资源简介

第2课时　含30°角的直角三角形的性质
教学目标
课题 13.3.2　第2课时　含30°角的直角三角形的性质 授课人
素养目标 1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质. 2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力. 3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.
教学重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
教学难点 含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 由熟悉的三角板引入课题. 【情境引入】 我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角．量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜. 【教学建议】 让学生测量后自由回答.
活动二：观察猜想，探究求证 设计意图 结合等边三角形的知识推出含30°角的直角三角形的性质. 探究点　含30°角的直角三角形的性质 如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起． 你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB \之间的数量关系吗？ 问题1　两个三角尺构成的图案，恰好是一个三角形吗？ 是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点B，C，D在一条直线上．所以两个三角尺构成的图案恰好是一个三角形. 问题2　△ABD是不是等边三角形？说明理由. 是．因为两个三角形尺全等，所以AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形. 问题3　你能说说BC与AB的长度关系吗？ BC＝AB.理由：因为BC＝CD，所以BC＝BD. 因为△ABD是等边三角形，所以BD＝AB.所以BC＝AB. 你还能用其他方法证明上面的结论吗？ 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝AB. 证明：如图，在AB边上截取BE＝BC，连接CE. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－30°＝60°. 又BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°. 又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝AB. 【教学建议】 给学生强调，使用含30°角的直角三角形的性质时，其前提是在直角三角形中，不要忽视. 这个结论的逆命题也是成立的，即直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°(教学中不必补充，对于学有余力的学生，可做适当介绍)..
教学步骤 师生活动
归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【对应训练】 1．教材P81练习． 2.如图,∠AOB＝30°,点C在射线OB上，若OC＝6，则点C到OA的距离等于3.
活动三：实际应用，加深理解 设计意图 例1与对应训练1是在实际场景中运用含30°角的直角三角形的性质，注意体会直角三角形中角与边的联系. 设计意图 利用例2与对应训练2补充应用场景，注意体会含30°角的直角三角形的性质的其他应用形式. 例1　(教材P81例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？ 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD. ∴BC＝×7.4＝3.7(m). 又AD＝AB，∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 例2　如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. 解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(n mile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30 n mile. 答：B处到灯塔C的距离为30 n mile. (2)会有触礁的危险．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠CBD＝30°，BC＝30 n mile，∴CD＝BC＝15 n mile.∵15<16， ∴该船继续由西向东航行会有触礁的危险. 【对应训练】 1.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，点D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DE＝2 m，求AB的长. 解：∵DE⊥AE，∠A＝30°， ∴AD＝2DE. ∵D是AB的中点， ∴AB＝2AD＝4DE＝8 m. 2.一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图甲，从正面看如图乙，已知AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝40 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离. 【教学建议】 通过例1与对应训练1给学生说明，在运用含30°角的直角三角形的性质时，斜边与直角边可以互相推出. 【教学建议】 通过例2与对应训练2给学生说明，有时直角三角形没有直接给出，需先作垂线构造直角三角形，再运用含30°角的直角三角形的性质．其中，根据点到直线的距离作垂线段是一种常见的考查形式.
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解：如图乙，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝40 cm，∴AD＝AO＋DO＝50＋40＝90(cm). ∵AO＝BO，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝＝30°. ∴DE＝AD＝×90＝45(cm). 又桌面与地面平行， ∴可知桌面到地面的距离是45 cm.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边与斜边有什么关系？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P83习题13.3第15题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
教学反思 　 在探究30°角所对的直角边与斜边的关系时，学生说理的方法比较多样化，在教学中对于这种现象，要尽可能地对学生进行肯定.
解题大招一　寻找隐含的30°角解题
在运用含30°角的直角三角形的性质时，有时30°角题目中并没有直接给出，这时需仔细观察图形，找出隐藏的30°角．如，碰到等边三角形，则考虑60°角的余角为30°，或60°角平分后得到30°角；碰到底角为15°的等腰三角形，则考虑利用三角形外角的性质得到30°的角．
例1　如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，AB＝4.求CE的长．
分析：根据等边三角形的性质得到CD的长，又由DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，
则可进一步求得CE的长．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，AC＝AB＝4.
∵D是AC的中点，∴CD＝AC＝2.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°－∠C＝30°.∴CE＝CD＝1.
例2　如图，在等边三角形ABC中，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为N，连接AM，求证：AM＝2MN.
分析：利用等边三角形的性质及△ABC “三线合一”的性质推知∠BAM＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得出结论．
证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
又M为BC的中点，∴∠BAM＝∠BAC＝30°.∵MN⊥AB，∴AM＝2MN.
例3　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝13 cm，求AC的长．
解：∵AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，∴AD＝BD＝13 cm.
∴∠DAE＝∠B＝15°.∴∠ADC＝∠DAE＋∠B＝30°.
又∠ACB＝90°，∴AC＝AD＝6.5 cm.
例4　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝6 cm.求BP的长．
分析：先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得AP＝CP，再利用含30°角的直角三角形的性质求得BP的长即可．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠BAC＝120°，∠BAP＝90°，
∴∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝30°.∴∠C＝∠PAC.∴AP＝CP＝6 cm.
∵∠BAP＝90°，∠B＝30°，∴BP＝2AP＝12 cm.
解题大招二　先构造直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质解题
类型1　作辅助线形成斜边
例5　如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝8 cm，求BC的长．
分析：连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝8 cm，从而可得∠ABE＝15°，然后利用三角形外角的性质可得∠CEB＝30°，最后在Rt△CEB中利用含30°角的直角三角形的性质进行计算．
解：如图，连接BE.∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE＝8 cm.∴∠ABE＝∠A＝15°.
∴∠CEB＝∠A＋∠ABE＝30°.∵∠C＝90°，∴BC＝BE＝4 cm.
类型2　作辅助线形成直角边
例6　如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝18，点D在BC上，AD＝AC，若BD＝5，求CD的长．
分析：
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°.∵∠B＝60°，∴∠BAE＝90°－∠B＝30°.∴BE＝AB.
∵AB＝18，∴BE＝9.∵BD＝5，∴DE＝BE－BD＝9－5＝4.∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CD＝2DE＝8.
培优点　利用含30°角的直角三角形的性质解决动点问题
例　如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发沿AC以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发沿CB以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t s，解决以下问题：
(1)当t为何值时，△DEC为等边三角形？
(2)当t为何值时，△DEC为直角三角形？
分析：(1)根据等边三角形的判定条件列方程求出t的值；
(2)分两种情况讨论：①∠DEC为直角，②∠EDC为直角，在两种情况下分别利用
30°角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．
解：(1)根据题意可得AD＝t cm，CD＝(6－t)cm，CE＝2t cm.
∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°－∠B＝60°，∴当CD＝CE时，△DEC为等边三角形．
∴6－t＝2t.∴t＝2.∴当t为2时，△DEC为等边三角形．
(2)若△DEC为直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠DEC为直角时，∠EDC＝90°－∠C＝30°，∴CE＝CD，即2t＝(6－t)．∴t＝；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝90°－∠C＝30°，∴CD＝CE，即6－t＝×2t.∴t＝3.
综上所述，当t为或3时，△DEC为直角三角形．

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