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13.4　课题学习　最短路径问题
教学目标
课题 13.4　课题学习　最短路径问题 授课人
素养目标 1.掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识. 2.通过轴对称变换、平移变换体会转化思想.
教学重点 利用轴对称变换及平移变换解决最短路径问题．
教学难点 确定最短路径及其理论说明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，引入新课 设计意图 对过往知识进行回顾，为本课时学习做铺垫. 【情境引入】 观察图①②. 我们以前学过： (1)“两点的所有连线中，线段最短”； (2)“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”. 我们称这种问题为最短路径问题. 今天我们将探究新情境下的最短路径问题. 【教学建议】 让学生根据图片展示，完成填空.
活动二：类比转化，解决问题 设计意图 借助恰当的工具，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题(两点之间，线段最短)，提升解决实际问题的能力. 探究点1　利用轴对称解决最短路径问题(“将军饮马”问题) 如图①，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马， 可使所走的路径最短？ 提问： (1)你能组织语言，把这个问题抽象为数学问题吗？ 可抽象为这样的数学问题：如图②，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？ (2)两点在同侧我们不太好入手，先看看两点在异侧的情况：如图③，点A，B是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最小？依据是什么？ 如图④，连接AB，交直线l于点C，则AC＋BC最小．依据：两点之间，线段最短. 【教学建议】 这里教师引导学生回答，不断补充，最后达成共识： (1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和最短的直线l上的点．设C为直线l上的一个动点，实际问题就转化为数学问题了.
教学步骤 师生活动
设计意图 通过严格的证明，让学生确信所找的点C是符合要求的. 　(3)现在我们回过头去解决图②中两点在同侧的情形，即：点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？ 如图⑤，我们可作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到B′C＝BC.则AC＋BC＝AC＋B′C.问题再次转化为：当点C在 l 的什么位置时，AC与B′C的和最小？ (4)根据上面的分析，当点C在 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？ 如图⑥，在连接A，B′两点的所有线段中，线段AB′最短．因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求，即此时AC＋BC也最小． (5)你能用所学的知识证明：上面求得的点C，使AC ＋BC 最小吗？ 证明：如图⑦，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知， BC＝B′C，BC′＝B′C′. ∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′， AC′＋BC′＝AC′＋B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴AC＋BC＜AC′＋BC′， 即AC＋BC最小． 归纳总结： 【对应训练】 如图，A，B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，同时将河水分别送到A，B两地．该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短？试在图中确定该点(保留作图痕迹)． 解：如图，点P即为该点． 【教学建议】 要一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路． 对于第(3)问，学生回答可能会有困难，教师可提问引导： 如何将(3)中的点 B“移”到 l 的另一侧 B′处，使直线 l 上的任意一点 C，都满足BC 与B′C的长度相等？ 【教学建议】 证明AC＋BC最小也是一个难点，可以告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”量进行比较来证明．学生可能会对于只选一个C′不放心，教师可以让学生再选一个C″证明一次，这时学生会发现，证明过程中，点C′在什么位置并不影响结论．
教学步骤 师生活动
设计意图 通过更复杂的最短路径问题，进一步体会转化思想的应用. 探究点2　利用平移解决最短路径问题(造桥选址问题) 如图①，A和B两地在一条河的两岸，现要在河岸上 造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．) 提问： (1)你能把它抽象为数学问题吗？ 把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于b，交直线a于点M. 上面的问题就转化为：如图②，直线a∥b，N为直线 b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直 线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？ (2)河的两岸是平行的直线，桥与河垂直．那么AM＋MN＋NB最小能否进一步转化？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？ (3)能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上面图②的情况转化为下面图③的情况？ 将图②中AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，如图④，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小． (4)你能找到所要求的N点的位置吗？ 如图⑤，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求． 即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短． (5)你能证明点N的位置即为所求吗？ 如图⑥，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.由作图可知M′N′＝MN＝AA′. 由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′. 根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B. ∴AM′＋N′B＞AM＋NB. ∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN. ∵N′为不同于N的任意一点，∴AM＋NB＋MN最小． ∴点N的位置即为所求． 归纳总结： 【教学建议】 引导学生理解：要确定桥MN的位置，只需确定两动点M，N的位置即可．由于桥MN垂直于河岸，只要确定其中一个动点，比如点N的位置，另一个动点M的位置便能随之确定． 【教学建议】 对于提问(2)，有条件的地方可以利用几何画板动态呈现桥可能建造的位置，并让学生观察桥MN位置变化时，线段AM，MN，NB长度的变化情况，引导学生找出定长MN，于是当线段AM＋NB最小时，线段AM＋MN＋NB的和最小． 【教学建议】 在解决提问(3)(4)的过程中，教师注意引导学生注意平移起到的作用．由于河宽固定，因此可以考虑将点A(或点B)按与河岸垂直的方向平移跟河宽相等的距离，使问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题． 【教学建议】 对于提问(5)，这个证明与前面的探究点1类似，利用平移变换的基本性质和“两点之间，线段最短”可以证明这样的路径是最短的．对于这个证明，如课堂时间有限，可以要求学生课下完成．
教学步骤 师生活动
【对应训练】 如图，平行河岸的两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，桥应与河岸垂直而建，以使桥的长度最短．为了使总造价最低，桥应建在何处？请在图中画出桥的位置． 解：①如图，将点P沿与河岸垂直的方向平移至点P′， 使PP′等于河宽； ②连接QP′，与河岸b相交于点N； ③作NM⊥a，垂足为M，连接PM，则MN即为桥的位置.
活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能说出哪些求最短路径的依据？ 2.今天我们学习的两种求最短路径的情境，用草图怎么表示？ 3.今天解决最短路径问题时，我们用到了哪些图形变化手段？ 【知识结构】 【作业布置】 相应课时训练．
板书设计 13.4　课题学习 最短路径问题 1.两点之间，线段最短. 2.轴对称、平移，转化线段，求最短路径．
教学反思 　 本课题的极值问题，学生初次接触，难度较大，无从下手，解决问题需要用到转化手段，学生也缺乏这种理念．先给学生讲解这方面的知识，待学生经验积累到一定程度后，再次回顾梳理.
解题大招一　利用轴对称解决最短路径问题
对于直线同侧的两点，利用轴对称变换将其中一点转化到直线另一侧，再用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”解决问题．
小王准备在街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两居民区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ B ）
解析：B选项中，A与A′关于街道对称，CA＝CA′，点A′，C，B在一条直线上，则CA＋CB最小．
如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝10，
且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP＋EP的最小值为（ B ）
A．8　　　　　　　　　　　B．10　　　　　　　　　　　C．12　　　　　　　　　　　D．14
解析：易知AD是等边三角形ABC的对称轴，∴点B与点C关于AD对称，∴BP＝CP.
如图，连接CE交AD于点P，则此时，BP＋EP的值最小，且等于CE的长．
由点E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
易知CE＝AD，
∴BP＋EP的最小值为10.
解题大招二　利用平移解决最短路径问题
例3　有一条河流，两岸a，b平行，河的两侧有小镇A和小镇B，现在要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使从A到B的路径AMNB最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ D ）
解析：对比各选项中作图痕迹，除去MN的长度，剩余的线段和中，D选项的最小(可通过平移BN进行比较)．故选D.
培优点　灵活利用轴对称变换求最短路径
例　“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
如图①，若点A和点B分别在直线l的两侧，要在直线l上找到点C，
使得CA＋CB有最小值，请你作一个示意图确定点C的位置，并说明作图依据：
两点之间，线段最短；
(2)如图②，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得PA＋PB有最小值；
(3)如图③，已知∠AOB＝30°，点Q在∠AOB内部，点M，N分别在射线OA，OB上运动，若OQ＝6，请求出△QMN周长的最小值．
分析：(1)连接AB交l于点C，依据是“两点之间，线段最短”；
(2)作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，点P即为所求；
(3)分别作点Q关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，则△QMN的周长最小．
解：(1)如图①所示．
(2)如图②，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，连接PA，则点P即为所求．
(3)如图③.
(Ⅰ)作点Q关于OA的对称点C.
(Ⅱ)作点Q关于OB的对称点D.
(Ⅲ)连接CD，分别交OA于点M，交OB于点N，则△QMN 的周长最小．
连接OC，OD.∵点C和点Q关于OA对称，∴OC＝OQ＝6，∠MOC＝∠QOM.
同理可得，OD＝OQ＝6，∠QON＝∠NOD.
∴OC＝OD，∠MOC＋∠QOM＋∠QON＋∠NOD＝2∠QOM＋2∠QON＝2(∠QOM＋∠QON)＝2∠AOB＝60°.
∴△COD为等边三角形．∴CD＝OC＝6.
∵点Q，C关于OA对称，点Q，D关于OB对称，∴QM＝CM，QN＝DN，
∴△QMN的周长＝QM＋MN＋QN＝CM＋MN＋DN＝CD＝6.
即△QMN周长的最小值为6.

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