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第3课时　多项式与多项式相乘
教学目标
课题 14.1.4　第3课时　多项式与多项式相乘 授课人
素养目标 1.理解多项式与多项式相乘的运算法则，能够按多项式乘法的运算步骤进行简单的乘法运算，强化运算能力. 2.经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理，进一步渗透转化思想. 3.运用多项式与多项式相乘的法则解决实际问题，培养应用意识.
教学重点 多项式与多项式相乘的法则的理解及应用．
教学难点 多项式乘法法则的综合运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习导入，引入新课 设计意图 本节课是以单项式乘多项式为基础展开的，复习此知识，为学习新知做好准备. 【复习导入】 练习：计算：(1)x(x3－3x＋1)；(2)6mn(2m＋3n－1). 问题　请大家一起回忆一下上节课学习的单项式与多项式相乘的乘法法则是什么. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 在计算过程中，我们运用了分配律，那么，我们能否运用分配律来计算多项式乘多项式呢？就让我们一起进入本节课的学习吧！ 【教学建议】 请学生独立完成练习，然后和自己的同桌交流，核对答案，教师集体订正．对于提问，可请同学发言回答，教师再将规范答案展示.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 从实际问题出发，激发学生的兴趣，培养学生的应用意识．恰当地渗透数形结合思想，将抽象的代数运算直观化，使学生易于理解、容易接受. 探究点　多项式与多项式相乘 问题1　如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 方法一：扩大后仍为长方形，分别求出扩大后的绿地的长和宽， 长为：(a＋b)m，宽为：(p＋q)m，面积(单位：m2)＝长×宽＝(a＋b)(p＋q)．① 方法二：把扩大后的绿地面积看成四个小长方形面积的和，故分别求小长方形的面积，再求面积和，即面积(单位：m2)＝ap＋aq＋bp＋bq.② 问题2　这两种不同的表示方法之间有什么关系？ 由于①②是求的同一个量， 因此(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法. 多项式乘多项式计算(a＋b)(p＋q)，可以先把其中的一个多项式，如p＋q，看成一个整体，这样就把多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘的问题，得 【教学建议】 对于把p＋q看成一个单项式，因为学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把p＋q看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了.
教学步骤 师生活动
设计意图 通过例题可使学生学会解题格式与思考过程．让学生参与到教学活动之中，领会多项式乘法的运算方法以及需注意的问题. 再利用单项式与多项式相乘的法则，得 a(p＋q)＋b(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq. 总体上看，(a＋b)(p＋q)的结果可以看作a＋b的每一项乘p＋q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即 法则引入 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 例　(教材P101例6)计算： (1)(3x＋1)(x＋2)；　(2)(x－8y)(x－y)；　(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)． 解：(1)(3x＋1)(x＋2) ＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2 ＝3x2＋6x＋x＋2 ＝3x2＋7x＋2； (2)(x－8y)(x－y) ＝x2－xy－8xy＋8y2 ＝x2－9xy＋8y2； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2) ＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3 ＝x3＋y3. 教师归纳　对于多项式相乘要注意以下几点： (1)要防止两个多项式相乘直接写出结果时“漏项”．检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积．如计算 (a＋b)(p＋q)， 积的项数是2×2＝4，即 ap，aq，bp，bq 四项．当然，如果有同类项，则应合并同类项，得出最简结果． (2)多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号． 【对应训练】教材P102练习第1，2题． 【教学建议】 对于法则中的前后两个“每一项”，要让学生理解并掌握． 不难将该法则推广到三个及以上多项式相乘的情况． 【教学建议】 讲解例题时可引导学生观察前两个题目都是项数为2的两个多项式相乘，后一个是一个项数为2、一个项数为3的两个多项式相乘，可以按照法则的“语言叙述”，按部就班地来做这个例题． 【教学建议】 对应训练的第1(3)题和第1(4)题是一种特殊形式的整式乘法，它们就是后面要学习的两个乘法公式．
活动三：补充新知，巩固提高 设计意图 整式乘法的混合运算是常考点，补充例题强化学生的运算能力． 例　计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)． 解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4) ＝6a2－9a＋2a－3－(6a2－24a－5a＋20) ＝6a2－7a－3－6a2＋29a－20 ＝22a－23. 【对应训练】 教材P105习题14.1第8(1)题． 【教学建议】 教学中需提醒学生在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 多项式乘多项式的法则是什么？多项式与多项式相乘要转化成什么？运用了什么运算律？多项式与多项式相乘要注意些什么？
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P104～106习题14.1第5，8(2)，11题. 2.相应课时训练．
板书设计 第3课时　多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
教学反思 　 本节课知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础.
解题大招一　多项式乘多项式的化简求值
例1　先化简，再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y)，其中x＝－1，y＝2.
解：原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－(2x2－8xy－xy＋4y2)
＝x2＋xy－6y2－2x2＋9xy－4y2
＝－x2＋10xy－10y2.
当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22＝－61.
解题大招二　多项式乘多项式的实际应用
例2　千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b) m，宽为(2a＋b) m的长方形
地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点
(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
分析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．
解：由题意，得绿化的面积是(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝(5a2＋3ab)m2.
当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63.
答：绿化的面积是(5a2＋3ab)m2.当a＝3，b＝2时的绿化面积为63 m2.
解题大招三　多项式乘多项式的几何解释
解此类题从“整体”和“部分”两个方面分别用式子表示大长方形的面积即可．
例3　(2023·忻州忻府区期末)观察图形，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（ A ）
A．(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2　　　　　B．(a＋b)(2a＋b)＝2a2＋3ab＋b2
C．(a＋b)(a＋2b)＝2a2＋3ab＋b2 D．(a＋b)(2a＋b)＝a2＋3ab＋2b2
解析：把整体看成是长为a＋2b，宽为a＋b的长方形，则面积为(a＋2b)(a＋b)；把整体看成是由6个部分组成的面积和，则面积为a2＋3ab＋2b2.因此有(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，故选A.
　解题大招四　多项式与多项式乘法中的“不含”问题
多项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，令这一项的系数为0即可求解．
例4　(1)要使多项式(x－m)(x－n)的展开式中不含x的一次项，则（ A ）
A．m＋n＝0 B．mn＝1 C．m＝n D．mn＝－1
解析：根据多项式乘多项式的法则进行展开，(x－m)(x－n)＝x2－nx－mx＋mn＝x2－(n＋m)x＋mn，再根据(x－m)(x－n)的展开式中不含x的一次项，可得m＋n＝0.故选A.
(2)(2023·乌鲁木齐期末)若x＋m与x2－x＋2的乘积中不含x的二次项，则实数m的值为1.
解析：(x＋m)(x2－x＋2)＝x3－x2＋2x＋mx2－mx＋2m＝x3＋(m－1)x2＋(2－m)x＋2m.根据题意，得m－1＝0，解得m＝1.
培优点一　多项式乘法的“无关”型问题
例1　(2023·洛阳期中)[知识回顾]
有这样一类题：代数式ax－y＋6＋3x－5y－1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题方法：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，即原式＝(a＋3)x－6y＋5.因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，所以a＋3＝0，即a＝－3.
[理解应用]
(1)若关于x的多项式(2m－3)x＋2m2－3m的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知3[(2x＋1)(x－1)－x(1－3y)]＋6(－x2＋xy－1)的值与x的取值无关，求y的值；
[能力提升]
(3)如图①，小长方形纸片的长为a，宽为b，有7张如图①所示的纸片按照图②
所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分未被覆盖(图中
阴影部分)，设右上角阴影部分的面积为S1，左下角阴影部分的面积为S2，当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
分析：(1)令2m－3＝0，解出m的值即可；(2)将原式中的y看作系数合并同类项，令x的系数为0，求出y的值即可；(3)设AB＝x，根据图形分别将S1和S2用x，a和b表示出来，求出S1－S2的表达式，并合并同类项，令x的系数为0，求出a和b的等量关系即可．
解：(1)因为关于x的多项式(2m－3)x＋2m2－3m的值与x的取值无关，所以2m－3＝0，所以m＝.
(2)3[(2x＋1)(x－1)－x(1－3y)]＋6(－x2＋xy－1)
＝3(2x2－x－1－x＋3xy)－6x2＋6xy－6
＝15xy－6x－9
＝(15y－6)x－9.
由题意知15y－6＝0，解得y＝.
(3)设AB＝x，由图形得S1＝a(x－3b)，S2＝2b(x－2a)．所以S1－S2＝a(x－3b)－2b(x－2a)＝(a－2b)x＋ab.
因为S1－S2的值始终保持不变，所以(a－2b)x＋ab的值与x的值无关，所以a－2b＝0，所以a＝2b.
培优点二　多项式乘多项式中的“抄错项”问题
例2　小刚同学在计算(2x＋a)(3x－2)时，由于他抄错了a前面的符号，把“＋”写成了“－”，导致他在后面每一步都算对的情况下得到的结果为6x2＋bx＋10.
(1)求a，b的值；
(2)计算这道题的正确结果．
思路分析：
解：(1)由题意，得(2x－a)(3x－2)＝6x2－(4＋3a)x＋2a＝6x2＋bx＋10.
所以解得
(2)由(1)知，a＝5，所以(2x＋a)(3x－2)＝(2x＋5)(3x－2)＝6x2－4x＋15x－10＝6x2＋11x－10.

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