，3秒后听到回声，则缆车线路的长为 .
（声音在空气传播速度为340m/s，结果保留根号.）
B D
（2）一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，
两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围28海里内有
暗礁，问若轮船按30海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
北
C
P E
东
B
A
（3）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测
绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管
道步行1000米到达C处，测得小区M位于C处的北偏西60°方向．当在主输气管道
AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 米
（结果保留根号）．
北 M 北
东
C
西 东
A
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
解法的创新性 A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
20
B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题通过实际问题构造数学模型，结合物理学科的相关知识进行
综合应用，让学生感知数学与其他学科的紧密联系，体会数学作为一门工具学科
的重要性及实用性；第（2）题要求学生在实际情境中能通过空间思维理解问题，
抓住判断有无触礁危险的关键是计算点P到直线AB的距离与暗礁半径的大小关
系，引导学生过P点做直线AB的垂线段；求出这条线段长度去比较即可；作业第
（3）题在熟练掌握方向角的基础上，利用几何中垂线段最短的知识，画出点M
到直线AC的垂线段，结合已知角度和线段长度，求出所需的线段长。
第九课时（23.2测量梯形有关问题）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1: 3，堤高BC = 20m，则坡面AB
的长度是（ ） B
A. 30m B. 40 3m
C. 40m D. 20 3 m
C A
（2）如图所示是某水库大坝横断面示意图．其中CD，AB分别表示水库上、下
底面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是48 m，则水库大坝的坡度为 ；高
度 是 .
（3）在四边形ABCD中，AB∥ CD，AB = 6，CD = 10， AD = 8，∠D = 45°,
求四边形的面积.
（4）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥BA，BC长10
米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，求AD的长.
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
21
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题让学生在具体题目中理解坡度、坡面等概念，直接由概念可
以求出AC的长度，再由勾股定理求出坡面AB的长；作业第（2）题让学生巩固坡
角的正切值与坡度的关系，同时利用相关知识解决实际问题,提高学生对知识的
应用能力；作业第（3）题由学生自己根据几何语言描述作图，发现四边形ABCD
为梯形，然后构造直角三角形，解决问题.本题意在培养学生动手画图能力和知
识应用能力.作业第（4）题是梯形内两个坡度的使用，图形构造简单，数据也很
简单，用时较短，正确率也会较高，增加学生的自信心。
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡角为55°，在坡底D处另有一个
高为2米的平台，现需要将斜坡AD改为斜坡AC，斜坡AC坡比i = 1 ∶ 1，求土坡AB
的高度.（精确到0.1米，参考数据:sin55° ≈ 0.82, cos55° ≈ 0.57, tan55° ≈ 1.43）
（2）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长180
米，横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至
B共有30级阶梯，平均每级阶梯高20cm，斜坡AB的坡度i = 1：1；加固后，坝顶
宽度增加2米，斜坡EF的坡度i = 1 ∶ 5，问工程完工后，共需土石多少立方米？(
计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号)
E A D
F B C
22
（3）如图，在 ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC =
∠DEC，连接CF，DE．
①求证：四边形DECF是平行四边形；
②如果AB = 10，DF = 14，tan∠DCB = 4，求CF的长．
3
A D F
2.时间要求（10分钟） B E C
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
在发展性作业中设计了三个解答题，相对于选择题和填空题难度上提高了一
个层次，对过程的书写也有了较高的要求。作业第（1）题是解双直角三角形，
关键是作好辅助线，规范解题过程；第（2）题是已知坡度求大坝的铅直高度的
问题，在施工的背景下，引导学生发现改造前后模型之间的联系，找到解题的突
破口，训练学生发现问题，提出问题，分析问题，和解决问题的能力，也锻炼学
生的计算能力及处理数据的能力，提高运算素养；第（3）的第①问考查了平行
四边形的性质与判定，是学科内知识的综合考查。第②问利用平行四边形的性质，
通过构造直角三角形求解，培养学生综合应用知识的能力及有条理的思考问题和
解决问题的能力。
第十课时（23.2直线斜率k的求法）
作业1（基础性作业）
1.作业内容
（1）函数 ＝2 ＋4的图象与x轴正方向所夹的锐角为α，则tanα＝ .
（2）已知正比例函数y = kx经过点(2 3，6)，求直线向上的方向与x轴正方向
夹角α = .
（3）已知一次函数y＝kx＋b经过点 (2，4 )和点 (4，7) .则该直线的向上方向
与x轴正方向所夹的锐角的正切值为 .
23
（4）已知直线y＝kx＋b经过点(－5，8)，且直线向上的方向与x轴正方向所夹
的锐角为45°，求直线表达式.
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题加深学生对直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角α的正切值
与k值的相等关系的理解，是课本例题结论的再现与运用；第（2）题综合考查“
待定系数法”、“斜率公式”、“特殊角的三角函数值”三个知识点，在新旧知
识的碰撞中，培养学生综合运用数学知识来解决数学问题的能力，既考查了学生
对新知的理解，又巩固了学生对旧知的掌握；第（3）题可直接利用点的坐标带
入公式计算，也可利用待定系数法解决问题，通过寻求合理的运算途径培养学生
的运算能力和创新意识；第（4）题再次巩固直线向上方向与x轴正方向的夹角的
正切值与k值的相等关系，重点考查学生对基本知识点的掌握及灵活应用的能力。
作业2（发展性作业）
1.作业内容
（1）已知直线y＝kx＋b经过点(－ 3， )和点( 3 ，2 ，且向上的方向与
轴正方向所夹的锐角为60°，求直线表达式.
k
（2）如图，矩形ABCD的顶点A、B在 轴的正半轴上，反比例函数y = 在第x
一象限内的图像经过点D，交BC于点E．若AB = 6，CE = 3BE， tan∠AOD = 4，
求k的值. y
D C
E
O A B x
（3）【定义】斜率表示一条直线相对于横轴的倾斜程度.当直线 的斜率存在
时，对于一次函数y = kx + b(k ≠ 0)， 即为该函数图象(直线)的斜率.当直线过
点(x1, y
y2 y1
1)、(x2, y2)时，斜率k = ，特别的，若两条直线 1 ⊥ 2，则它们的斜x2 x1
24
率之积k1 k2 = 1.反过来，若两条直线的斜率之积k1 k2 = 1，则直线 1 ⊥ 2.
【运用】请根据以上材料解答下列问题：
①已知平面直角坐标系中，点A(1,3)、B(m, 5)、C(2, n)在斜率为3的同一
条直线上，求m、n的值；
②在①的条件下，点P为 轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标；
y y
O x O x
备用图 备用图
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A等，答案正确、过程正确。
B等，答案正确、过程有问题。
答题的准确性
C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程
错误、或无过程。
A等，过程规范，答案正确。
答题的规范性 B等，过程不够规范、完整，答案正确。
C等，过程不规范或无过程，答案错误。
A等，解法有新意和独到之处，答案正确。
解法的创新性 B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。
C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。
AAA、AAB综合评价为A等； ABB、BBB、AAC综合评价
综合评价等级
为B等；其余情况综合评价为C等。
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题要求学生会用直线与x轴的夹角求k的值，然后通过建立二元
一次方程组求解，培养学生利用方程思想解决问题的能力；第（2）题引导学生
运用所学过的知识发现反比例函数中参数k与一次函数中参数k的不同，分析解决
问题的方法，借助中间变量进行转换，利用方程思想，通过运算解决问题，培养
学生数形结合思想、多元化思维和数学运算能力；第（3）题是在已有知识的基
础上，给出新知，提高学生在具体情境中理解新知和应用新知的能力，培养学生
逻辑推理及数学运算的能力。
六、单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
25
1.某人沿着斜坡前进，当他前进30米时上升的高度为15米，则斜坡的坡度是i＝
（ ）
A．1：3 B．1：3 C．1：2 D．1：2
2.如图，在Rt △ ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，则下列三角函数
表示正确的是（ ） B
A. sin A 4 B 4. cosA
5 5
C tanA 3 D tanB 4
4
. .
4 3 C
3.计算 tan30 cos60 A的结果是（ ） 3
A 1 B 3． ． C 3． D 3．
2 2 2 6
4.已知锐角 ，且 sin cos 42 ，则 ＝（ ）
A．42° B．58° C．48° D．68°
5.在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ，如测角仪的高为1.5
米，那么旗杆的高为（ ）米．
A 20 B 20tan C 1.5 20tan D 1.5 20. . . .
tan tan
二、填空题
6.计算： sin 2 45 cos2 30 ＝ ．
7.如图，点P是 的边OA上的一点，点P的坐标为（24，7），则 tan ______ .
y
P（24，7）
）
o x
8.在正方形网格中，△ ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为 ．
C
A B
三、解答题
9.计算： 2cos60 3cos245 tan45 sin60 .
26
10. 因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得
点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量
AB＝20千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1千米，参考数据：
sin70° ≈ 0.94，cos70° ≈ 0.34）
C A
北
B 东
11. 如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续
航行5海里后，在B处测距小岛P的方位是北偏东60°．
（1）求此时轮船与小岛P的距离BP；
（2）经过观测发现小岛P方圆2海里内有暗礁，请问若轮船继续向东航行是否有触
礁的危险？并说明理由．
北 北
P
75° 60°
A B 东
12. 如图，在△ ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE ⊥ BC，垂足为点E，
交BD于F，cos∠ABC = 5 ，AB = 26 A．
13
（1）求AE的长；
（2）求tan∠DBC的值． D
F
B E C
27
（二）单元质量检测作业属性表
序号 类型 对应单元 对应学 难度 来源 完成时间
作业目标 了解 理解 应用
1 选择题 3 √ 易 改编
2 选择题 1 √ 易 改编
3 选择题 1 √ 易 原创
4 选择题 3 √ 易 改编
5 选择题 1、4、5 √ 中 改编
45分钟
6 填空题 1、3 √ 中 选编
7 填空题 1、3、5 √ 中 选编
8 填空题 1、3、4 √ 中 改编
9 解答题 1、3 √ 中 原创
10 解答题 1、3、4、5 √ 较难 改编
11 解答题 1、3、4、5 √ 较难 改编
12 解答题 1、3、5 √ 较难 选编
28

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