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第十二章　全等三角形
12．1　全等三角形
教学目标
课题 12.1　全等三角形 授课人
素养目标 1.了解全等形的概念，会识别全等形. 2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，了解全等三角形的性质，从中感受图形变换，培养学生的观察、识图能力，发展学生的几何直观感知能力与空间观念.
教学重点 全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形中的对应边、对应角．
教学难点 理解全等三角形边、角之间的对应关系，利用全等三角形的性质进行推理计算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：图片呈现，新课导入 设计意图 通过丰富的图形激发学生兴趣，使学生初步感受全等形. 【情境引入】 下图所示的例子中都有形状、大小相同的图形，你能再举出一些类似的例子吗？ 答：如图所示. 【教学建议】 教师通过多媒体教具展现图片，也让学生自己展示出想到的例子，使学生感受全等形在生活中是无处不在的，并初步体会它们的特点，为进一步探索做准备.
活动二：动手操作，探究新知 设计意图 通过操作、观察引入全等形及全等三角形的概念，引导学生识图判定全等形. 探究点1　全等形及全等三角形的概念 探究 把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？ 答：通过观察可知，裁得的纸板和三角尺形状、大小完全一样；把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合；从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合. 概念引入：可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等形. 注意：(1)全等形的形状、大小完全相同；全等形的周长、面积分别相等. (2)平移、翻折、旋转前后的图形是全等形. 【教学建议】 “全等”是图形之间一种特殊的关系．在经历活动一的初步感受之后，引导学生操作、观察，得出这种图形的特征：放在一起能够完全重合，由此引出全等形及全等三角形的概念．全等三角形是全等形中的一种，具备所有全等形的特征．判定全等形必须同时满足形状与大小相同，而与图形如何摆放无关.
教学步骤 师生活动
设计意图 通过操作平移、翻折、旋转发现图形形状、大小不变，建立与全等的联系，通过练习引导学生学会识别全等三角形中的对应元素. 概念引入： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【对应训练】 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ A ） 探究点2　全等三角形的表示方法及相关概念 思考 在图①中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF. 在图②中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC. 在图③中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE. 各图中的两个三角形全等吗？ 答：各图中的两个三角形是全等的. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 概念引入： 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 注意：(1)对应边、对应角与对边、对角的区别： 【教学建议】 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．这就初步帮助学生建立起了平移、翻折、旋转三种图形的变化与全等形的关系．这个结论是运用全等形的概念得出的，能起到巩固新概念的作用．另一方面，掌握这个结论，对学生在某些情况下确定全等三角形的对应元素有帮助．教师也可通过多媒体教具动态演示过程，让学生直观体会，从而加深理解.
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　(2)全等三角形两种表示方法的区别： 对应关系确定，即两个三角形的顶点、边、角的对应情况是唯一的；对应关系不确定，即两个三角形的顶点、边、角的对应情况不唯一，用“≌”表示则有△ABC≌△DEF，也可能有△ABC≌△DFE等多种情况. 【对应训练】 请用几何语言表示出本探究点“思考”的图③中的两个全等三角形，并写出它们的对应顶点、对应边和对应角. 答：△ABC和△ADE全等，记作△ABC≌△ADE. 对应顶点：点A和点A，点B和点D，点C和点E； 对应边：AB和AD，BC和DE，AC和AE； 对应角：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E. 【教学建议】 在教学全等三角形的对应元素时，结合具体图形使学生理解“对应”的意义就可以了，不需过多解释．因为以后还会遇到“对应”这个词，在后面的运用中，学生会逐步加深理解．因为全等三角形的对应边、对应角是后面判定三角形全等、应用三角形全等证明线段相等或角相等时常用到的概念，所以本节课要求学生能在全等三角形中正确地找出对应边、对应角．关于对应边、对应角的找寻方法，将在本节课后面的解题大招里进行整合讲述，此处需要学生重点关注并掌握.
设计意图 引导学生发现全等三角形的性质，并通过练习使学生学会运用这个性质解题. 探究点3　全等三角形的性质 思考 探究点2的图①中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 答：因为对应边是重合的边，对应角是重合的角，所以AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，即△ABC与△DEF的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的性质： 拓展：(1)①全等三角形的周长相等，面积相等；②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应的角平分线相等. (2)全等的传递性：如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等. 【教学建议】 教材是用“完全重合”来定义全等三角形的，于是由这个定义可以推出全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，可引导学生自行归纳出这个性质．这个性质具有很强的应用价值，在后面的学习中往往会需要用其转化等边或等角．在这里可跟学生先行强调以引起重视，以练习为主通过大量应用达到更好的学习效果.
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例　如图，△ABC≌△ADC，请写出这两个三角形中相等的边和角. 解：相等的边为AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC； 相等的角为∠BAC＝∠DAC， ∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD. 【对应训练】 教材P32练习第2题．
活动三：融会新知，巩固提升 设计意图 综合考查全等三角形中对应元素的识别及性质的运用，提升学生解题能力. 例　(教材P33习题T4变式题)如图所示的两个三角形是全等三角形，其中点A和点D、点B和点E是对应点. (1)用符号表示两个三角形全等，并写出图中相等的线段和角； (2)写出图中一组平行的线段，并说明理由. 解：(1)△ABC≌△DEF，相等的线段：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC，相等的角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA. (2)(答案不唯一)AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D.∴AB∥DE. 【对应训练】 如图，△ABD≌△ACE，写出对应边和对应角，并说明∠1＝∠2. 解：∵△ABD≌△ACE， ∴AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE， ∠A＝∠A，∠B＝∠C，∠ADB＝∠AEC. ∵∠ADB＝∠AEC， ∴180°－∠ADB＝180°－∠AEC，即∠1＝∠2. 【教学建议】 运用全等三角形的性质时，要结合图形或根据三角形全等的记法中字母的对应位置准确地找到对应边或对应角．全等三角形的性质常用来计算边长(或角度)，证明线段(或角)相等，有时也会利用角之间的关系证明两直线平行或垂直．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是全等形？平移、翻折、旋转前后的图形全等吗？ 2.什么是全等三角形？全等三角形中有哪些对应元素？ 3.全等三角形的性质是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P33～34习题12.1第1，2，3，4，5，6题. 2.相应课时训练．
板书设计 12.1　全等三角形 1.能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.平移、翻折、旋转前后的图形全等. 3.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
教学反思 　 首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念，学会识图辨认全等三角形中的对应元素，最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理，通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决计算或证明问题.
解题大招一　识别全等三角形中对应边、对应角的方法
位置关系法,
公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边
②对应角所对的边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边
③对应边所对的角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角
例1　如图，已知△ABC≌△DCB，分别写出对应角和对应边．
解：对应角是∠A和∠D，∠2和∠1，∠ABC和∠DCB；对应边是AB和DC，AC和DB，BC和CB.
易错提示：注意公共顶点不一定是对应顶点，如本题中的点B是两个三角形的
公共顶点，但它的对应顶点是C.
解题大招二　全等三角形的性质的题组训练
在利用全等三角形的性质做题时，有时会遇到纯文字类型的题目，当用“≌”连接两个三角形时，对应情况是唯一的，此时一定要找准对应边或对应角，避免出错；当用“全等”形容两个三角形时，对应情况不唯一，此时要紧密结合题目中的其他限制条件解题，某些特定情况下还可能涉及分类讨论(本章后面的学时中会遇到，这里暂不深入探讨)．
例2　下列说法中，不正确的是（ C ）
A．两个全等形的对应边相等，对应角相等 B．两个全等三角形的周长一定相等
C．两个全等形一定关于某条直线翻折后重合 D．两个全等三角形的面积一定相等
例3　已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ D ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
例4　如图，已知△EFG≌△NMH，则下列说法中错误的是（ A ）
A．EG＝HG B．EG∥HM C．∠FEG＝∠MNH D．EF＝NM
解析：A.∵△EFG≌△NMH，∴EG＝NH，∴EG≠HG，说法错误；B.∵△EFG≌△NMH，∴∠EGF＝∠NHM，∴EG∥HM，说法正确；C.∵△EFG≌△NMH，∴∠FEG＝∠MNH，说法正确；D.∵△EFG≌△NMH，∴EF＝NM，说法正确．故选A.
例5　如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，AC＝9，则BD的长为( D )
A．3 B．9 C．12 D．15
例6　已知△ABC≌△DEF，AB＝5，BC＝7，△DEF的周长为18，则DF的长为6.
例7　一个三角形的三条边长分别为6，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则x＋y＝11.
解题大招三　利用全等三角形的性质计算线段长或角度
(1)利用全等三角形的性质求线段长的方法：先利用全等三角形的对应边相等，将已知条件转化，再通过线段的和(差)或中线的定义等求出所要求的线段的长度；
(2)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：先利用全等三角形的对应角相等，将已知条件转化，再通过三角形内角和定理或外角的性质求出所要求的角的度数．
例8　如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AC＝7，CF＝11，则CD等于（ C ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
解析：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，即CD＋AD＝AF＋AD，∴CD＝AF.
∵CF＝11，AC＝7，∴AF＝CF－AC＝11－7＝4，∴CD＝4.故选C.
例9　[转化思想]如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°.则∠DGB的度数是65°.
解析：
例10　如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P.
(1)若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数．
(2)若AD＝CD＝2.5，BC＝4，求△CDP与△BEP的周长和．
解：(1)∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD＋∠CBE＝162°－30°＝132°.
∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC－∠CBD＝∠DBE－∠CBD，即∠ABD＝∠CBE.
∴∠CBE＝132°÷2＝66°.
(2)∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AC＝AD＋CD＝2.5＋2.5＝5，BE＝BC＝4，
∴△CDP与△BEP的周长和＝CD＋PD＋PC＋PB＋PE＋BE＝CD＋DE＋BC＋BE＝2.5＋5＋4＋4＝15.5.
培优点　利用全等三角形的性质判断线段间的位置关系
利用全等三角形的性质证明垂直关系的方法：
(1)证明两直线垂直可转化为证明它们的夹角为90°或相关三角形的两锐角互余．
(2)证明两直线垂直，常常运用全等三角形的性质得到一组等角，再通过三角形外角的性质或平角的定义等得到90°的夹角．
例　如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm.
(1)求DE的长；
(2)判断直线AC与直线BD的位置关系，并说明理由；
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．
分析：(1)根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝3 cm，BE＝AB＝2 cm，计算即可；
(2)根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；
(3)根据全等三角形的对应角相等和直角三角形的性质与判定进行解答．
解：(1)∵△ABD≌△EBC，∴BD＝BC＝3 cm，BE＝AB＝2 cm，∴DE＝BD－BE＝3－2＝1(cm)．
(2)AC⊥BD，理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC.
又点A，B，C在一条直线上，点E在BD上，∴∠ABD＋∠EBC＝180°，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴AC⊥BD.
(3)AD⊥CE，理由：如图，延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC，∴∠D＝∠C.在Rt△ABD中，∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°，∴△ACF是直角三角形，∠AFC＝90°，∴AD⊥CE.

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