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第十三章　轴对称
13．1　轴对称
13．1.1　轴对称
教学目标
课题 13.1.1　轴对称 授课人
素养目标 1.认识并欣赏自然界和生活中的轴对称图形，感悟世界中的对称美. 2.理解轴对称、轴对称图形的概念，能识别简单的轴对称图形及其对称轴，能理解轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系，感悟类比方法在研究数学问题中的作用. 3.理解线段的垂直平分线的概念，探索轴对称的基本性质，体会由具体到抽象认识问题的过程.
教学重点 1.理解轴对称、轴对称图形的概念.2.探索轴对称的性质.
教学难点 轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 设计意图 让学生通过观察丰富的生活实例，初步感知轴对称现象，为抽象出轴对称图形的概念做铺垫. 【情境引入】 观察下面的图片： 可以发现，对称现象是普遍存在的．除了对称的美感之外，对称图形还蕴藏着哪些特征呢？ 从今天开始，我们就来学习这方面的知识． 【教学建议】 这里要求学生通过观察图片，展开空间想象，归纳它们的共同特征．除所给图片外，教学中可以结合当地实际，多举出一些对称例子让学生观察，有条件的地方还可以用多媒体技术，向学生展示这种对称性，帮助学生归纳它们的共同特征．
活动二：动手操作，总结特征 设计意图 通过自制对称图案，感受对称图形的特点． 探究点1　轴对称图形 大家各自拿出一张纸，把纸对折，随便剪出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸，铺平，仔细观察剪出的整个图案． 问题1　以上面几个图案为例，它们和我们前面展示的图片相比，是否具有相似的特点？ 是的(都对称)． 【教学建议】 在教学中鼓励学生充分观察、操作，用自己的语言概括这些图形的特征．
教学步骤 师生活动
设计意图 引出轴对称图形的概念. 　问题2　把这几个图案再沿折痕折叠回去，折痕两旁的部分是否完全重合？ 是的，完全重合． 概念引入： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称． 【对应训练】 教材P60练习第1题． 【教学建议】 要提醒学生注意：①轴对称图形的概念中，“两旁的部分”都是同一个图形的，不是两个图形；②对称轴是一条直线，不是线段或射线；③有的轴对称图形，对称轴可能不止一条，如：长方形．
设计意图 通过一些实例引出两个图形成轴对称的概念． 设计意图 探究两个图形成轴对称与轴对称图形的一些性质． 探究点2　两个图形成轴对称 问题1　下面的每对图形有什么共同特点？ 把每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合． 概念引入： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 问题2　请在上面的第3对图形中，标出点A，B，C的对称点A′，B′，C′. 如图所示． 问题3 (1)观察图①，成轴对称的两个图形全等吗？ (2)观察图②中的轴对称图形，如果把它沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ (1)成轴对的两个图形全等． (2)把图②中的轴对称图形沿对称轴分成两个图形后，这两个图形全等、对称(如图③)． 【教学建议】 问题1中，学生能够进行直观判断，指出图形的一些对称轴，并能用折叠的方法验证即可，不要作严格的要求． 【教学建议】 可以给学生说明：对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定对称．
教学步骤 师生活动
设计意图 总结轴对称图形与两个图形成轴对称的关系. 问题4　结合问题3，说一说轴对称图形、两个图形成轴对称的区别与联系. 【对应训练】 教材P60练习第2题． 【教学建议】 轴对称图形与两个图形成轴对称，这二者具有极其紧密的关系．除了探究、总结的这些关系外，以后学生还可以看到，成轴对称的两个图形中的任何一个都可以通过作另一个图形的轴对称图形得到，一个轴对称图形也可以由它的一部分为基础，经过轴对称变换而得到．
设计意图 根据对称的特点，探索两个图形成轴对称的一些性质，提高推理能力． 设计意图 类比图形轴对称的性质，总结轴对称图形的性质． 探究点3　轴对称的性质 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， 点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点． 问题1　连接AA′，设AA′交对称轴MN于点P. (1)点P是AA′的中点吗？ (2)MN与AA′有什么特殊的位置关系？ (1)点P是AA′的中点；(2)MN⊥AA′.理由：因为△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，所以将△ABC沿MN折叠后，点A与点A′重合，所以PA＝PA′(即点P是AA′的中点)，∠MPA＝∠MPA′.又∠MPA＋∠MPA′＝180°，所以∠MPA＝∠MPA′＝90°，即MN⊥AA′. 问题2　连接BB′，CC′，也有与问题1中(1)(2)类似的情况吗？ 有．MN经过BB′，CC′的中点，MN⊥BB′，MN⊥CC′. 概括：对于两个成轴对称的图形，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 概念引入： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 总结： (1)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． (2)不难得到，轴对称图形也有类似的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．例如，在如图的轴对称图形中，对称轴l垂直平分AA′，BB′. 【对应训练】 如图，△PAB是轴对称图形，直线PO是对称轴． (1)∠POA的度数为90°； (2)若AO＝5，则AB＝10. 【教学建议】 这里要提醒学生注意两个地方：一是已知A和A′是对称点，所以折叠后点A与点A′重合；二是重合后说明了两个问题，(1)PA＝PA′，(2)∠MPA，∠MPA′的顶点重合，所以这两个角相等． 【教学建议】 由两个图形成轴对称的性质可以很容易得到轴对称图形的性质，这也说明二者的本质是一致的．
教学步骤 师生活动
活动三：综合运用，巩固提升 设计意图 巩固对轴对称相关性质的掌握. 例　如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，∠BAC＝30°，∠ABC＝130°，A′C′＝6. (1)∠A′C′B′＝20°，AC＝6； (2)若BB′＝4，则OB′＝2； (3)MN与BB′的位置关系如何？BB′与CC′的位置关系如何？说明理由. 解：MN⊥BB′，BB′∥CC′.理由： ∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称， 点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点， ∴MN⊥BB′，MN⊥CC′.∴BB′∥CC′. 【对应训练】 如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于直线l对称，下列说法错误的是（ D ） A．AB＝A′B′ B.∠ABC＝∠A′B′C′ C.点D和点D′到直线l的距离相等 D.BC∥B′C′ 【教学建议】 提醒学生，要看清已知与所求，找对应关系时不要出错.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是轴对称图形？它的对称轴是什么？ 2.什么样的两个图形(成轴)对称？什么叫对称点？ 3.什么是线段的垂直平分线？ 4.轴对称有哪些性质？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P64习题13.1第3，4，5，7，8，11题. 2.相应课时训练．
板书设计 13.1.1　轴对称 1.轴对称图形. 2.两个图形(成轴)对称. 3.线段的垂直平分线. 4.轴对称的性质．
教学反思 　本节课从生活中的对称现象入手，带领学生认识了轴对称图形、成轴对称的两个图形，并学习了轴对称的相关性质，让学生体会到了数学与生活的联系．今后要给学生强调，除了感性认识外，要多用数学知识更深刻地理解现实问题.
解题大招一　判断轴对称图形的方法
只要能找出一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是图形的一条对称轴．可从多个方向观察图形，直观判断得出结论，必要时可通过折叠的方式验证，或使用学具辅助验证．
判断两个图形是否成轴对称，道理类似．
例1　(1)在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ D ）
解析：选项A，B，C不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分互相重合，所以不是轴对称图形，选项D从中间画一条竖线，左右折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
(2)中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ C ）
(3)如图所示的4组图形中，左右两个图形成轴对称的是第(3)(4)组．
例2　指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
分析：根据轴对称图形的概念，把图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此解题．
解：轴对称图形及它们的对称轴如图所示．
解题大招二　根据轴对称的性质解题
(1)由轴对称，可以得到图形全等，因此也就得到了全等图形的相关性质，如：对应线段相等，对应角相等，图形面积相等．
(2)在轴对称图形、成轴对称的两个图形中，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，由垂直可得90°角或三角形的高，由平分可得线段的相等关系或倍分关系．
例3　如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝10，AD＝9，则图中阴影部分的面积是22.5.
解析：由△ABC关于直线AD对称，易知△CEF和△BEF关于直线AD对称，AD⊥BC，BD＝BC＝5.∴S△BEF＝S△CEF.∴图中阴影部分的面积＝S△ABD.∵S△ABD＝BD·AD＝×5×9＝22.5，
∴图中阴影部分的面积是22.5.
培优点　利用轴对称的性质转化条件进行计算
例题可扫描下面二维码下载获取．

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