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12.3　角的平分线的性质
第1课时　角的平分线的性质
教学目标
课题 12.3　第1课时　角的平分线的性质 授课人
素养目标 1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力. 2.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.
教学重点 尺规作图：作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理及应用．
教学难点 角平分线的性质定理的探索过程.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课引入 设计意图 回顾角的平分线的概念及作法，并设问为引入角平分线的尺规作图及其性质做铺垫. 【复习引入】 问题1：想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？ 答： 问题2：我们在练习本上画一个角，怎样得到它的平分线？ 答：用量角器度量，或者用折纸的方法. 我们已经能用尺规作一个角等于已知角了，那能否用尺规作一个角的平分线呢？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧. 【教学建议】 教师提问，选取学生代表进行回答，对于问题2，学生也可动手尝试，活跃气氛，在进入新课前进行实操演练．教师最后用总结结束回顾，以提问的方式引发学生思考，从而过渡到新课的内容.
活动二：动手操作，交流新知 设计意图 通过实际情境引入角的平分线的尺规作图方法，并引导学生动手作图，加深学生对于作已知角的平分线的理解，加强作图能力. 探究点1　角的平分线的作法 思考 如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？ 答：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠BAC＝∠DAC.∴AE是∠BAD的平分线. 【教学建议】 这里由一种平分角的仪器的工作原理引入了作一个角的平分线的尺规作图．与作一个角等于已知角的尺规作图类似，它们依据的都是全等三角形的“边边边”判定方法．教师可演示这种角平分仪，从而加深学生的直观感受．通过实验启发引入角平分线的尺规作图方法后，学生交流探究，自主动手画图．注意该作图属
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这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法，如下所示： 请按这种方法自己动手试试看，然后与同伴交流操作心得，并回答下列问题： 问题1：作图步骤(2)中，为什么要以“大于MN的长”为半径画弧？ 答：以“大于MN的长为半径画弧”是因为以小于MN的长为半径画弧，两弧没有交点，以等于MN的长为半径画弧不易操作. 问题2：作图步骤(2)中，两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？ 答：若分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部．而我们要作的是角的平分线，角的平分线在角的内部，所以交点应在∠AOB内部寻找，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 【对应训练】 教材P50练习第1题. 于基本的尺规作图，课标有所要求，需要学生加以掌握．通过实践操作，按各种情况动手画一画，就能清楚地解释左栏问题1和问题2.教师注意跟学生强调作图步骤(3)中的“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为“连接OC”得到的是线段，而角的平分线是射线，不是线段. 【教学建议】 设置练习是为了强化学生的基本作图能力，尺规作图可以不写作法，但最后一定要说明所求作的内容，作图痕迹必须保留因为可以据此看出作图思路.
设计意图 使学生经历探索角的平分线的性质定理的过程，并利用三角形全等证明角的平分线的性质定理，归纳证明几何命题的一般步骤，并通过例题与练习加深对于角的平分线的性质定理的理解. 探究点2　角的平分线的性质 思考　如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线 OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线， 分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么 结论？在OC上再取几个点试一试. 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 答：PD＝PE.在OC上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立. 于是我们猜想角的平分线有以下性质： 【教学建议】 设置思考可以让学生通过作图、测量来猜想角的平分线的性质．为了让学生准确推断该性质的内容，并且确信他们推出的性质具有一般性，教师需在学生作图时强调：(1)所作的角应为任意大小的；(2)在角的平分线上取的点应是任意位置的；(3)过角的平分线上一点向角的两边所作的与两边相交的线段必须是垂线
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拓展：几何画板演示角的平分线的性质： 如图，点P在∠AOB的平分线上： 下面，我们利用三角形全等证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证PD＝PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE. 归纳总结： 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1．明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 【对应训练】 如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，∠B＝90°，DE＝DC，试说明：BE＝CF. 解：∵∠B＝90°，∴BD⊥AB. ∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC， ∴DB＝DF. 在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴BE＝CF. 段．这个先操作再提出猜想的过程也为学生接下来证明性质时分清“已知”和“求证”做了铺垫．在得出结论后，左栏表里“注意”中的内容也需要跟学生强调，加深对于概念的理解，以免引起混淆. 【教学建议】 用三角形全等证明角的平分线的性质，是以文字叙述的形式给出的，这里在完成证明的同时也给出了如何证明一个几何命题的示范，在这之后对于证明几何命题的一般步骤进行了总结．教师注意跟学生强调两点：(1)画图时要考虑是否存在不同情形，所画图形应符合题意要求，并具有一般性和代表性(不能画特殊图形)；(2)推理过程的每一步都要有依据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、定理、基本事实等.
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活动三：综合运用，巩固新知 设计意图 综合考查角的平分线的性质与三角形的面积，强化角的平分线的性质定理的运用能力. 例　如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长. 解：如图，过点D作DF⊥BC于点F. ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5. ∵S△ABD＝AB·DE＝×16×5＝40，S△ABC＝70， ∴S△BCD＝S△ABC－S△ABD＝70－40＝30. 又S△BCD＝BC·DF＝BC×5＝30，∴BC＝12. 【对应训练】 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB＝16，AC＝8，DE＝5.求△ADF的面积. 解：如图，过点D作DM⊥AB，垂足为M. ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DM⊥AB， ∴DM＝DE＝5， ∴S△ABD＝AB·DM＝×16×5＝40，S△ACD＝AC·DE＝×8×5＝20， ∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝40＋20＝60. ∵AF是△ABC的中线，∴S△ACF＝S△ABC＝×60＝30， ∴S△ADF＝S△ACF－S△ACD＝30－15＝15. 【教学建议】 角平分线的性质定理可以得到垂线段相等，所以角平分线跟三角形的面积结合时，往往能分割出等高的三角形，于是面积问题就转化为了边长问题．解答此类题目，当题干中出现角平分线时，要首先想到是否可利用角的平分线的性质定理解题，有时候也需要添加辅助线，一般是过角的平分线上一点向角的两边作垂线段．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是角的平分线？你能用尺规作一个角的平分线吗？ 2.角的平分线的性质是什么？你能证明吗？能运用角的平分线的性质解题吗？ 3.证明一个几何命题的一般步骤是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P51～52习题12.3第2，4，5，6题. 2.相应课时训练．
板书设计 12.3　角的平分线的性质 第1课时　角的平分线的性质 1.尺规作图：作已知角的平分线. 2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3.证明几何命题的一般步骤．
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教学反思 　 本节课采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．教学中需要注意：学生对定理的图形语言认识不足出现混淆，如把角平分线上的点到角两边的距离错当成过此点与角平分线垂直(或相交)的直线与角两边相交所得的线段的长.
解题大招一　与尺规作图有关的推理题
作一个角的平分线是课标要求的尺规作图，学生不仅要能够作图，还要了解作图的原理，而最直观的体现就是通过作图痕迹去判断作图目的．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE
交BC于点D，CD＝5，P为AB上一动点，则DP的最小值为5.
解析：由尺规作图可知：AE是∠CAB的平分线，由垂线段最短可知：当DP⊥AB时，DP最小．∵AE是∠CAB的平分线，DP⊥AB，∠C＝90°，∴DP＝CD＝5.故DP的最小值为5.
解题大招二　文字类几何命题的证明方法
1．根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证．
2．为了便于分清命题中的已知和求证，可以将命题改写成“如果……那么……”或“若……则……”的形式．
例2　求证：两角和其中一角对应的角平分线分别相等的两个三角形全等．
分析：首先将文字命题用符号表示成已知和求证，然后进行证明．
解：已知：如图，AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，且AD＝A′D′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠B′A′C′.
∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴∠1＝∠2.
在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
解题大招三　与角的平分线的性质有关的线段证明(不作辅助线)
当题目中要证相等的一组线段分别与一个角的两边垂直，且它们的公共点在这个角的平分线上时，可利用角平分线的性质定理直接得证(学过角平分线的性质定理后，不要再使用先证三角形全等再利用性质去解题，那样会使过程繁琐)，所有证明条件的收集都应围绕这个“两垂直，一平分”进行展开，这样可以明确解题思路．
例3　如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.
证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.
∴∠ADP＝∠CDP，即DP平分∠ADC.∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.
解题大招四　利用角的平分线的性质作垂线解题
利用角的平分线的性质解决问题的关键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段，若已知条件中存在一条垂线段，则考虑通过作辅助线作出另一条垂线段；若已知条件中不存在垂线段，则考虑通过作辅助线作出两条垂线段．
1．作一条垂线
例4　如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P作PC⊥OA，垂足为C.若PC＝8，点P到直线OB的距离为8.
解析：如图，过点P作PD⊥OB于点D.∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
PD⊥OB，∴PD＝PC＝8，即点P到直线OB的距离为8.
例5　如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且∠ECD＝∠EDC.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的长．
(1)证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD.
又∠ECD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC.
(2)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F.∵∠A＝90°，DF⊥BC，CD平分∠ACB，∴AD＝DF.
∵S△BCD＝26，BC＝13，∴×13DF＝26，∴DF＝4，∴AD＝4.
2．作两条垂线
例6　如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和点D.求证：PC＝PD.
证明：如图，过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
又∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF(AAS)，∴PC＝PD.
培优点　与角的平分线的性质有关的探究题
例　(1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DM＝DN，求证：∠BAC＋∠MDN＝180°；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∠BAC＋∠MDN＝180°，试判断AM，AN，AC之间的数量关系，并说明理由．
分析：(1)先利用角的平分线的性质得到DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△DEM≌Rt△DFN，于是可得∠MDE＝∠NDF，进一步利用角的和差得∠MDN＝∠EDF，最后再结合四边形的内角和为360°可得结论．
(2)先结合已知、四边形的内角和为360°及角的和差可得∠MDE＝∠NDC，再根据角的平分线的性质得DE＝DC，同时易知AE＝AC，然后利用“ASA”证明△MDE≌△NDC，于是得EM＝CN，最后再根据线段的和差可得结论．
(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF.
在Rt△DEM和Rt△DFN中，
∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)，∴∠MDE＝∠NDF.
∴∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN，即∠MDN＝∠EDF.
∵四边形AEDF的内角和是360°，且∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180，
∴∠BAC＋∠MDN＝∠BAC＋∠EDF＝360°－(∠AED＋∠AFD)＝180°.
(2)解：AM＋AN＝2AC.理由如下：
如图②，过点D作DE⊥AB于点E，∴∠AED＝∠DEM＝90°，
∴∠BAC＋∠CDE＝360°－∠AED－∠C＝360°－90°－90°＝180°.
又∠BAC＋∠MDN＝180°，∴∠MDN＝∠CDE，∴∠MDN－∠EDN＝∠CDE－∠EDN，即∠MDE＝∠NDC.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，且易得AE＝AC.
在△MDE和△NDC中，∴△MDE≌△NDC(ASA)，∴EM＝CN.
∴AM＋AN＝(AE＋EM)＋(AC－CN)＝(AE＋AC)＋(EM－CN)＝2AC.
模型提炼：如图，∠1＝∠2，AP＝CP，∠PCB＋∠BAP＝180°，BF＝(AB＋BC)，这四个条件可知二推二．

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