资源简介

第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
教学目标
课题 11.1.1三角形的边 授课人
素养目标 1.结合具体的实例，理解三角形的概念及其边、角、顶点等基本要素，会用符号、字母表示三角形，进一步强化数学符号意识. 2.能按边的相等关系对三角形进行分类,体会分类的数学思想. 3.理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边的和大于第三边；会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形，及已知三角形的两边求第三边的取值范围,初步体会几何直观和推理的逻辑严密性.
教学重点 理解三角形的相关概念和三角形的三边关系
教学难点 理解三角形的三边关系
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 通过让学生找图片中的三角形，使学生感知实际生活中的三角形，并形成一个概念意识 【情境引入】 小学时，我们接触过三角形，观察下列图片,你能找出其中的三角形吗？ 教师进一步提出两个问题： 问题1：什么样的图形叫做三角形呢？与同伴交流你找到的三角形. 问题2：你能指出三角形的基本要素——边、角、顶点吗？ 带着这两个问题，我们一起走进本课时的学习. 【教学建议】 教师出示这些图片后，让学生回答.教师梳理学生回答的各种结果，总结其中的共性，然后引导学生思考给出的两个问题，为下一活动做准备.
活动二：合作交流，新知探究 设计意图 通过结合实物图片直接给出三角形的概念，再重点分析概念中的关键要点以达到真正理解概念的目的. 探究点1三角形的概念及其基本要素 问题1 结合上一活动中提出的两个问题，请同学们试着说一说三角形的概念. 概念引入：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 问题2 你认为理解上面的概念要把握哪些要点？ 需要把握三个要点：1.三个顶点不在同一条直线上；2.三条线段；3.首尾顺次相接. 问题3　下面由线段AB，CD，EF组成的图形符不符合三角形的概念？如不符合，下面这两个图形有什么问题？ 不符合三角形的概念，这两个图形中所给相应线段没有首尾顺次相接 【教学建议】 教师可先让学生回答，然后再进行总结．理解这个概念的关键是“首尾顺次相接”，问题2是为了让学生把握三角形概念的关键，教师应让学生自主作答．问题3是为了引导说明“首尾顺次相接”这几个字在三角形概念中的必要性.
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设计意图 问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素. 问题4　结合小学时学过的三角形，你能试着填写下面有关三角形基本要素的表格吗？ 三角形的表示方法：顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”． 三角形顶点所对的边：上图中顶点A所对的边可以说成∠A所对的边，还可以说成∠A的对边．∠B，∠C呢？(此处可由学生口答) 【对应训练】 (教材P4练习T1改编)如图，先观察，再回答下列问题： (1)图中有几个三角形？以∠A为内角的三角形有哪些？ (2)说出△BCE的三个内角，以及三个顶点所对的边． 解：(1)图中有5个三角形，分别是△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE.以∠A为内角的三角形有△ABE，△ABC. (2)△BCE的三个内角是∠BCE，∠BEC，∠CBE.顶点B所对的边为CE，顶点C所对的边为BE，顶点E所对的边为BC. 【教学建议】 三角形的边、顶点、内角等，学生在小学阶段已接触过，也容易理解，这里只是结合图形理解它们的意义就行，不要求学生死记硬背教材上的概念．这里需要提醒学生三角形ABC还可以记作△ACB，△BCA等，字母顺序可以自由排列． 【教学建议】 这道题将几个三角形叠在一起，教学时需关注学生是否能正确区分共边共角的三角形，必要时可以进行图形拆分．
设计意图 以问题的形式引导学生对三角形按边进行分类．通过独立思考和合作探究来构建三角形分类的框架结构，形成对三角形不同类别特征的理性思考和初步感知． 探究点2　三角形的分类 问题1　说一说什么叫等腰三角形、等边三角形？结合下图说一说他们的特点？第三个图是一个不符合等腰三角形、等边三角形的三角形，我们叫它什么？ 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，第三个图形我们叫做三边都不相等的三角形． 问题2　(教材P2思考)我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，结合问题1，想一想如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流． 问题3　等腰三角形和等边三角形是什么关系？是不是独立的两类？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形与等边三角形不是独立的两类． 归纳总结： 【对应训练】 下列说法正确的是（ D ） 【教学建议】 这个探究点首先要注意结合图形让学生尽可能地说清楚等腰三角形、等边三角形的一些特点(边的关系、角的关系)，这便于进行分类．其次要注意下学生可能按边把三角形分为三边都不相等的三角形，等腰三角形，等边三角形，把等腰三角形与等边三角形看成独立的两类．而实际上，通过问题1中的图示我们可以看到，等腰三角形是有两条边相等的三角形，它既包括腰和底边不相等的等腰三角形，又包括
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①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①②③　　　　B．②③　　　　C．①③　　　　D．③ 腰和底边相等的等腰三角形(等边三角形)．
设计意图 设计情境问题，让学生自发观察和讨论，利用“两点之间，线段最短”解决简单问题.对于学生的回答，只要合理都要予以肯定和鼓励.问题设置由浅入深，增强学生自信，从解题中获得满足感，激发学生学习的内驱力 探究点3三角形的三边关系 【问题探究】（P3探究）任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 同理有AB+AC>BC.① AC+BC>AB,② AB+BC>AC.③ 一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边. 由不等式②③移项可得BC>AB-AC，BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边. 【对应训练】 教材P4练习第2题 【教学建议】 “三角形两边的和大于第三边”由“两点之间，线段最短”得到．这里给出了一个小狗吃香肠的情境，此时应适当引导学生回忆七年级上册第四章中学过的这个基本事实，接着引导学生进行相应的证明．“三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形，要让学生会运用这个结论解决这样的问题．一定要检查是否任意两条线段的和都大于第三条线段.
活动三：知识升华，巩固提升 设计意图 巩固刚刚学习的三角形三边的关系的同时，让学生运用所学知识，学会规范答题，感悟几何计算的严谨性，明白学习本节知识点的意义. 例　(教材P3例题)用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. 如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm. x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. (2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. 如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4＋2x＝18.解得x＝7. 如果4 cm长的边为腰，设底边长为x cm，则2×4＋x＝18.解得x＝10. 因为4＋4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. 【对应训练】 阅读两名同学对下题的解答过程. 一个等腰三角形的周长为28 cm，其中一边长为8 cm，则这个三角形另外 两边的长分别是多少？ 李明说应这样解：设腰长为x cm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三 角形另外两边的长均为10 cm. 张钢说应这样解：设底边长为x cm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8 cm，12 cm. 试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据； 若不正确，请你写出正确的解答过程． 解：他们的解答过程都不正确．正确的解答过程如下： 根据题意可知有两种情况： ①当腰长为8 cm，周长为28 cm时，底边长为28－8－8＝12(cm). ∵8 cm，8 cm，12 cm能够组成三角形，∴另外两边的长分别为8 cm和12 cm. ②当底边长为8 cm，周长为28 cm时，腰长为28－82＝10(cm). ∵10 cm，10 cm，8 cm能够组成三角形，∴另外两边的长均为10 cm. 综上可知，另外两边的长分别为8 cm，12 cm或均为10 cm. 【教学建议】 本例是为巩固“三角形两边的和大于第三边”而设，可根据条件列方程求解，注意提醒学生用“三角形两边的和大于第三边”判断所得的结果是否合理．在第(2)小题中要引导学生认真审题，“有一边的长”并没有指明这一边是底还是腰，所以要分情况讨论．对应训练稍微变换了下，也是同样要注意分类讨论.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是三角形？你能说一说三角形中的一些基本要素吗？ 2.三角形按边怎么分类？ 3.三角形的三边关系是怎样的？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P8习题11.1第1，2，6，7题. 2.相应课时训练．
板书设计 11.1.1　三角形的边 1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形. 2.三角形按角分类或按边分类. 3.三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．
教学反思 　 本节课通过图片的展示、设问探究等活动的开展，有效地激发了学生学习的积极性，使学生理解并掌握所学的知识，取得了较好的教学效果．但从课堂教学的情况来看，由于初次接触线段的不等关系，部分学生对线段不等关系问题的解决感到困难，不知道如何去思考和解决问题，在今后教学中需要进一步加强巩固和训练.
解题大招一　确定三角形个数的方法(以例1为例)
例1　如图所示．
(1)图中共有多少个三角形？请把它们写出来．
(2)线段AE是哪些三角形的边？
(3)∠B是哪些三角形的角？
解：(1)图中共有6个三角形，它们分别是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC.
(2)线段AE是△ABE，△ADE和△AEC的边．
(3)∠B是△ABD，△ABE，△ABC的角．
解题大招二　判断三角形形状的方法
(1)确定其分类标准，是按角分类还是按边分类．(2)若已知的是角，看这个三角形的最大角是哪一类角，则这个三角形就是哪一类三角形；若已知的是边，看是否有等边，若有等边则这个三角形就是等腰三角形．
例2　根据下列所给条件，判断△ABC的形状．
(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.
解：(1)因为∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，所以∠A＜∠B＜∠C＜90°，所以△ABC是锐角三角形．
(2)因为∠C＝120°＞90°，所以△ABC是钝角三角形．
(3)因为∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形．
(4)因为AB＝BC＝4，AC＝5，所以△ABC是等腰三角形．
解题大招三　快速判断三条线段能否构成三角形的技巧
判断三角形的三边关系时，只要满足三条线段中较短的两条线段的和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能构成三角形．
例3　下列长度的四组线段能组成三角形的是（ D ）
A．1 cm，2 cm，3.5 cm　　B．4 cm，5 cm，9 cm　　C．5 cm，8 cm，15 cm　　D．6 cm，8 cm，9 cm
解析：∵1 cm＋2 cm＝3(cm)＜3.5 cm，∴不能组成三角形．
∵4 cm＋5 cm＝9 cm，∴不能组成三角形．
∵5 cm＋8 cm＝13(cm)＜15 cm，∴不能组成三角形．
∵6 cm＋8 cm＝14(cm)＞9 cm，∴能组成三角形．故选D.
培优点一　判断三角形的形状及利用三角形的三边关系进行化简
例1　已知a，b，c是△ABC的三边长．
(1)若a，b，c满足＋＝0，试判断△ABC的形状；
(2)化简：＋＋.
分析：(1)根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；(2)利用三角形的三边关系得到a－b－c<0，b－c－a<0，c－a－b<0，然后去绝对值符号后化简即可．
解：(1)∵＋＝0，∴a－b＝0且b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
(2)∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a－b－c<0，b－c－a<0，c－a－b<0，
∴原式＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c＝a＋b＋c.
培优点二　利用三角形的三边关系解决线段间的不等关系问题
例2　(教材P29复习题T9变式题)已知点P是△ABC内任意一点．
(1)如图①，求证：AB＋AC＞PB＋PC；
(2)如图②，连接PA，试比较(AB＋AC＋BC)与PA＋PB＋PC的大小．
分析：
(1)证明：如图①，延长BP交AC于点D.
根据三角形两边的和大于第三边得AB＋AD＞BD，CD＋DP＞PC，∴AB＋AD＋CD＋DP＞BD＋PC.
∴AB＋AC＋DP＞PB＋DP＋PC.∴AB＋AC＞PB＋PC.
(2)解：根据三角形两边的和大于第三边得PA＋PB＞AB，PB＋PC＞BC，PC＋PA＞AC，
∴2(PA＋PB＋PC)＞AB＋AC＋BC.∴PA＋PB＋PC＞(AB＋AC＋BC)．

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