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第2课时　等腰三角形的判定
教学目标
课题 13.3.1　第2课时　等腰三角形的判定 授课人
素养目标 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理. 2.运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算. 3.通过对等腰三角形的判定定理的证明，加强学生的推理能力，以及分析、解决问题的能力.
教学重点 等腰三角形判定方法的应用
教学难点 等腰三角形判定方法的证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 让学生反向思考，引出等腰三角形的判定. 【情境引入】 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 下面我们就来探寻这个问题的答案. 【教学建议】 让学生自由回答，暂不给出结论.
活动二：合作交流，新知探究 设计意图 探究等腰三角形的判定方法. 探究点　等腰三角形的判定 如图，在△ABC中，∠B＝∠C.AB与AC的数量关系如何呢？ 问题1　该如何解决这个问题？说说你的思路. 如图，从点A作一条辅助线：角平分线AD(或高AD， 或中线AD)，然后用全等三角形的知识进行说明. 问题2　若作∠BAC的平分线AD，你能顺着这个思路解决问题吗？ 如图，作△ABC的角平分线AD. 在△BAD和△CAD中， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∴ AB＝AC. 由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)． 【教学建议】 (1)在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，作哪条线都可以，但添加辅助线时，不同作法引起解决问题的复杂程度可能不同．这里教师可试着让学生证一下辅助线AD为高或中线时的情况，体会思路的不同以及难度上的差异. (2)注意提醒学生：“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”这些名词.
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注意： （1）“等边对等角”与“等角对等边”的区别 等腰三角形的性质：两边相等?这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等?这两角所对的边相等. （2）“等角对等边”“等边对等角”都是指的同一个三角形中的边角关系. 辨一辨：如图，下列推理正确吗？ 【对应训练】 教材P79练习第1～4题. （3）教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据. （4）等腰三角形的性质“等边对等角”和它的判定方法“等角对等边”是不一样的结论，它们是互逆命题，学生理解上仍容易混淆，要让学生注意区分.
活动三：巩固提升，灵活运用 设计意图 在不同的题设条件下判定等腰三角形，加强对“等角对等边”的掌握. 设计意图 通过尺规作图，加深对等腰三角形特征的理解，强化几何直观感知能力. 例1（教材P78例2）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC. 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2， 所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 证明：∵ AD∥BC， ∴ ∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 而已知∠1=∠2，所以 ∠B=∠C. ∴ AB=AC(等角对等边). 例2（教材P78例3）已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. 作法： （1）作线段AB=a. （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. （3）在MN上取一点C，使DC=h. （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【教学建议】 例1是一个文字叙述的证明题，要先写出已知、求证，再进行证明.这类题学生往往不容易掌握，主要是已知、求证写不好，最常见的是条件写得不全或不明确.可以先让学生根据命题自己写已知、求证，他们在证明过程中，会发现已知、求证写得不对或不好的地方，这时教师再纠正，效果会更好. 【教学建议】 让学生说说作图过程可以确定这个等腰三角形的理由.教学步骤师生活动
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活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等吗？ 2.已知等腰三角形的底边长和底边上的高的长，如何用尺规作出这个等腰三角形？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P82习题13.3第2，5，10，11题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　等腰三角形的判定 1.“等角对等边”. 2.等腰三角形的尺规作图．
教学反思 　本节课通过三角形全等的知识，得出了等腰三角形的判定方法，并将这一结论用于各种计算和证明，提高了学生关于等腰三角形知识的综合运用能力．学生判定等腰三角形时，对于各种条件的运用还不是很熟练，今后要多加强练习.
解题大招一　等腰三角形的判定中的角度转化方式
用“等角对等边”的方法判定等腰三角形时，等角常需要通过其他条件转化得到，常见的转化途径有：三角形的外角、等角(同角)的余角(补角)、平行线等，要仔细分析题目条件．
例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，∠BCD＝∠A.试说明△BCD是等腰三角形．
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD.
∵∠ACB＝∠BCD＋∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB.
∴∠ABC＝∠BDC.
∴CD＝BC.∴△BCD是等腰三角形．
例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC于点D，交AC于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵ED⊥BC，∴∠EDB＝∠EDC＝90°.
∴∠E＋∠B＝90°，∠C＋∠DFC＝90°.
∴∠E＝∠DFC.
∵∠DFC＝∠EFA，∴∠EFA＝∠E.∴AE＝AF.
∴△AEF为等腰三角形．
解题大招二　根据定义判定等腰三角形
根据定义判定等腰三角形时，要说明两条线段相等，可以通过线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、等量代换等进行说明．
例3　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC.
(1)求证：△ADE是等腰三角形；
(2)延长BC至点F，使CF＝DE，连接BE，EF，试判断△EBF的形状，并说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴△ADE是等腰三角形．
　(2)解：△EBF是等腰三角形．理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE.
∵∠ADE＝∠AED＝∠ACB，∴∠BDE＝∠ECF.
又DE＝CF，∴△BDE≌△ECF(SAS)．∴BE＝EF.
∴△EBF是等腰三角形．
解题大招三　等腰三角形判定方法的拓展
例4　我们在课上曾学习过等腰三角形的“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．如果某个三角形一边上的中线、高线及其对角的平分线中，有两条线重合，也可以证明这个三角形是等腰三角形，请你选择下面的一种情况，写出证明过程.
分析：
①利用线段垂直平分线的性质直接得出结论；②利用“ASA”证明△ADB≌△ADC，得AB＝AC；③作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角的平分线的性质得DE＝DF，再根据S△ADB＝S△ADC可得结论．
证明：①由已知得AD垂直平分BC，∴AB＝AC.
②∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
又AD＝AD，∴△ADB≌△ADC(ASA)．∴AB＝AC.
③如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.
∵D是BC的中点，∴S△ADB＝S△ADC.∴＝.∴AB＝AC.
培优点　平行线在等腰三角形相关解题中的转化作用探究
例　【问题背景】在学习了等腰三角形的有关知识后，数学活动小组对课本上的一道题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线构造等腰三角形．如图①，P为∠AOB的平分线OC上一点，过点P作PD∥OB交OA于点D，易证△POD为等腰三角形．
【基本运用】(1)如图②，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？
【类比探究】(2)如图③，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点O，过点O作OD∥BC分别交AB，AC于点D，E，试探究线段BD，DE，CE之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】(3)如图④，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，且AE平分∠BAD，连接BE.求证：AE⊥BE.
分析：(1)由平行线的性质和折叠的性质可证∠ACD＝∠B′AC，可得AE＝CE；
(2)由角平分线的性质和平行线的性质可证BD＝OD，CE＝OE，可得结论；
(3)延长AE，BC交于点F，由“AAS”可证△ADE≌△FCE，可得AE＝FE，再由等腰三角形的“三线合一”可得结论．
(1)解：△ACE是等腰三角形．理由如下：在长方形ABCD中，CD∥AB，∴∠ACD＝∠BAC.
由折叠性质可知∠B′AC＝∠BAC，∴∠ACD＝∠B′AC.∴AE＝CE.∴△ACE是等腰三角形．
(2)解：BD＝DE＋CE.理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.
∵OD∥BC，∴∠CBO＝∠BOD.∴∠ABO＝∠BOD.∴BD＝OD.同理CE＝OE.
又OD＝DE＋OE，∴BD＝DE＋CE.
(3)证明：如图④，延长AE，BC交于点F.∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F.
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAF.∴∠F＝∠BAF.∴AB＝BF.
在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(AAS)．∴AE＝FE.又AB＝BF，∴AE⊥BE.

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