资源简介

初中数学单元作业设计
一、单元信息
学科 年级 学期 教材版本 单元名称
基本
三角形中的
信息
数学 八年级 第一学期 沪科版 边角关系、
命题与证明
单元
组织 √自然单元 □重组单元
方式
序号 课时名称 对应教材内容
1 三角形中边的关系 第 13.1（P67-69）
2 三角形中角的关系 第 13.1（P69-71）
3 三角形中几条重要线段 第 13.1（P71-74）
课时
4 命题 第 13.2（P75-77）
信息
5 证明（1） 第 13.2（P78-79）
6 证明（2） 第 13.2（P79-80）
7 三角形内角和定理及其推论 第 13.2（P80-81）
8 三角形外角 第 13.2（P82-83）
二、单元分析
（一）课标要求
理解三角形及其内角、外角、边、中线、高、角平分线等概念，了解三角形
的稳定性，会证明三角形中任意两边之和大于第三边．了解定义、命题、基本事
实、定理、推论的意义。能区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概
念知道证明的意义和必要性，会总综合法证明的格式，了解反例的作用．
在“知识和技能”方面指出：熟练掌握三角形的三边关系及其应用，通过典
型例题的研究，学习和掌握推理和证明的规则，并能适当添加辅助线；在“过程
和方法”方面指出：体会几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演变过程，
认识归纳推理的演绎推理的作用．
（二）教材分析
1.知识网络
1
2.内容分析
三角形是最简单的多边形，是研究其它图形的基础．本章是在七年级学习线
段、角、相交线、平行线等知识的基础上，进一步系统的研究它的概念、分类、
性质和应用，着重研究了三角形中的边角关系．本章另一内容是形式逻辑训练的
开始，命题的概念与结构，命题的真假及判断，定理、推论、基本事实、定义和
证明的意义及简单证明，第一次比较规范地用几何语言来表述一个几何命题证明
的过程．本章介绍的命题与证明，开始强调以几何语言进行形式化的推理，比较
抽象，实现由感性到理性认识的逐步过渡．
通过本单元的学习，学生能够掌握比较全面的三角形基本概念及边角关系，
感受几何语言的逻辑性和严谨性，同时也为后面全等三角形、四边形、相似形等
2
内容的学习奠定基础。因此，本章的重点是三角形的边角关系，及区分一个命题
的题设和结论，综合法证明一个几何命题的方法和步骤．
（三）学情分析
从学生的认知规律看：学生在小学阶段已经对三角形有了一些认识，包括等
腰三角形的腰、底边、底角、顶角的定义以及三角形按角分类等．这些都为三角
形的边角关系的学习打下一定基础．本章的第二部分是命题与证明，是学生首次
比较规范的使用形式化的几何语言证明几何命题，学生对证明思路的寻求，证明
过程必须步步有依据的理解还有一个适应过程．
从学生的学习习惯和思维规律来看：八年级下学生已经具有一定的自主学习
能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，有一定的求知欲和探究
能力．但是学生的思维方式和思维习惯还不够完善，几何语言以及证明过程的推
演能力尚不足，因此应强化三角形内角和定理以及其推论的应用练习，突出反例
的作用，在此过程中进一步提升学生的证明推理能力．因此，本章的难点是简单
反例的构造以及几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的规范表述．
三、单元学习与作业目标
1.知道三角形的有关概念、分类、边角关系，通过作业加深对“三角形分类、
三角形边角关系、三角形中重要线段”的认识，提升学生的几何符号意识和数形
结合能力，体会两点之间线段最短的意义．
2.了解命题的、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，会识别两个
互逆命题，会判断命题的真假，会举出反例．培养学生思维的严谨性和逻辑分析
能力以及推理能力．
3.经历三角形内角和定理以及其推论的探索过程，加深对证明要求的认识，
初步形成用比较规范的几何语言证明几何命题，发展学生的推演能力．
四、单元作业设计思路
分层设计作业．每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量
3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，
题量 3 大题，要求学生有选择的完成）．具体设计体系如下：
五、课时作业
3
第一课时（13.1（1） 三角形中边的关系）
作业 1（基础性作业）
1. 作业内容
（1）下列说法：
①三角形按边分类，可分为：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（2）现要用三根木首尾相接棒搭一个三角形，已知其中两根木棒的长分别
是 3cm 和 5cm，那么第三根的长可以是（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
（3）如果一个等腰三角形的两边长为 4、9，则它的周长为（ ）
A．17 B．22 C．17 或 22 D．12 或 27
（4）如图 1 所示，图中有____________个三角形；其中以 AB 为边的三角形
有____________；含 ACB 的三角形有____________；在△BOC 中， OCB的对
边是____________．
A D
B C
图 1
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查了三角形的按边分类，特别注重考查了等边三角形是
等腰三角形的一种特殊情况，解题的关键是熟练掌握基本知识，加深对三角形
按边分类的认识作业第（2）题，是三角形三边关系的简单应用，识记三角形三
边关系即可，即任意一边小于任意两边之和大于任意两边之差，简单计算即可
求出范围，巩固所学三边关系．作业第（3）题，求等腰三角形的周长，即是确
定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和
9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关
系验证能否组成三角形，培养学生分类讨论思想和区分意识．作业第（4）题，
本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题的关键，根据三角形的定
义和角的定义判断即可，培养学生几何符号意识和分辨能力．
5.参考答案
（1）①三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确．
答案：B．
（2）根据三角形的三边关系，求出第三根木棒的长的取值范围即可得出结
论．根据题意可得，5－3＜第三根木棒的长＜5＋3，即 2＜第三根木棒的长＜8．
答案：A．
（3）若 4 为腰长，9 为底边长，由于 4+4＜9，则三角形不存在；若 9 为腰
长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为 9+9+4=22．
答案：B．
（4）由题可得，图中的三角形有△ AOD，△ AOB，△ BOC，△ DOC，△ BAD，
△ ABC，△ BCD，△ ADC，共 8 个；以 AB 为边三角形有△ BAD，△ ABC,△ AOB；
含 ACB的三角形有△ BOC，△ ABC；在△ BOC 中， OCB的对边是 OB．
答案：8；△ BAD，△ ABC,△ AOB；△ BOC，△ ABC；OB．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）已知a，b，c是三角形的三边长，那么 a b c + a b c 去绝对值符
号化简后的结果为（ ）
A.2a+2b-2c B.2a+2b C.2c D.0
（2）一个三角形的三边长分别是 a，a 2，a 4，它的周长不超过 30，则 a
的取值范围为 ．
（3）如图 1，等腰三角形 ABC 的周长为 10cm，底边 BC 长为 y（cm），
腰 AB 长为 x（cm）．
①求 y 与 x 之间的函数关系式；
②求 x 的取值范围；
③腰长 AB=3cm 时，求底边的长．
5
A
x x
B y C
图 1
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查三角形的三边关系以及绝对值代数意义，能够熟练掌
握三角形的三边关系并建立相应不等式运用到绝对值化简中去是解决本题的关
键，考查学生综合知识应用的能力．作业第（2）题，主要考查三角形的三边关
系，解题的关键是熟知已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边
的差，而小于两边的和，根据三角形的三边关系及周长列出不等式组，即可求解，
本题容易根据周长不超过 30 列出一个不等式，列第二个不等式有一定的难度，
即较小的两边之和小于最长边，考查三角形三边关系本质理解能力．作业第（3）
题，考查了等腰三角形的性质及一元一次不等式组和一次函数的知识，正确理解
题意由三角形满足的条件列出不等式组是解题的关键.①根据等腰三角形周长与
边长的关系式即可确定；②根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边可列出关于 x 的不等式组，求解集即可；③将腰长代入①中关系式可得底边长，
考查学生代数与几何综合运用的能力．
5.参考答案
（1）∵三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
6
∴a c b，a c b，即：a b c 0，a b c 0，由绝对值的代数意义，原
式 a b c a b c 2c．
答案： 2c ．
a a 2 a 4
（2）由题意得 解得2 a≤8．∴的取值范围是2 a≤8．
a a 2 a 4 30
答案：2 a 8
（3）① ∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 10，∴y＝10﹣2x，
2x 10 2x
② ，解得：2.5＜x＜5．所以 x 的取值范围为2.5＜x＜5③ 将 x 3代入
10 2x 0
y＝10﹣2x 得 y 4，所以底边的长为 4.
答案：① y＝10﹣2x；② 2.5＜x＜5；③ 4．
第二课时（13.1（2）三角形中角的关系）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，按角分类不能判断三角形
类型的是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知△ ABC 中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
（3）具备下列条件的△ ABC，不是直角三角形的是（ ）
1 1
A．∠A+∠B＝∠C B． A B C
2 3
C．∠A＝2∠B＝3∠C D． A: B : C 1:3: 4
4.如图 1，将一块直角三角板 DEF 放置在锐角三角形 ABC 上，使得该三角
板的两条直角边 DE、DF 恰好分别经过点 B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD
的值为（ ）
A
D
B C
F
E
图 1
A．40° B．45° C．50° D．55°
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
7
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、
锐角三角形、钝角三角形进行判断即可，属于简单题，加深对三角形按角分类的
认识．作业第（2）题考查三角形内角和定理的简单应用，让学生通过计算认识
定理的初步应用．作业第（3）题，考查三角形内角和定理与方程相结合求各角
度数，分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．本题中 B 选项与
C 选项具有迷惑性，不妨设∠A 为 x,同时分别∠B 得出∠C，再结合三角形内角
和定理建立方程求解即可，培养学生运算能力和分辨能力．作业第（4）题，本
题主要考查了三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB
＝ 180°﹣∠A＝ 135°，∠DBC+∠DCB＝ 180°﹣∠BDC＝ 90°，进而可求出
∠ABD+∠ACD 的度数，培养学生综合运算能力和对几何动态变化的认识．
5.参考答案
（1）C 选项，露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角
形类型．
答案：C．
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A
﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
答案：A．
（3）A 选项中由∠A+∠B＝∠C，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．B
1 1
选项由 A B C ，可以推出∠C＝90°，本选项不符合题意．C 选项由
2 3
1080
∠A＝2∠B＝3∠C，推出 A ( ) ，△ ABC是钝角三角形，本选项符合题意．D
11
选项由 A: B : C 1:3: 4，可推出∠C＝90°，本选项不符合题意．
答案：C．
（4）在△ ABC 中，∵∠A＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，在△
8
DBC 中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD
＝135°﹣90°＝45°．
答案：B．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图 1 所示， E 40 ，则 A B C D ________．
E
C
A D
B
图 1
（2）定义：当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三
角形为“特征三角形”，其中 称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个
内角为 30°，那么这个“特征角” 的度数为 ．
（3）在△ ABC 中，
① 若∠ A=50°,∠B=∠C,求∠C 的度数;
② 若∠ A=80°,∠B-∠C=40°,求∠C 的度数；
1 1
③已知 A B C 求∠C 的度数．
3 5
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
9
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查了三角形内角和定理与对顶角性质相结合，连接 BE 是
本题的关键，∠C+∠D 转化为∠OEB+∠OBE 是本题的关键，培养了数学的转化
思想．作业第（2）题，考查三角形的内角和定理．可分三种情况：当“特征角”为
30°时；当 ＝30°时；当第三个角为 30°时，根据“特征角”的定义，结合三角形
的内角和定理分别计算即可求解．培养了学生分类讨论思想．作业第（3）题，
主要考查三角形内角和定理与已知条件结合，通过建立解方程的方式求各角度数，
本题的三个小题应用不同方式建立方程求解，多角度考查学生三角形内角和定理
的应用，培养学生多角度思维的能力．
5.参考答案
（1）连接 BE，
∵∠EOB=∠COD,∠C+∠D+∠COD=180°,∠OEB+∠OBE+∠EOB=180°，
∴∠C+∠D=∠OEB+∠OBE，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠AED=∠A+∠B+∠E+∠OEB+∠OBE=∠A+∠AE
B+∠ABE=180°，
∴ A B C D 180°-40°=140°．
答案：140°．
（2）当“特征角” 为 30°时，即特征角 ＝30°；当 β＝30°时，“特征角”
1
＝2×30°＝60°；当第三个角为 30°时， + +30 =180 ，解得 =100 ，综上，
2
这个“特征角” 的度数为 30°或 60°或 100°．
答案：30°或 60°或 100°．
（3）① 因为∠A=50°,∠B=∠C,所以∠C=65°．
②由题意,得∠B+∠C=180°-∠A=100°，又因为∠B-∠C=40°,所以∠C=30°．
1 1
③因为 A B C ,所以∠B=3∠A,∠C=5∠A.
3 5
因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+3∠A+5∠A=180°,
所以∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°,所以△ ABC 是钝角三角形．
第三课时（13.1（3）三角形中几条重要线段）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下面四个图形中，线段 BD 是△ ABC 的高的是（ ）
A
D
D C
A． B C B．
A B C
B
D
C． D．
A D C A B
10
（2）下列说法正确的个数有（ ）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（3）△ ABC 中，它的三条角平分线的交点为 O，若∠B＝80°，则∠AOC 的
度数为（ ）
A．100° B．130° C．110° D．150°
（4）如图 1，在△ ABC 中，已知点 D，E，F 分别是 BC，AD，CE 的中点，
且△ BEF 的面积为 2，则△ ABC 的面积是（ ）
A
E
F
B C
D 图 1
A．8 B．10 C．12 D．14
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
11
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，本题考查三角形的高线，正确理解三角形的高线是解题关
键．根据三角形高的定义，过点 B 向 AC 边作垂线，点 B 和垂足 D 之间的线段是
△ ABC 的高，逐项判断即可，培养学生的分辨能力．作业第（2）题，考查对三
角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高
的概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三
条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三
角形有两条高在边上即可作答．作业第（3）题，本题考查三角形角平分线的定
义，抓住三角形的角平分线线将三角形的内角平分，培养学生整体转化思想．先
1 1
根据角平分线的定义可得 OAC BAC , OCA BCA，再根据三角形的
2 2
1
内角和定理可得 AOC 180 ( BAC BCA)，然后根据三角形的内角和定
2
理可得 BAC BCA 100 ，由此即可得出答案．此类题属于常见模型，同时
考查学生是否掌握其一般规律，即∠AOC=90°+1/2∠B，培养学生归纳分析的能
力以及整体思想．作业第（4）题，本题考查三角形中面积转化的能力，涉及同
底等高、等底同高的知识，培养学生的图形观察能力和转化思想．
5.参考答案
（1）∵由三角形的高线定义可知：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D，则线段
BD 为△ ABC 的高；∴选项 A，B，C 图形中垂足不正确，都不符合题意，只有选
项 D 符合题意．
答案：D．
（2）①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②三角形的三条
角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；③钝角三角形的高有两条在
三角形外部，故错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，
故正确．所以正确的有 3 个．
答案：C．
（3）∵AO，CO 分别是 BAC， BCA的角平分线
1 1
∴ OAC BAC ， OCA BCA
2 2
1 1
∴ AOC 180 OAC OCA 180 BAC BCA
2 2
1
180 ( BAC BCA)
2
又∵ B 80
∴ BAC BCA 180 B 180 80 100
1
∴ AOC 180 100 130
2
答案：B．
（4）∵F 为 CE 中点，∴ S△BEC 2S△BEF 4 ，又∵E 为 AD 中点，∴
S△ABD 2S△BDE ， S△ACD 2S△CDE ，∴ S△ABC S△ABD S△ACD 2S△BEC 2 4 8．
答案：A．
12
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图 1，在△ABC中， BAC 90 ，AD 是高, BE是中线，CF 是角平分
线，CF 交 AD于点 G，交 BE于点 H，下面说法正确的是 （只填
序号）
A
F G E
F
H
C
B D 图 1
① △ABE 的面积等于△BCE 的面积 ② AFG AGF
③ FAG 2 ACF ④ AF FB．
A．① ② ③ ④ B．① ② ④ C．① ② ③ D．③ ④
（2）如图 2，在△ ABC 中（AC＞AB），AC＝2BC，BC 边上的中线 AD 把
△ ABC 的周长分成 60cm 和 40cm 两部分，则边 AC 的长为_______．
C
D
A
图 B 2
（3）如图 3 所示，在△ ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AH 是 BC 边上的
高，H 是垂足．如果∠B=65°，∠C=45°，求∠DAH 的度数．
A
C B D H
图 3
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
13
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，主要考查三角形的中线，高线，角平分线的性质，其中角
平线结合三角形内角和定理有一定的综合性，也是为 13.2 的内容做了铺垫，考
查学生图形综合分析的能力．作业第（2）题，考查了三角形的中线性质与方程
结合的知识，培养代数与几何结合的能力．作业第（3）题，本题考查了三角形
的角平分线，三角形的高线，以及三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等
于 180°是解答此题的关键，培养学生几何综合分析的能力．
5.参考答案
（ 1 ）根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得
∠ABC=∠CAD ，利用三角形内角和定理结合角平分线的定义可求解
∠AFG=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法
判定④
答案：C．
（2）先根据 AD 是 BC 边上的中线得出 BD=CD，设 BD=CD=x，AB=y，则
AC=4x，再根据 AC+CD=60，AB+BD=40，即可得出 x 和 y 的值．∵AD 是 BC 边
上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设 BD＝CD＝x，AB＝y，则 AC＝4x，∵AC
＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即 4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝
28，即 AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．
答案：48cm．
（3）由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由 AE 是∠BAC 的平分
线，可求∠BAE=35°，再由 AD 是 BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可∠BAD=25°，
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．∵∠B=65°，∠C=45°，∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴∠CAB=70°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD=∠BAD=35°．∵AH 是 BC 边
上的高，H 是垂足，∴∠AHB=90°．∵∠B+∠AHB+∠BAH=180°，∴∠BAH=25°，
∴∠DAH=10°．
答案：∠DAH 的度数是 10°．
14
第四课时（13.2（1）命题）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列语句中，是命题的个数有( )
① 两直线平行，同旁内角相等；② π不是有理数；
③ 同角的余角相等；④ 明天会下雨吗？ ⑤ 延长线段 AB．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
（2）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．内错角相等的逆命题是真命题
B．同旁内角相等，两直线平行
C．无理数都是无限小数
D．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
（3）已知下列命题：①同旁内角互补；②若 a＝b，则 a2＝b2；③有一个内
角是直角的三角形是直角三角形；④若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0，其中逆命题是
假命题的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（4）下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并
写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
①一个角的补角比这个角的余角大多少度？
②垂线段最短，对吗？
③等角的补角相等．
④两条直线相交只有一个交点．
⑤同旁内角互补．
⑥邻补角的角平分线互相垂直．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
15
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题根据命题的定义即可求出本题答案,熟练掌握命题的定义是本
题解题的关键,属于基础题.第（2）题主要考查命题的真假判断，命题内容涉及到
平行公理、平行线的判定、无理数的定义等知识，判断命题的真假关键是要熟悉
课本中的相关定义及性质定理等．（3）（4）题本题综合性比较强，主要考查命
题的改写,逆命题的表示,真假命题的判断.解决本题的关键是要熟练掌握逆命题
的改写和真假命题的判断.本题根据命题的定义先判断出哪些是命题,再把命题的
题设写在“如果”后面,结论写在“那么”后面,然后将题设与结论互换写出它的逆命
题，培养学生的分析判断能力．
5.参考答案
（1）①“两直线平行，同旁内角相等”是命题；②“π不是有理数”是命
题；③“同角的余角相等”是命题；④“”明天会下雨吗？”是疑问句并非判
断真假的陈述句，故不是命题；⑤“延长线段 AB”作图语句（包括祈使句
等）不是命题.本题是命题的语句有 3 个．
答案：选 B．
（2）A.内错角相等的逆命题是：两个相等的角是内错角，是假命题； B.同
旁内角互补，两直线平行；故 B 错误；C.无理数都是无限小数，故 C 正确； D.
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
故 D 错误．
答案：选 C．
（3）①“同旁内角互补”的逆命题为“互补的角为同旁内角”，此逆命题为
假命题；②“若 a＝b，则 a2＝b2”的逆命题为“若 a2＝b2，则 a＝b”此逆命题
为假命题；③“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”它的逆命题为“直角
三角形有一个内角为直角”，此逆命题为真命题；④“若 a＞0，b＞0，则 a+b＞
0”的逆命题为“若 a+b＞0，则 a＞0，b＞0”，此逆命题为假命题．
答案：选 C．
（4）对一件事情做出判断的句子是命题,因为①②是问句,所以①②不是命
题,其余 4 个都是命题．③“如果两个角相等,那么它们的补角相等”是真命题,它
的逆命题为“如果两个角的补角相等,那么这两个角相等”是真命题．④“如果两
条直线相交,那么它们只有一个交点”是真命题,它的逆命题为“如果两条直线只有
一个交点,那么这两条直线相交”是真命题⑤“如果两个角是同旁内角,那么它们
互补”,是假命题，它的逆命题为“如果两个角互补,那么这两个角是同旁内角”
是假命题．⑥“如果两条射线是邻补角的角平分线,那么它们互相垂”是真命题,
逆命题为“如果两条射线垂直,那么这两条射线是邻补角的角平分线”是假命
题．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）能说明命题“对于任何实数 a, a2 ≥a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a 2 B． a 1 C．a 0 D．a 0.2
（2）写出一个能说明命题“若 | a | | b |，则 a b”是假命题的反例______.
（3）如图 1，现有以下三个条件：① AB / /CD,② B C,③ E F．请
你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
16
① 你构造的是哪几个命题？
② 你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予说明；若是假
命题，请举出反例(说明其中的一个命题即可)．
E
B
A
C D
图 1
F
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价
为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）（2）题判断命题为假命题，正确举出反例是解题的关键.作为反
例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足
结论的值即可.作业第（3）题构成命题需要条件和结论，结合图形，选取合适的
条件及结论组成命题，并判断其真假，给予适当说明,本题属于开放题（分别以其
中 2 句话为条件，第三句话为结论可写出 3 个命题），培养学生的创造性和分析
能力．
5.参考答案
（1）当a 0.2时，a2 0.04 ∴a2＜a
答案：选 D．
17
（2）（答案不唯一）a 5 ,b 1.当a 5 ,b 1时，满足 | a | | b |，∵-
5<1，不满足 a b，∴a 5 ,b 1可作为说明命题“若 | a | | b |，则 a b ”是假
命题的反例．
答案：a 5 ,b 1（答案不唯一）
（3）① 可构造如下几个命题：如果 AB / /CD, B C,那么 E F ．如果
AB / /CD, E F,那么 B C .如果 B C， E F,那么 AB / /CD．
②∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴
∠E=∠F，∴如果 AB / /CD, B C,那么 E F为真命题；∵AB∥CD，∴∠B=
∠CDF，∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，∴如果
AB/ / CD, E F,那么 B C为真命题；∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，∴如果 B C， E F,那么 AB / /CD
为真命题．
第五课时（13.2（2）证明（1））
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）下列命题不是基本事实的是( )
A.两点之间的所有连线中，线段最短
B.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
（2）下列叙述错误的是( )
A.所有的命题都有条件和结论 B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题 D.基本事实都是真命题
（3）下列推理错误的是( )
A. AB CD,CD EF, AB EF. B. , , .
C. a b,b c, a c. D. a b,b c, a c.
（4）在下题的括号内，填上推理的依据.
已知：如图 1， 1 2 .
求证： AB CD.
证明： 1 2 （ ）
又 2 3,（ ）
1 3 .（ ）
AB CD （ ）
E
A 1 B
C 3 D
2
F
图 1
18
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，考查基本事实的含义，属简单了解层次，在数学中，基本
事实是人们在长期实践中总结出来的结论，可以作为几何证明的原式依据.备选
答案中四个选项均是学生熟悉的真命题，起点低，易上手．作业第（2）题，考
查命题、定理的含义、关系和结构，属理解层．作业第（3）题，考查几何学习中
的常见演绎推理，属理解层次．作业第（4）题，考查几何证明中的常见推理依
据，培养学生结合图形理解几何推理的能力．
5.参考答案：
（1）在四个选项中，B 选项为平行线的性质之一，它是由“两条平行线被
第三条直线所截,同位角相等”得到的，故本选项不合题意．
答案：选 B．
（2）在四个选项中，命题由题设（或条件）和结论（或题断）组成，故 A
选项正确.并不是所有的命题都是定理，只有从基本事实和其他真命题出发，用
推理方法判断为正确的，并被选做判断命题真假的依据的真命题才叫做定理，故
B 选项错误，C 选项正确．由于基本事实是人们在长期实践中总结出来的结论，
可以作为几何证明的原式依据，故 D 选项正确．
答案：选 B．
（3）A，B 选项均由等式的传递性可得，这个推理过程叫做等量代换，均正
确.若在一平面里的两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行，因此
C 选项错误.若在一平面里的两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平
行，故 D 选项正确．
答案：选 C．
（4）答案：已知；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
19
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）已知:如图 1, AB BC, DC BC, 1 2．求证:BE CF ．
现有下列步骤:
①∵ 2 1,
②∴ ABC BCD 90 ,
③∴ BE CF ,
④∵ AB BC, DC BC ,
⑤∴ EBC FCB.
正确的证明书写顺序是( )
A B
2
F
E
C 1
图 1 D
A.①②④⑤③ B.④①⑤②③ C.④②①⑤③ D.①④⑤②③
（2）如图 2,有如下三个条件:①DG BC ,②BD EF ,③ 1 2 .请选择
其中两个作为“条件”,另一个作为“结论”进行推理论证,写出证明过程．
A
G D
1
F
B 2
E C
图 2
（3）已知：如图 3，DG BC, AC BC, EF AB, 1 2.求证：CD AB ．
A
E 1
F
D
2
B
C
图 3
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
20
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价
为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题涉及几何证明过程的书写顺序，属于理解层次，强调学生对
证明逻辑关系的理解和书写顺序的掌握，但又以选择题的形式出现，一定程度上
降低了题目难度. 作业第（2）题涉及几何证明过程的书写，属于应用层次，学
生需要对每一步逻辑关系充分认识和理解，同时联系三个条件进行适当组合，①
②看作条件，③看作结论或①③看作条件，②看作结论或②③看作条件，①看作
结论，这三种情况都可.作业第（3）题考察学生综合应用所学几何知识，结合图
形进行推理证明的能力，属于应用层次.由已知条件可得 DG AC ，从何得到
2 ACD，又由 1 2可得 1 ACD，所以CD EF ，最后得出同位角
ADC AEF 90 即可．
5.参考答案：
（1）证明： AB BC, DC BC ABC BCD 90 2 1
EBC FCB BE CF ．
答案：选 C．
（2）解：条件：①②，结论：③证明： DG BC, 1 DBC.（两直线
平行，内错角相等） BD EF, 2 DBC.（两直线平行，同位角相等）
1 2.（等量代换）（答案不唯一，另外两种也可以）．
（3）证明： DG BC, AC BC, DGB ACB 90 （垂直定义）
DG AC（同位角相等，两直线平行）. 2 ACD（两直线平行，内错角
相等） 1 2, 1 ACD（等量代换） CD EF （同位角相等，两直线
平行） EF AB, AEF 90 （垂直定义） ADC 90 （等量代换）
CD AB（垂直定义）．
第六课时（13.2（2）证明（2））
作业 1（基础性作业）
21
1. 作业内容
（1）如图 1，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A． 1 3 AB //CD（内错角相等，两直线平行）
B． AD / /BC 2 4（两直线平行，内错角相等）
C． BAD ABC 180 AD / /BC（同旁内角互补，两直线平行）
D． DAM CBM AD / /BC（两直线平行，同位角相等）
M A B A B
1
2
C D
4
3
D C
E F
图 1 图 2
（2）如图 2，下列推理：
① ∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF； ② ∵∠B＝∠CDE，∴AB∥CD；
③ ∵∠B+∠BEF＝180°，∴AB∥EF；④ ∵AB∥CD，CD∥EF∴AB∥EF，
其中，正确的是( )
A．① ② ③ B．① ② ④ C．① ③ ④
D．② ③ ④
（3）如图 3，下列推理中正确的有( ).
① 因为∠1＝∠2，所以 b∥c(同位角相等，两直线平行)；
② 因为∠3＝∠4，所以 a∥c(内错角相等，两直线平行)；
③ 因为∠4＋∠5＝180°，所以 b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．
d
a A D
3 1
m
1 b 3
E F
n 5
2 4 c
2
B C
图 3 图 4
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
（4）完成下面的证明过程：
已知：如图 4，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.
求证：∠3＝∠B.
证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，
∴∠D＋∠EFD＝180°，
∴AD∥________(同旁内角互补，两直线平行)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴________∥BC(内错角相等，两直线平行)，
∴EF∥________，
22
∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
2. 时间要求（10分钟）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准
确，过程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
解法的创新性
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无
过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、
综合评价等级 AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价
为 C 等．
4.作业分析和设计意图
作业第（1）题，考查了平行线的判定的认识和区分，尤其是在填写推理依
据时不要把条件和结论搞反是解题关键．作业第（2）题，考查了平行线的判定，
平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③
同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行；作业第（3）
题，主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找
同位角、内错角和同旁内角．结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断；
作业第（4）题，考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直
线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互
补，反过来就是平行线的判定，培养学生对证明严谨性的认识．
5.参考答案
（1）解：“∵∠DAM=∠CBM∴AD//BC”的推理依据应该是“同位角相等，
两直线平行”，D 选项把条件和结论搞反了，把推理依据说成了“两直线平行，
同位角相等”．
答案：选 D．
（2）答案：选 D．
（3）答案：选 C.
（4）∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，
∴∠D＋∠EFD＝180°，
∴AD∥EF. (同旁内角互补，两直线平行)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
23
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，
∴EF∥BC.
∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
答案为：EF，AD，BC.
作业 2（发展性作业）
1. 作业内容
（1）如图 1，下列条件：①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，从中选出
两个作为已知条件，另一个作为结论组成命题，其中正确命题的个数为（ ）
E F
D
1
2
A B C
图1
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）如图 2，已知：四边形 ABCD 中，DC∥AB，∠1＋∠A＝90°，
求证：AD⊥DB．
D C
1
A B
图 2
（3）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于顶角的一
半．（注：等腰三角形的两个腰所对的角相等）
①在图 3 中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结
论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和“求证”．
A
B C
图 3
24
已知：在锐角△ ABC 中，AB=AC，______
求证：______
② 证明上述命题
2. 时间要求（10分钟）
3. 评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析和设计意图
作业第（1）题，主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的
题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．结合图形，根据平行线的判定方
法逐一进行判断；作业第（2）题，学生通过练习，掌握证明的基本步骤和书写
格式．作业第（3）题，考查了命题与证明，掌握命题的证明方法和基本步骤，
并结合题设和结论画出符合条件的图形是解题的关键，培养学生自主证明的能力．
5.参考答案：
（1）答案：选 D．
（2）答案：∵DC∥AB∴∠1＝∠ABD∵∠1＋∠A＝90°∴∠ABD＋∠A＝90°
∴∠ADB＝90°∴AD⊥DB
1
（3）①答案为：BD⊥AC 于点 D，∠DBC＝ ∠A．②证明：∵AB＝AC，
2
1
∴ ∠ABC＝∠C．∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴2∠C＝180°－∠A．即∠C＝
2
（180°－∠A）．∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠C＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C＝90°
1 1
－ （180°－∠A）＝ ∠A．
2 2
第七课时（13.2（4）三角形内角和定理及推论）
作业 1（基础性作业）
25
1.作业内容
（1）如图 1,在证明“△ ABC 内角和等于 180°”时,延长 BC 至点 D,过点 C 作
CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+
∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是( )
A
E
B C D
图 1
A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化
（2）在 Rt△ ABC 中,∠B 是直角,∠C=22°,那么∠A 的度数是( )
A.22° B.58° C.68° D.112°
（3）三角形有一个角的度数是36 角的余角,另一个角是144 角的补角,那
么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
（4）在△ ABC 中，∠A+∠B=∠C，则△ ABC 为__ ___三角形（按角分
类）．
2.时间要求（10分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
第（1）题三角形内角和定理的证明过程中通过添加辅助线，构造新图形，
将问题转化为易于证明的情况，渗透了转化的数学思想．数学课的教学不仅是知
识和方法的传授，更重要的是数学思想和思维的培养；第（2）题考查三角形内
角和定理的推论 1：直角三角形两锐角互余，属于理解层次，让学生对知识点进
26
一步认知；第（3）题考查互余、互补的概念以及三角形内角和定理推论 2：有两
个角互余的三角形是直角三角形；属于理解层次，培养学生认知能力和阅读分析
问题的能力．第（4）题考查的是三角形内角和定理及三角形的分类，熟知三角
形内角和是 180°是解答此题的关键，根据三角形内角和定理直接解答即可，培养
学生灵活运用定理的能力．
5.参考答案
（1）答案：选 D．
（2）∵在 Rt△ ABC 中,∠B 是直角∴ A 90 C 90 22 68 ．
答案：选 C.
（3）设一个角为∠1，另一个角为∠2． 1 90 -36 54
2 180 -144 36 1 2 54 36 90 该三角形是直角三角形.
答案：选 B.
（4）∵ A B C， A B C 180 ∴2 C 180 ， C 90 ．
答案为：直角
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图 1,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,求∠BAD 的度数 ．
A
1
2
B C D
图 1
（2）如图 2，在△ ABC 中， A 40 ，D 点是 ABC 和 ACB 角平分线的
交点，则 BDC ______ ．
A
A
E
5 D
D
1 2
B C 3 4
图 2 B C
图 3
（3）如图 3,BD,CE 是△ABC 的高,BD 和 CE 相交于点 O.
①图中哪些三角形是直角三角形
②图中有与∠2 相等的角吗 请说明理由．
③若∠4=55°,∠ACB=65°,求∠3,∠5 的度数．
2.时间要求（10分钟）
27
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
第（1）题主要综合考查三角形内角和定理的推论 1：直角三角形两锐角互
余，属于掌握层次，培养学生对图形的与角度的认识；第（2）题主要考查角平
分线性质，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．由 D
点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点可推出 DBC DCB 70 ，再利用三角
形内角和定理即可求出 BDC的度数，属于掌握层次，培养学生对固定图形的识
记和运用能力；第（3）题综合考查了三角形内角和定理及两条推论等几何知识，
涉及几何证明的书写应用层次，学生需要对每一步逻辑关系充分认识和理解，培
养学生综合运用的能力．
5.参考答案
（1）解:∵AC⊥BD,∠1=∠2,
∴∠1=45°,∠ACB=90°,
∵∠D=40°,
∴∠CAD=50°,
∴∠BAD=∠1+∠CAD=95°.
答案：95°.
（2）∵ D 点是 ABC 和 ACB 的角平分线的交点，
1 1
∴ CBD ABD ABC ； BCD ACD ACB ，
2 2
∴ ABC ACB 180 40 140 ，
∴ DBC DCB 70 ，
∴ BDC 180 70 110 ，
答案：110 ．
28
（4）①直角三角形有:△ BOE，△ BCE，△ ACE，△ BCD，△ COD，△ ABD．
② 与∠2 相等的角是∠1,理由如下:
∵BD,CE是△ ABC 的高，
∴ 1 A 90 ， 2 A 90 ，
∴ 1 2，
③∵ ACB 65 ,BD 是高，
∴ 3 90 - ACB 90 65 25 ，
在△ BOC 中, BOC 180 3 4 180 25 55 100 ．
第八课时（13.2（5）三角形外角）
作业 1（基础性作业）
1.作业内容
（1）如图 1，在△ABC 中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD 平分∠ABC，则
∠BDC 的度数是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
E
A
D C
D
B
B C A
图 1 图2
（2）如图 2，直线 AB∥CD，∠C＝40°，∠E＝30°，则∠A 的度数为( )
A．30° B．40° C．60° D．70°
（3）如图 3，∠A，∠DBC，∠DEC 的大小关系是( )
A．∠A>∠DBC>∠DEC B．∠DEC>∠A>∠DBC
C．∠DEC>∠DBC>∠A D．∠DBC>∠A>∠DEC
A
3
B
1
E 2
D C
图 3 图4
（4）如图 4，∠3＝120°，则∠1－∠2＝_ ___．
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
29
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，本题主要考查三角形外角等于与它不相邻的两内角和的推
论的使用，直接使用更简单，对于初学者可能利用三角形内角和来求解,培养学
生观察图形的能力．作业第（2）题，本题综合运用平行线性质和三角形外角性
质 1，培养学生综合分析问题能力和转化思想．作业第（3）题，本题加深对三角
形外角性质 2的理解，让学生更加形象的记忆三角形外角的定义，培养学生逻辑
推理能力．作业第（4）题，本题巩固三角形外角性质 1 的理解，培养学生得到
灵活运用方程和等量代换的的能力．
5.参考答案
（1）∠BDC＝∠A+∠ABD＝50°+35°＝85°
答案：选 A．
（2）两直线平行同位角相等，外角等于∠C+∠E 的度数．
答案：选 D．
（3）∠DEC 是△DBE 的外角，∠DBC 是△ABC 的外角，根据三角形外角大
于任意一个与它不相邻的内角，得到∠DEC>∠DBC>∠A．
答案：选 C．
（4）∠1 与∠2 的差为∠3 的邻补角，故∠1－∠2＝180°－120°＝60°．
答案：60°．
作业 2（发展性作业）
1.作业内容
（1）如图 1，直线 AB、CD 被 BC 所截，若 AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，
则∠3＝_ _．
30
A 1 B
E 3
2
C D
图 1
（2）如图 2，D 是 AB 上的一点，E 是 AC 上的一点，BE，CD 相交于点 F，
∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.求∠BDC 和∠BFC 的度数．
A
E
D
F
B C
图 2
（3）如图 3，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E ，求证：∠
A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．
A
B E
D
C 图3
2.时间要求（10 分钟）
3.评价设计
作业评价表
等级
评价指标 备注
A B C
A 等，答案正确、过程正确．
B 等，答案正确、过程有问题．
答题的准确性
C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过
程错误、或无过程．
31
A 等，过程规范，答案正确．
答题的规范性 B 等，过程不够规范、完整，答案正确．
C 等，过程不规范或无过程，答案错误．
A 等，解法有新意和独到之处，答案正确．
解法的创新性 B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误．
C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程．
AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC
综合评价等级
综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等．
4.作业分析与设计意图
作业第（1）题，本题利用平行线性质和三角形外角性质 1，也可添加辅助线
来处理此题，培养学生体会一题多解．作业第（2）题，利用整体的思想并运用
三角形内角和定理和外角性质 1 解决问题，培养学生整体的思想．作业第（3）
题，此题可以有多种方法解答，利用三角形内角和定理和三角形外角性质 1，或
者利用五边形内角和 540°或者外角和 360°都可以解答，培养学生整体的思想和
等量代换能力，增强图形识别和分析意识．
5.参考答案
（1）因为 AB∥CD，所以∠1＝∠C，等量代换∠3＝∠1+∠2＝80°．
答案：80°．
（2）∠BDC＝∠A +∠ACD ＝62°+ 35°＝97°，∠BFC＝180°－（∠FBC +∠
FCB）= 180°－180°+ ∠A +∠ABE +∠ACD = 117°．
答案：∠BDC＝97°，∠BFC＝117°．
（3）五角星的每个角所在三角形的另两个内角都可以看成是这些五角中每两
个角所在三角形的外角，所以 4（∠A +∠B +∠C +∠D +∠E）＝5×180°－（∠A
+∠B +∠C +∠D +∠E），（∠A +∠B +∠C +∠D +∠E）＝180°．
答案：180°．
六、 单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1.对于命题“如果 1 2 90 ，那么 1 2”，说明它是假命题的反例可以
是（ ）
A． 1 50 ， 2 40 B． 1 50 ， 2 50
C． 1 40 ， 2 40 D． 1 2 45
2.如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别与 AB、CD 相交，则有（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3＝180° B．∠1﹣∠2+∠3＝180°
C．∠3+∠2﹣∠1＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°
32
A
E
A 3 B D
E
1 O
C D
H 2
2
1 C
F 第 2 题图 B G 第 4 题图 F
3.已知一个等腰三角形两边长之比为 1:4，周长为 18，则这个等腰三角形底
边长为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．2 或 8
4.如图 2，将△ ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点O
处，则 1 2的度数为（ ）
A．180 B．135 C．120 D．90
5.已知△ ABC ，
1
（1）如图 1，若 P 点是 ABC和 ACB的平分线的交点，则 P 90 A；
2
（2）如图 2，若 P 点是 ABC和 ACE角平分线的交点，则 P 90 A；
1
（3）如图 3，若 P 点是 CBF 和 BCE角平分线的交点，则 P 90 A．
2
上述说法正确的个数是（ ）
A
A A
P
B C
P
E
F
B B 图 2 C E 图 1 C P 图 3
第 5 题图
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
二、填空题
6.数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则 等于 ．
33
45°
30°
第 6 题图
7.若 a，b，c 为三角形的三边长，且 a，b 满足 a 3 (b 7)2 0，那么 c
的取值范围是 ．
8.如果一个三角形的两个内角 α与 β满足 2α+β＝90°，那么我们称这样的三
角形为“准互余三角形“．若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则
∠B＝ ．
三、解答题
9. 三角形三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于 30，求这个三角
形的三边长．
10.如图所示，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=66°，
求∠DAC 的度数．
A
1
4
2 3
B D C
第 10 题图
11.如图等腰三角形 ABC 中， AB AC ，BD 为腰 AC 上的中线，且 BD 将这
个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
A
D
B C
第 11 题图
34
12.已知线段 AB 与CD相交于点O，连结 AD，BC．
（1）如图 1，试说明： A D B C ；
（2）请利用(1)的结论探索下列问题：
①如图 2，作 AP 平分 DAB，交DC 于点M ，交 BCD的平分线于点 P ，
PC 交 AB 于点 N ，若 B D 80 ，求 P的大小；
1 1
②如图3，若 B ， D ， P ， BAP BAD， BCP BCD ，
4 4
试探索， ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
D D D
A A M A
P M
O O O P
N
N
B C C 图 1 B
C B
图 2 图 3
第 12 题
图
（二）单元质量检测作业属性表
对应学
对应单元作 完成
序号 类型 难度 来源
业目标 时间
了解 理解 应用
1 选择题 2 √ 易 改编
2 选择题 3 √ 易 原创
3 选择题 1 √ 易 改编
4 选择题 1，3 √ 中 选编
5 选择题 1，2，3 √ 较难 原创
6 填空题 3 √ 易 选编 30
7 填空题 1，3 √ 中 改编 分钟
8 填空题 1，3 √ 较难 改编
9 解答题 1，3 √ 易 选编
10 解答题 1，2，3 √ 中 原创
11 解答题 1，2，3 √ 中 原创
12 解答题 1，2，3 √ 较难 改编
35
（三）参考答案
1. 答案：D．
2. 答案：C．
3. 答案：A．
4. 答案：A．
5. 答案：B．
6. 答案： 75
7. 答案：4＜c＜10．
8. 答案：35°或 50°．
x 2 x x 2 30
9. 答案:依题意设三角形的三边长为 x 2，x，x+2，∴ ，
x 2 x x 2
即 4＜x＜10，∵x 为奇数，∴x 取 9，7，5，当 x=9 时，三边长为 7，9，11，当
x=7 时，三边长为 5，7，9，当 x=5 时，三边长为 3，5，7．
10. 解：设∠DAC=x°，则∠2=∠1=66°- x°由题可知∠4 是△ABC 的外角，
所以∠4=∠2+∠1=2( 66°- x°)=132°-2x°，根据∠3+∠4+∠DAC=180°得：2( 132°-
2 x°)+ x°=180°解得：x=28 即∠DAC=28°．
11. 答案:腰长为 10，底边长为 1．
∵ AB AC ，BD 为腰 AC 上的中线，
∴ AD DC ，
依题意， AB AC BC 15 6 21．
① 当 AB BC时，则 AB AD 15, BC CD 6，
∴ AB AD BC CD AB BC ，
AB BC 9
∴ ，
2AB BC 21
AB 10
解得 ．
BC 1
② 当 AB BC时，则 AB AD 6, BC CD 15，
∴BC CD AB AD BC AB 15 6 9，
BC AB 9
∴ ，
2AB BC 21
AB 4
解得 ，
BC 13
AB AC 2AB 8而8 13不能构成三角形，故此情形不存在，
∴ AB 10, BC 1，即等腰三角形的腰长为 10，底边长为 1．
12.答案:（1）详见解析；（2）①40°；②4 3
（1）解：∵ A D AOD 180 ， B C BOC 180 ，
AOD BOC，∴ A D B C ；
36
（2）如图 1 所示：∵ AP 平分 DAB，CP平分 BCD，∴ 1 2， 3 4．
D D
A 1 M A
P 5 2
6 M
O
3 N N P
4 7 B 8 C B
图 1 图 2
由（1），得： 1 D 3 P①， 4 B 2 P ②，
①+②，得 1 4 B D 2 3 2 P，即2 P B D，
1 1
∴ P B D 80 40 ．
2 2
1 1
③ 如图 2 所示：设 6 x， 8 y∵ BAP BAD， BCP BCD ，
4 4
∴ 5 3x， 7 3y．由（1），得： 5 D 7 P， 6 P 8 B，
3x 3y ， x y ，∴3 x y ， x y ，
∴3 ，即 4 3 ．∴ ， ， 之间的数量关系是4 3 ．
37

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