资源简介

13.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质和判定
教学目标
课题 13.3.2 第1课时 等边三角形的性质和判定 授课人
素养目标 1.探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力. 2.合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识.
教学重点 探究等边三角形的性质与判定方法,并进行简单的应用.
教学难点 等边三角形的性质与判定的应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 通过回顾等腰三角形的知识，为后面的探究学习做准备. 【复习导入】 我们知道，等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.回顾前面课时的内容，试着填一填下面的表格. 那等边三角形又有什么特殊的性质呢？让我们开始今天的学习. 【教学建议】 回顾完等腰三角形的相关知识后，可任意画一个等边三角形，让学生说说它的腰和底，让学生体会等边三角形的特殊性.
活动二：运用旧知，推理新知 设计意图 由等腰三角形的性质得出等边三角形的性质，加强推理能力. 探究点等边三角形的性质和判定 问题1把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ （1）从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 由定义可知：等边三角形的三条边都相等. 几何语言： 如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC. （2）从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下. 【教学建议】 等边三角形的每一条边都可以作为底或腰，每一个角都可以作为顶角或底角，让学生根据不同的划分方式，自然地找出更多的等量关系，推理出等边三角形的各种特殊性质.
教学步骤 师生活动
设计意图 探索等边三角形的判定方法，加强推理能力. 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 已知：AB＝AC＝BC，求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)． 同理∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. (3)从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”． 等边三角形有三条对称轴． (4)结合以上几点，请你完成下面的表格内容. 问题2　通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ (1)通过上面性质的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形． 证明：由∠A＝∠B，得BC＝AC.由∠B＝∠C， 得AC＝AB. 所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等边三角形． (2)对于一个等腰三角形，如果有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝60°，求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°， ∴60°＋2∠B＝180°.∴∠B＝60°. ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 由(1)中结论可知，△ABC是等边三角形. 【教学建议】 为了说明有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，除了由顶角∠A＝60°证得结论外，还需由底角∠B＝60°(或∠C＝60°)证得△ABC是等边三角形，教师可根据课堂教学情况，选2位学生分别上台板演另外两种情况的证明．
教学步骤 师生活动
【对应训练】 教材P80练习第1～2题．
活动三：巩固提升，综合运用 设计意图 与其他知识结合，加强对等边三角形的性质和判定的掌握. 例　(教材P80例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形. 追问：想一想，本题还有其他证法吗？ 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C，∠A＝60°. ∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE(等角对等边). ∴△ADE是等腰三角形. 又∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形. 【变式训练】 变式1　若点D，E分别在边AB，AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ 解：成立．理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形. 变式2　若点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 解：依然成立．理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°. ∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E. ∴∠D＝∠E＝∠BAC＝∠DAE. ∴△ADE是等边三角形. 【教学建议】 给学生说明，等边三角形中角的等量关系经常与平行线的性质结合，通过同位角(内错角)相等进行转化，从而得到新的等量关系，以此来判定其他三角形是等边三角形.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.等边三角形有什么特殊性质？ 2.怎样判定一个三角形是等边三角形？ 【知识结构】
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【作业布置】 1.教材P83习题13.3第12，14题. 2.相应课时训练．
板书设计 13.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的性质. 2.等边三角形的判定.
教学反思 　 本节课利用等腰三角形的知识，推出等边三角形的特殊性质和判定方法，巩固了学生旧知的同时，也提升了学生的推理能力，并让他们掌握了有关等边三角形的新知识．部分学生在推导等边三角形的性质和判定方法时，依靠直观感受，欠缺用数学知识严格推理的理念，今后要对他们的思维习惯进行适当引导.
解题大招一　利用等边三角形求角度
等边三角形的每一个内角都为60°.解题时要仔细观察图形特点，结合其他条件灵活解题．看到垂直可想到互余，看到三角形可想到三角形内角和定理及外角．有时题目未直接给出等边三角形，需要先判定三角形是等边三角形再解题．
例1　如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ B ）
A．92°　　　　　　　　B．102°　　　　　　　　C．112°　　　　　　　　D．114°
解析：如图，设AB，AC分别交直线a于点D，E.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°.
又∠ADE＝∠1＝42°，
∴∠DEC＝∠ADE＋∠A＝102°.
又a∥b，
∴∠2＝∠DEC＝102°.故选B.
例2　如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（ C ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：如图，连接AB，根据题意得OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.故选C.
解题大招二　利用等边三角形求线段长
等边三角形的三条边相等．实际解题时，常常需将等边三角形的判定与性质结合起来，先判定三角形是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．判定等边三角形的关键是找出题中的相等线段和60°角．
例3　由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm.
若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是（ C ）
A．9 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm
解析：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA＝OB＝18 cm，故选C.
例4　如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现AB＝10 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，则三角形纸片破损前的周长为30 cm.
解析：如图，延长AC，BD相交于点E.
∵∠CAB＋∠DBA＋∠E＝180°，∠CAB＝∠DBA＝60°，∴∠E＝60°.
∴∠CAB＝∠DBA＝∠E.
∴△ABE为等边三角形．
∴AE＝BE＝AB＝10 cm.
∴△ABE的周长＝AE＋BE＋AB＝30 cm，即三角形纸片破损前的周长为30 cm.
例5　将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C对应的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为2 cm.
解析：∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．
例6　如图，在△ABC与△DBC中，AB＝AC＝10 cm，DB＝DC，连接AD交BC于点E.若∠ABC＝60°，求BE的长．
解：∵AB＝AC＝10 cm，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∴BC＝AB＝AC＝10 cm.
∵AB＝AC，DB＝DC，∴点A，D都在BC的垂直平分线上．∴AD是BC的垂直平分线．
∴BE＝BC＝5 cm.
培优点　等边三角形、全等三角形的综合问题
例1　如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交NC于点F.求证：
(1)AN＝BM；
(2)△CEF为等边三角形．
分析：
证明：(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°.
∴∠ACM＋∠MCN＝∠NCB＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.
在△ACN和△MCB中，
∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.
(2)∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAN＝∠CMB.
又∠MCF＝180°－∠ACM－∠NCB＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE.
在△CAE和△CMF中，
∴△CAE≌△CMF(ASA)．
∴CE＝CF.
又∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．
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