资源简介

第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
教学目标
课题 14.1.2　幂的乘方 授课人
素养目标 1.理解幂的乘方的意义，掌握幂的乘方的性质. 2.会进行幂的乘方的计算，在应用幂的乘方的运算性质中，培养学生思维的灵活性. 3.经历幂的乘方是根据乘方的意义和同底数幂的乘法推导出来的过程，发展学生合情推理的意识．
教学重点 理解并掌握幂的乘方的性质．
教学难点 幂的乘方的性质的灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新课 设计意图 从学生已有的知识出发，让学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．在解决问题的过程中产生了新的问题，从而引出本课时. 【情境引入】 一个正方体的棱长是102 mm，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍，那么这个正方体的体积是原来的多少倍？ 首先我们回忆一下正方体的体积公式. 正方体的体积等于棱长的立方. 所以棱长为102 mm的正方体的体积为V＝(102)3 mm3. 如果棱长扩大为原来的10倍，即棱长变为102×10 mm ，即103 mm，此时正方体的体积变为 V′＝(103)3 mm3.. (102)3，(103)3很显然不是最简，接下来我们就来学习怎样将其化为最简！ 【教学建议】 回忆旧知的时候教师鼓励学生回答，唤醒旧知，解决问题的时候可小组讨论，待学生有了初步的解答之后，教师再做讲解.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 为突出幂的乘方的性质导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质，以具体指数出发，层层深入，导出性质，使学生更好理解，更快掌握．再以例题和对应训练巩固对此性质的理解和运用. 探究点　幂的乘方的性质 知识回顾 接下来，我们回顾一下同底数幂的乘法的性质： am·an＝am＋n.(m，n都是正整数). 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 93×95＝93＋5＝98， a6·a2＝a6＋2＝a8. 探究　根据乘方的意义回答： (1)(32)3表示什么？32×32×32； (2)(a2)3表示什么？a2·a2·a2； (3)(am)3表示什么？am·am·am 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)(32)3＝32×32×32＝32＋2＋2＝32×3＝36； (2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a2＋2＋2＝a2×3＝a6； (3)(am)3＝am·am·am＝am＋m＋m＝am×3＝a3m(m是正整数). 发现：对于任意底数a与任意正整数m，n， 【教学建议】 对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明．以探究中的(a2)3为例，要再一次说明2＋2＋2可以写成2×3.这是导出幂的乘方的性质的关键，务必使学生真正理解. 【教学建议】 教师可跟学生说明一下：跟同底数幂的乘法性质一样，此性质也可推广如下：[(am)n]p＝amnp(m，n，p 都是正整数). 【教学建议】 例题是性质的应用，教学时的侧重点应是帮助学生进一步理解性质．例如对于计.
教学步骤 师生活动
公式引入 因此，我们有(am)n=amn(m，n都是正整数). 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 下面让我们一起来解决活动一的问题吧！ (102)3=102×3=106；(103)3=103×3=109. 于是就求出了V=106mm3，V′=109mm3. 例(教材P96例2)计算： (1)(103)5；(2)(a4)4； (3)(am)2；(4)-(x4)3. 解：(1)(103)5=103×5=1015； (2)(a4)4=a4×4=a16； (3)(am)2=am×2=a2m; (4)-(x4)3=-x4×3=-x12. 【对应训练】 教材P97练习. 算(103)5,利用幂的乘方的性质，得103×5=1015.得到结果的同时，可以让学生重述性质的语言表述，使之进一步明确“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的含义. 对应训练中练习第(4)题是计算(a2)3·a5，计算时，应先用幂的乘方的性质得到a6·a5,再利用同底数幂的乘法的性质得到a6·a5=a11. 这里依次运用了两个性质，要注意学生因为对指数概念理解不清可能发生的错误.纠正错误的方法是在教学中注意强调每一性质得出的根据，在学生理解的基础上进行练习，做到计算正确、娴熟.
活动三：拓展提高，巩固升华 设计意图 补充此例题是告诉学生当底数为多项式或为负数或底数和指数都为字母时，该如何运用性质解题，强化学生的运算能力. 例 计算：（1）[（-a）3]2 （2）(am+1)3 （3）[（m-n）2]4 解：（1）[（-a）3]2=（-a）3×2=（-a）6=a6； （2）(am+1)3=a3（m+1）=a3m+3； （3）[（m-n）2]4=（m-n）2×4=（m-n）8. 【对应训练】 计算：（1）[（-x）2]3；（2）[(a-b)3]4;（3）（y2）2n·（-y）. 解：（1）[（-x）2]3=（x2）3=x2×3=x6； （2）-[(a-b)3]4=-（a-b）3×4=-（a-b）12； （3）（y2）2n·（-y）=y2×2n·（-y）=-y4n·y=-y4n+1. 【教学建议】 当底数为多项式时，把多项式看作一个整体，如例（3）底数为“m-n”，注意（1）中的底数为“-a”.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 幂的乘方的性质导出的依据是什么？幂的乘方的性质是什么？用式子如何表示？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P104习题14.1第1（3）（4）题. 2.相应课时训练.
板书设计
教学反思 　 教学反思幂的乘方的性质的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解幂的乘方的性质.
解题大招一　含幂的乘方的混合运算的解法
依据“先乘方，后乘除”，应先进行幂的乘方运算，因为幂的乘方运算的结果是同底数的幂，所以再进行同底数幂的乘法运算，再进行加减运算．
例1　计算：(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；
(2)[(x－y)3]2＋[(x－y)2]3.
解：(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10＝－a2·a2·a6＋a10＝－a10＋a10＝0.
(2)[(x－y)3]2＋[(x－y)2]3＝(x－y)3×2＋(x－y)2×3＝(x－y)6＋(x－y)6＝2(x－y)6.
解题大招二　幂的乘方的性质的逆用
例2　填一填：
(1)若x2＝5，则x8＝625；
(2)若2a＝16，则4a＝256；
(3)若am＝2，an＝5，则a2m＋n＝20.
解析：(1)x8＝x2×4＝(x2)4＝54＝625；
(2)4＝22，所以4a＝(22)a＝(2a)2＝162＝256；
(3)a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×5＝20.
解题大招三　整体思想与幂的乘方结合求式子的值
先将所求式子化为同底数幂相乘的形式，得到指数为字母式子的形式，再将已知式往所求的指数的形式上面靠拢，通常已知式变形后可作为一个整体直接代入，或乘某个系数后代入计算．
例3　已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
分析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法的性质即可得到结果．
解：因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，所以4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
培优点一　根据幂的乘方的关系，求式子的值
例1　已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，求x＋y的值．
分析：根据幂的乘方与幂的乘方公式转化得到x和y的方程组，求出x，y，再计算式子的值．
解：由2x＝8y＋1，9y＝3x－9，得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则
解得
所以x＋y＝7＋3＝10.
培优点二　逆用幂的乘方的性质比较数的大小
例2　请看下面的解题过程：
比较2100与375的大小．
解：因为2100＝(24)25，375＝(33)25，24＝16，33＝27，16＜27，所以2100＜375.
请你根据这样的方法，比较3100与560的大小．
分析：首先理解题意，然后可得3100＝(35)20，560＝(53)20，再比较35与53的大小，即可求得答案．
解：因为3100＝(35)20，560＝(53)20，35＝243，53＝125，243＞125，所以3100＞560.

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