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13.1.2　线段的垂直平分线的性质
第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定
教学目标
课题 13.1.2　第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 授课人
素养目标 1.探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，感受证明的必要性，体会逻辑推理的数学方法. 2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. 3.能过一点作已知直线的垂线，发展空间观念和空间想象力.
教学重点 线段的垂直平分线的性质与判定．
教学难点 线段的垂直平分线的性质与判定.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 用学生熟悉的场景引入课题，激发学生的学习兴趣和探究欲望. 【情境引入】 下面是一些整齐排列的座位. 哪些座位到36号和42号的距离相等？ 将这些座位连接起来，你发现了什么？ 【教学建议】 教师可根据教室内座位的实际摆放情况进行教学.
活动二：归纳总结，说理求证 设计意图 用多种方式探究线段垂直平分线的性质. 探究点1　线段的垂直平分线的性质 问题1　如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，… 是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的 距离，你有什么发现？ P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B…… 问题2　如果把问题1中的线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都重合吗？它们都分别相等吗？ 都重合，都分别相等. 总结：由问题1，2，我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 问题3　上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明．请你完成下面的证明. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上．求证PA＝PB. 证明：∵l ⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB. 又AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA＝PB. 【教学建议】 观察、探究、猜想、归纳并验证是数学学习的一种重要方法，让学生经历这一完整过程，感受证明的必要性. 把线段垂直平分线的性质转化成几何证明过程是个难点，并不需要学生掌握，所以这一过程由教师完成．但证明这一性质本身并不难，可由学生自己完成．教师在巡视时，对学生当中证明过程存在不足的，可以用展台展示，通过
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总结：(用几何语言表示线段垂直平分线的性质如下) 【对应训练】 教材P62练习第1题. 纠正，让学生学会严密的证明方法．证明环节完成后，教师用多媒体展示线段垂直平分线的性质的几何语言.
设计意图 反向思考，探索线段垂直平分线的判定定理. 探究点2　线段垂直平分线的判定 在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等的点， 在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等 的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？ 例如：如图，PA＝PB.点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 问题1　过点P的直线有无数条，如果我们要说明点P在AB的垂直平分线上，我们可以先选定一条怎样的直线进行说明？怎样说明？ 可以先过点P作一条与AB垂直的直线，再说明这条直线平分线段AB.如图，先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再说明AC＝BC. 问题2　AC＝BC吗？说明理由. AC＝BC.理由：如图，在Rt△PAC和Rt△PBC中， ∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC＝BC. 总结：由问题1，2，我们可以得知点P在AB的垂直平分线上. (在问题1，2中，也可以先过点P作AB边上的中线，再说明PC⊥AB，这样也可以得出点P在AB的垂直平分线上). 线段的垂直平分线的判定定理： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 总结：根据线段垂直平分线的性质和判定定理可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点也都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. 【对应训练】 教材P62练习第2题． 【教学建议】 这是本节的难点，这里教师可直接把命题转化成几何的证明题形式．但“点P在AB的垂直平分线上”太抽象，既看不到又不好解决“在”的问题，所以通过几个设问进行引导．问题1引导学生先解决“在”和“垂直”的问题，这样也就自然引出了添加辅助线的需要．问题2并不难，让学生自己完成，可以锻炼学生独立解决问题的能力. “直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合”，这点在以后的学习中有很重要的用处，但理解难度过高，不是本节所要解决的问题，可由老师直接归纳．也可通过作一些满足条件的点，让学生看出它们组成一条直线，这进一步说明一条直线可以看成是点运动形成的.
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设计意图 学习尺规作图的方法，同时加深对线段垂直平分线的判定的理解. 探究点3　经过已知直线外一点作这条直线的垂线 问题1　已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁. (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E. (3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (4)作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. 问题2　为什么作图时点K和点C要在AB的两旁？在同一旁有什么问题？ 在两旁才能确保第一次画弧线时，弧线与AB有两个交点．在同一旁，弧线与AB可能没有交点. 问题3　以点D和点E为圆心画弧线时，为什么半径要大于DE的长？等于或小于DE的长行不行？ 大于DE的长，才能确保两条弧线有交点．小于DE的长时，弧线没有交点．等于DE的长，虽然理论上有交点，但实际中不好操作，很难刚好取到DE的长 问题4　为什么直线CF就是所求作的垂线？ ①由作图过程可知，CD＝CE，DF＝EF，所以点C，F均在线段DE的垂直平分线上；②两点确定一条直线，则直线CF为DE的垂直平分线，所以CF⊥DE，即CF⊥AB.所以直线CF就是所求作的垂线. 【对应训练】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．(图略) 【教学建议】 尺规作图教学是围绕定线、作弧、求交点进行的，本探究点教学围绕这几个方面设计了相应的问题，以便于学生具体、细致地了解探究过程：(1)要确定K点的合适位置，它一定要与点C在AB的两旁，在同旁的话与AB可能没有交点，教师可用尺规作图演示下在AB同旁可能会遇到的问题；(2)另外注意以D，E为圆心画弧时，半径要大于DE的长，这也是为了确保有交点，教师可演示下半径小于或等于DE的长的情况；(3)最后一个问题说明了这个尺规作图的原理，注意最好由学生回答，教师最后进行总结.
活动三：巩固知识，灵活运用 设计意图 利用线段垂直平分线的性质进行计算，加深理解. 例　如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交AC，BC边于点D，E.若AB＝3，AC＝5，求△ABD的周长. 解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD. ∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC. ∵AB＝3，AC＝5，∴△ABD的周长为3＋5＝8. 【对应训练】 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N.若BC＝10，求△ADE的周长. 解：∵DM垂直平分AB，∴AD＝BD. ∵EN垂直平分AC，∴AE＝CE. ∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10. 【教学建议】 给学生总结：由线段垂直平分线的性质可以得到线段相等，在解题中常需要将所得等量关系进行转化，以顺利解题．如例题中，将BD的长转化为CD的长，则AD＋BD可以转化为AC的长，从而方便求出△ABD的周长.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.线段垂直平分线上的点有什么特点？ 2.我们是怎样判定点在线段的垂直平分线上的？ 3.经过直线外一点怎样作这条直线的垂线？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P65习题13.1第6，9，13题. 2.相应课时训练．
板书设计 13.1.2　线段的垂直平分线的性质 第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3.经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
教学反思 　 本节课探究了线段的垂直平分线的性质和判定，以及经过直线外一点作这条直线的垂线的方法．对于每个结论，都让学生说明其中的理由，强化了学生言必有理的习惯．用尺规作垂线时，学生经常遇到障碍，今后要让学生多练习，理解作图时各步骤的含义.
解题大招一　三角形三边的垂直平分线交于一点
在三角形中，将线段垂直平分线的性质与判定结合，可以得出三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等．在一些实际场景中，有时会用到这个结论．
例1　(1)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在边AC的垂直平分线上．
证明：如图，连接PA，PB，PC.
∵点P在边AB的垂直平分线上，∴PA＝PB.
∵点P在边BC的垂直平分线上，∴PB＝PC.
∴PA＝PC.
∴点P在边AC的垂直平分线上．
(2)如图，公园里有一块三角形草坪(△ABC)，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在（ A ）
A．三条边的垂直平分线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高的交点处
D．三条中线的交点处
解题大招二　由线段的垂直平分线可以得到两个等量关系
如图，AD是线段BC的垂直平分线，AD交BC于点D，则：
(1)BD＝CD；(2)AB＝AC.
解题时，常需要将这两个等量关系进行转化以计算或证明．
例2　如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6 cm，△ABD的周长为19 cm，则△ABC的周长为（ D ）
A．25 cm　　　　　　B．12 cm　　　　　　C．38 cm　　　　　　D．31 cm
解析：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE.
∵△ABD的周长为19 cm，
∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝19 cm，即AB＋BC＝19 cm.
∵AE＝6 cm，CE＝AE，
∴AC＝2AE＝12 cm.
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝19＋12＝31(cm)．
培优点　线段垂直平分线的综合应用
例　如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
(1)求证：AB＝EC；
(2)若△ABC的周长为18 cm，AF＝4 cm，求DC的长．
分析：
(1)证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC.
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE.
∴AB＝AE.
∴AB＝EC.
(2)解：∵EF垂直平分AC，
∴AF＝FC.
∴AC＝2AF＝8 cm.
∵△ABC的周长为18 cm，
∴AB＋BC＋AC＝18 cm.
又AC＝8 cm，
∴AB＋BC＝10 cm.
∵AB＝EC，BD＝DE，AB＋BC＝AB＋BD＋DE＋EC＝2(DE＋EC)，
∴DC＝DE＋EC＝(AB＋BC)＝×10＝5(cm)．

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