资源简介

第2课时　直角三角形的两个锐角互余
教学目标
课题 11.2.1　第2课时　直角三角形的两个锐角互余 授课人
素养目标 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，感受从特殊到一般的思想. 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法，发展学生的推理能力.
教学重点 直角三角形的性质与判定．
教学难点 应用直角三角形的性质与判定进行计算或推理.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：结合实际，问题导入 设计意图 结合常见的直角三角板，并提出疑问为导入新课做铺垫. 【情境引入】 如图所示是我们常用的一副直角三角板，量一量自己手上的这两个三角板，它们两锐角的度数之和分别是多少？ 它们两锐角的度数之和都是90°. 对于任意直角三角形，这个结论还成立吗？让我们在本节课的学习中找寻答案吧！ 【教学建议】 直角三角板是具有特殊角度的直角三角形，又是常见的学习用具，据此进行抽象概括，学生能够更直观地了解，再进一步延伸到任意的直角三角形.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 探索直角三角形中两个锐角的关系，总结出直角三角形的性质并利用其解题. 探究点1　直角三角形的性质 现在我们来探究活动一中的问题： (1)测量角度：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数. (2)猜想结论：将测量的每个直角三角形两锐角的度数相加，发现：两锐角的度数之和为90°. (3)拼合验证：把直角三角形的两个锐角剪下，拼合在一起，再用量角器测量，均构成直角. (4)演绎推理：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°， 由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°， 即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°. (5)得到结论：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.注意“Rt△”后必须紧跟直角三角形的三个顶点字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 例1　(教材P14例3)如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC. 在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED. ∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE. 【对应训练】 教材P14练习第1题. 【教学建议】 结合三角形内角和定理的探索步骤，设计几个环节引导学生自主学习，交流合作．由于测量存在误差，两次测量得到的锐角之和可能在90°附近，故先进行拼合减小这种误差使测量结果尽可能接近90°，让学生有一个感性认识，再经过严密推理证明，这是一个完整的闭环．注意在掌握本性质之后，在直角三角形中求角度时可适当简化过程，不必通过三角形内角和定理.
教学步骤 师生活动
设计意图 引入直角三角形的判定方法，使学生经历“提出问题”——“猜想结论”——“推理验证”的过程，并辅以例题引导学生掌握. 探究点2直角三角形的判定 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由. 是直角三角形.理由如下： 如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 根据三角形内角和定理，可知∠A+∠B+∠C=180°， 于是得∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形. 得到结论：有两个角互余的三角形是直角三角形. 例2如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形，理由如下： ∵CE⊥AD，∴∠DEC=90°.∴∠C+∠D=90°. 又∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°. ∴△ABD是直角三角形. 归纳总结： 【对应训练】教材P14练习第2题. 【教学建议】 学生独立思考，动手画图，强化学生理解，使学生感知性质与判定的互逆关系，这里只需要有一个感性认识即可. 另外要注意跟学生强调证明的严密性，如在没有证明三角形是直角三角形之前,不能给三角形标注直角符号.
活动三：综合练习，巩固提升 设计意图 将直角三角形的性质与判定综合出题，强化锻炼学生的解题能力. 例 如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP平分∠AEF，FP平分∠EFC. (1)求证：△EPF是直角三角形；(2)若∠PEF＝30°，求∠PFC的度数. (1)证明：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠EFC＝180°. 又EP平分∠AEF，FP平分∠EFC， ∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠AEF＋∠EFC)＝12×180°＝90°. ∴△EPF是直角三角形. (2)解：∵△EPF是直角三角形，∠EPF＝90°，∠PEF＝30°， ∴∠PFE＝90°-30°＝60°.又FP平分∠EFC，∴∠PFC＝∠PFE=60°. 【对应训练】 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=62°，AE平分∠BAC交BC于点E，AD⊥BC于点D，∠ADF=74°. （1）求∠DAE的度数；（2）求证：△ADF是直角三角形. （1）解：由三角形内角和定理， 得∠BAC=180°-∠B-∠C=88°. 【教学建议】 学生交流作答，教师根据学生做题情况予以指导、订正.此类题综合性较强，在解题时常需把条件集中于某个三角形.某些特定情形还可能需要利用转化思想转化等角，方法常通过对顶角相等，利用平行线得到内错角相等或同位角相等，等（同）角的余（补）角相等来实现.
教学步骤 师生活动
∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=44°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=28°. ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=44°-28°=16°. （2）证明：由（1）知∠DAE=16°，又∠ADF=74°， ∴∠DAE+∠ADF=90°，∴△ADF是直角三角形.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能利用三角形内角和定理证明直角三角形的两个锐角互余吗？你能利用这个性质进行直角三角形中的相关计算吗？ 2.有两个角互余的三角形是直角三角形吗？你能给出证明吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P16～17习题11.2第4，10题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　直角三角形的两个锐角互余 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
教学反思 　 本节课的学习是建立在三角形内角和定理基础之上的，所以仿照三角形内角和定理的探索过程导入新课，学习直角三角形的性质和判定，起点较低，顺畅自然，适合绝大多数学生．在学习直角三角形的性质时，也可考虑采用几何画板演示作图，这样更形象直观．例题与练习都强化了重点知识的学习，突出了数学学习的本质特征.
解题大招一　利用直角三角形的性质求角度的方法
遇到在三角形中求角的度数相关问题时，若条件中存在垂直关系或直角，首先想到利用“直角三角形的两个锐角互余”解题．某些特定情况下需要作辅助线构建直角三角形，一般采用作垂线的方法，也可能涉及三角形的三条高所在直线相交于一点从而得到垂直条件．
例1　(1)把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与BC边重合，则∠A的度数（ B ）
A．30° B．40° C．50° D．75°
(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ C ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
例2　如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点H，则∠CHD＝45°.
分析：
解题大招二　直角三角形的判定的应用
例3　下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ C ）
A．∠A＝90°－∠C B．∠A＝∠B－∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
解析：
培优点　直角三角形的性质的应用
例　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F.
(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2)∠AEF与∠AFE有什么数量关系？说明理由．
分析：(1)根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的定义求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
(2)根据角平分线的定义、直角三角形的性质说明结论．
解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°－∠ABE＝72°.
(2)∠AEF＝∠AFE.理由如下：
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠ABE＋∠AEF＝90°，∠CBE＋∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD. 又∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE.

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