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第2课时　角的平分线的判定
教学目标
课题 12.3 第2课时 角的平分线的判定 授课人
素养目标 探索并证明角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.
教学重点 探索并证明角平分线的判定定理及其运用
教学难点 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课引入 设计意图 结合实际情境提出问题，为引入角平分线的判定定理做铺垫. 【情境引入】 思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、 铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？ 聪明的你是否已经猜想到，集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上呢？这是为什么呢？让我们赶快进入新课，你的疑问就能迎刃而解了. 【教学建议】 学习了角的平分线的性质之后，学生可能会猜想到答案，无形中将要学的判定定理与性质定理建立了联系，对进入新课的学习起到了推动作用.
活动二：合作交流，新知探究 设计意图 使学生经历探索证明角的平分线的判定定理的过程，感受知识的产生可以来自于数学本身.学会区别角的判定定理与性质定理，并运用判定定理解决问题. 探究点1角的平分线的判定 问题1：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 答：新结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 问题2：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论. 答：这个结论成立.证明过程如下： 如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：如图，经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP,PD=PE. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上. 概念引入： 【教学建议】 衔接活动一的思路继续引导，通过逆向思维将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，并引导学生利用三角形全等证明这个结论，这就得到了角的平分线的判定定理.这个过程中结合了推理证明，可使学生进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.角平分线的实质是符合某种条件的动点的集合，因此利用教具、投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能直观显示其形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，发挥学习的主动性.角的平分线的性质定理和判定定理是互逆定理，教学中不必对学生
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拓展：(1)几何画板动态演示角平分线的判定定理： (2)角的平分线的性质及判定的关系： 特别提醒：角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆. 问题3：根据上述结论，请找到活动一中集贸市场的具体位置. 答：集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上， 且在图上距离公路和铁路交点处500÷200＝2.5个单位长 度的位置，如图中点P所示. 【对应训练】 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD，求证：AD是∠BAC的平分线. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90° ∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE. 又DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线. 提出这些概念，学生只需认识到这两个定理的条件和结论是相反的，体会互逆的特点并能够加以区别即可. 【教学建议】 学过角的平分线的判定定理后，自然对于活动一的问题进行了解释，这里要注意比例尺的换算不要出错．教师可引导学生交流探讨，完成后续设置的练习，有利于进一步加强学生对于新知的理解和应用.
设计意图 使学生经历探究三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等的过程，为运用这个结论打好理论基础. 探究点2　三角形三条角平分线的关系 例1　(教材P50例题)如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA， 垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE. 同理PE＝PF. ∴PD＝PE＝PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 问题：想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 答：由于点P在∠A的内部，而且PD＝PF，所以点P在∠A的平分线上．这说明三角形的三条角平分线交于一点. 归纳总结： 　　三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 【对应训练】 教材P50练习第2题. 【教学建议】 学生自主完成例1的解题过程，教师进行点评，并提出后面的问题，这也是这个探究点的核心意义——证明了三角形三条角平分线交于一点，这里隐含将三角形的面积与周长之间建立联系．在第十一章学生曾经画图猜想过三角形三条角平分线的特点，在这里就综合利用了角的平分线的性质和判定定理对这个猜想进行了严格证明，体现了数学证明的逻辑性与严密性．九年级上册中还将进一步说明这个交点的意义：它是三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心.
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活动三：强化应用，巩固新知 设计意图 通过设置与角的平分线的判定定理有关的具有一定综合性的问题，加深学生对于新知的理解和运用能力. 例2　如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.求证：AP平分∠MAN. 证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D. ∵BP是△ABC的外角平分线， PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD， 同理PN＝PD，∴PM＝PN. 又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴AP平分∠MAN. 【对应训练】 如图，点B，C分别在∠A的两边上，D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF.求证：BD＝CD. 证明：如图，连接AD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD. 【教学建议】 学生自主交流完成解答，教师对于学生思路不清的位置给予适当的引导．两题都具有一定难度，都需要作辅助线求解．利用角平分线的判定定理时，作辅助线的原则与学习其性质定理时一致，角的两边哪一边缺少垂直条件，就向哪一边作垂线．需注意训练题中连辅助线的目的不是为了利用角的平分线的判定定理，而是为了创造全等三角形从而解题，而判定定理所需的条件在已知中已经具备了.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.角的平分线的判定定理是什么？你能证明吗？能运用角的平分线的判定定理解题吗？ 2.三角形三内角的平分线有何特点？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P51～52习题12.3第1，3，7题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　角的平分线的判定 1.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 2.三角形三内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
教学反思 　 本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角的平分线的判定定理，有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用.
解题大招一　与角的平分线的判定有关的计算
角的平分线的判定定理为得到角平分线又增加了一种思路，可利用角的平分线的判定定理对说理过程进行简化，不必再通过证三角形全等来进行说明．而三角形三条角平分线交于一点在本课时通过角的平分线的判定定理进行了严格证明，过这个交点分别对三角形三条边作垂线，可得到三条相等的垂线段(设长为h)，从而可利用面积法得到三角形的面积S与周长C之间的关系：S＝Ch.
例1　如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，求∠DAC的度数．
解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，且AB＝AD，∴CA平分∠BCD.
∴∠ACD＝∠BCD＝×60°＝30°.又∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－30°＝60°.
例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC于点M.若OM＝4，△ABC的周长为32，求△ABC的面积．
解：如图，连接OC，过点O分别作OE⊥AB于点E，ON⊥BC于点N.
∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于点O，∴点O是△ABC三条角平分线的交点，∴OE＝ON＝OM＝4.
S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB
＝AC·OM＋BC·ON＋AB·OE
＝OM·(AC＋BC＋AB)
＝×4×32＝64.
解题大招二　角的平分线的判定定理的实际应用
在确定到三角形三边距离相等的点的位置时，易受到“三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等”的思维定式的影响，误认为这样的点只有一个，且存在于三角形内部．事实上，若题中不存在限制条件，这样的点还有3个，它们是三角形相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线的交点．
例3　如图，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个超市，
要求这个超市到三条公路的距离相等，可选择的地方有多少处？请画出图形并在图中
标示出来．
分析：
解：可选择的地方有4处．如图：
(1)作出△ABC两个内角的平分线，取其交点为O1；
(2)分别作出△ABC相邻的两个外角(不在同一顶点处)的平分线，取其交点分别为O2，O3，O4.
故可选择的地方有4处，即点O1，O2，O3，O4.
解题大招三　角的平分线的性质与判定的综合应用
与角的平分线有关的常见的添加辅助线的方法：若OP为∠AOB的平分线或要证OP为∠AOB的平分线，则可以用下面的方法：
例4　如图，CB＝CD，∠D＋∠ABC＝180°，CE⊥AD于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE＝10，DE＝4，求AB的长．
(1)证明：如图，过点C作CF⊥AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠F＝90°.
∵∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF.
在△CDE和△CBF中，∴△CDE≌△CBF(AAS)，∴CE＝CF.
又CE⊥AD，CF⊥AF，∴AC平分∠DAB.
(2)解：由(1)可得△CDE≌△CBF，∴BF＝DE＝4.
在Rt△ACE和Rt△ACF中，∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AF＝AE＝10，∴AB＝AF－BF＝10－4＝6.
培优点　与角的平分线的判定定理有关的探究题
例　(类比探究)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
AD，CE是△ABC的角平分线，AD，CE相交于点F.
(1)请你判断并写出DF与EF之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
分析：
解：(1)DF＝EF.理由如下：
如图①，过点F分别作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，连接BF，则∠DMF＝∠ENF＝90°.
∵△ABC的三条角平分线交于一点，AD，CE是△ABC的角平分线，∴BF平分∠ABC.∴FM＝FN.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝90°－∠DAC＝75°.
又∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠NEF＝∠BAC＋∠ACE＝30°＋45°＝75°，∴∠NEF＝∠MDF.
在△DMF和△ENF中，∴△DMF≌△ENF(AAS)，∴DF＝EF.
(2)DF＝EF仍然成立．证明如下：
如图②，过点F分别作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，连接BF，则∠DMF＝∠ENF＝∠BNF＝90°.
∵△ABC的三条角平分线交于一点，AD，CE是△ABC的角平分线，
∴BF平分∠ABC.∴FM＝FN.
由双内角平分线模型可知∠AFC＝90°＋∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠DFE＝∠AFC＝120°.
又∠MFN＝360°－∠DMF－∠BNF－∠ABC＝360°－90°－90°－60°＝120°，∴∠MFN＝∠DFE.
∴∠MFN－∠DFN＝∠DFE－∠DFN，即∠DFM＝∠EFN.
在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF(ASA)，∴DF＝EF.

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