资源简介

11.3　多边形及其内角和
11．3.1　多边形
教学目标
课题 11.3.1　多边形 授课人
素养目标 了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线，丰富学生对于几何图形的感性认识，发展学生的几何直观感知和空间观念．
教学重点 多边形及其相关概念．
教学难点 正确理解正多边形，计算多边形的对角线条数.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 从生活中的图片入手，使学生对多边形有一个感性认识，方便引入新课. 【情境引入】 观察下图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？它们有什么特征？ 有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形．特征有：(1)在同一平面内；(2)由一些线段首尾顺次相接组成. 这些图形都是多边形．那什么样的图形是多边形呢？多边形又有什么特点呢？请在接下来的学习中找寻答案吧！ 【教学建议】 教师要充分利用多媒体列举多边形实例，使学生体会生活中处处有数学，激发学生强烈的好奇心和求知欲．重点在于通过举例使学生感受将实际问题转化为数学问题的建模过程.
活动二：合作交流，新知探究 设计意图 通过类比引入多边形及其相关概念，培养学生的观察与总结能力. 探究点　多边形及其相关概念 我们学过三角形．请回顾下三角形的概念. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 仿照三角形的概念，我们对多边形的概念阐述如下：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．如图，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形. 多边形的表示方法：表示多边形时，先写出多边形的名称，再按照顺时针或逆时针的顺序依次写出各顶点的字母. 多边形的相关概念： 1.多边形的顶点、边、内角、外角： 【教学建议】 本节课教学以概念为主，为达到较好效果，多边形的边、内角、外角等都可同三角形类比，引导学生自行归纳总结，学生会记忆更深刻．讲述多边形的概念时，应注意三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说三角形肯定是平面图形，但边数大于3的多边形就不是这样，它的几个顶点有不共面的情况，所以定义中的“在同一平面内”不能遗漏.
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注意：与三角形类似，多边形每个顶点处有两个外角，并且同一顶点处的外角与内角互为邻补角．研究多边形的外角时，通常在一个顶点处只取一个外角. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．图①中，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线. 问题　五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线. 五边形ABCDE有5条对角线，如图②. 3.凸多边形：如图①，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图②中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形. 4.正多边形：我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．下图是正多边形的一些例子. 注意：要判断一个多边形是不是正多边形，各个角相等，各条边相等必须同时具备，缺一不可．另外，由于正多边形的各内角相等，所以它的各外角也相等. 【对应训练】 1.教材P21练习第1题. 2.下列说法正确的是（ B ） A.一个多边形外角的个数与边数相同 B.一个多边形外角的个数是边数的2倍 C.每个角都相等的多边形是正多边形 D.每条边都相等的多边形是正多边形 【教学建议】 讲述多边形的对角线时，它的重要意义在于可通过它把多边形分为几个三角形，从而把多边形的问题转化为三角形的问题来解决，其中设置的问题是让学生体会对角线的作用. 【教学建议】 讲述凸多边形时，顾名思义多边形分凸、凹两类，学生能根据定义辨认凸多边形即可，不必与学生讲述凹多边形．延长任意一边都会得到相同的结论，可让学生延长其他的边来验证. 【教学建议】 讲述正多边形时，各角相等与各边相等是两个相互独立的条件，只有在三角形中得一即可推断，其他边数大于3的多边形则必须同时满足这两个条件，这在后面的学习中将会了解到．正多边形的概念既是其性质，也是其判定方法，可让学生举一些正多边形的实例，加深对概念的理解.
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活动三：综合练习，巩固提升 设计意图 巩固学生对多边形相关概念的理解，找寻多边形的分割规律. 例　如图，将多边形分割成三角形，图①中可分割出2个三角形；图②中可分割出3个三角形……按此种方法，八边形可以分割出多少个三角形？ 解：此题注意观察，是从n边形的边上一点出发连接其他顶点．根据具体数值进行分析找规律，发现八边形可以分割出7个三角形. 【对应训练】 教材P21练习第2题． 【教学建议】 此题考察多边形的分割，学生互相交流探讨，可按题中操作思路继续画图，通过类比不难找到规律．这里能求出相应数值即可，相关规律将在下一课时详细探究.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是多边形？多边形的顶点、边、内角、外角、对角线都了解了吗？ 2.什么是凸多边形？什么是正多边形？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P24习题11.3第1题. 2.相应课时训练．
板书设计 11.3　多边形及其内角和 11.3.1　多边形 1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形. 2.多边形的相关概念：顶点、边、内角、外角、对角线. 3.凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 4.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形．
教学反思 　本节课是在学习了三角形的基础上进一步认识新的几何图形——多边形，为后面学习多边形的内角和与外角和做好理论准备．本节课属于概念课，计算量不大，主要以记忆为主，课堂中以三角形的研究为基础，通过类比得到多边形的有关概念，体现了类比思想．由于初中阶段的几何图形的研究限于平面图形，教学时注意强调“在同一平面内”这个条件
解题大招一　判断一个多边形是不是凸多边形的方法
判断一个多边形是不是凸多边形时，可按照定义来判断，如果有某一边所在直线把多边形截成了两部分(即没在直线同一侧)，那就不是凸多边形．有时候也可以直接通过观察进行判断，如凹多边形会在形状上出现类似“V”的“凹角”，遇到这种情况可直接下结论．
如图，下列图形不是凸多边形的是（ C ）
解析：选项A，B，D中，画出对应多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以这几个多边形都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．故选C.
解题大招二　多边形的截角问题
多边形(边数大于3)截去一个角有三种截法：
(1)过不相邻的两顶点截，则新多边形的边数比原多边形的边数少1，如图①；
(2)过一顶点和另一边上的一点(非顶点)截，则新多边形的边数与原多边形的边数相同，如图②；
(3)过相邻两边上的两个非顶点截，则新多边形的边数比原多边形的边数多1，如图③.
例2　若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为C
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
解析：若多边形是五边形，截去一个角时，可能变成四边形；若多边形是四边形，截去一个角时，可能变成四边形；若多边形是三角形，截去一个角时，可能变成四边形，所以原来的多边形的边数可能为3或4或5.故选C.
培优点　多边形对角线条数的规律探究题
例　(教材P21练习T2变式及拓展设问)探究规律，并回答问题：
(1)从四边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？四边形共有几条对角线？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？五边形共有几条对角线？从六边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？六边形共有几条对角线？请找寻规律，在下表中写出答案(写出答案即可，不必写出画图探究过程).
(2)从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？n边形共有几条对角线？请在上表中写出答案，并说明理由．
(3)请用你所发现的规律回答：十一边形共有多少条对角线？
分析：依题意画出四边形、五边形、六边形及它们的对角线如下：
观察可发现从多边形一个顶点出发的对角线条数与边数之间存在一定关系，边数越多，对角线条数就越多，且总比边数少3，于是可得结果．在计算对角线总条数时，要考虑到每个顶点，且注意相应线段存在重复情况，于是可列式得到结果．
解：(1)如表所示.
(2)如上表所示．理由：根据规律易知从n边形的一个顶点出发，画出的对角线条数为n－3.因为n边形有n个顶点，所以能画出n(n－3)条线段．又一条线段对应两个端点，所以这些线段各自重复了一次，所以实际对角线的数量应是这些线段数量的一半，所以n边形共有条对角线．
(3)因为＝44，所以十一边形共有44条对角线．

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