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第6课时　多项式除以单项式
教学目标
课题 14.1.4　第6课时　多项式除以单项式 授课人
素养目标 1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则. 2.运用多项式除以单项式的法则，熟练、准确地进行计算. 3.通过经历多项式除以单项式法则的推导过程，培养学生的抽象概括能力，训练学生综合理解能力和运算能力.
教学重点 多项式除以单项式的法则及应用．
教学难点 理解多项式除以单项式法则的推导过程.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 用实际问题激发学生强烈的好奇心和求知欲，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，并借此引出新课. 【情境导入】 张大爷家一块长方形的田地，它的面积是6a2＋2ab，宽为2a，聪明的你能帮助张大爷求出田地的长吗？ 首先让我们一起回忆一下长方形的面积公式：面积＝长×宽，所以田地的长＝面积÷宽，列式为(6a2＋2ab)÷2a. 怎么计算这个式子呢？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！ 【教学建议】 教师用课件展示问题，并帮学生梳理清楚条件和数量关系，然后让学生独立思考再进行小组讨论，教师请代表发言.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 由于多项式除以单项式最终是要转化为单项式除以单项式的，所以先对单项式相除的法则进行复习，然后以典例来帮助学生理解多项式除以单项式法则的推导过程，培养学生的推理能力和语言表达能力，再以例题和练习巩固所学的内容. 探究点　多项式除以单项式 问题1　先完成练习，再回忆一下上节课我们学习的单项式除以单项式的法则是什么？ 8a3÷(－2a)＝－4a2；　　a6b2÷(ab)2＝a4. 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 问题2　如果被除式是多项式，又该怎么做呢？ 例如，计算(am＋bm)÷m. 首先，根据分配律，有(a＋b)m＝am＋bm， 根据除法是乘法的逆运算，得(am＋bm)÷m＝a＋b.① 又am÷m＋bm÷m＝a＋b，② ①＝②，所以(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m. 就这样，我们把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决了. 问题3　怎么用文字来叙述多项式除以单项式的方法呢？ 法则引入 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 根据这个法则，我们就能解决活动一中的问题了！ 【教学建议】 教学中对于法则的推导过程，需让学生理解清楚前因后果，每一步的依据，方法仍是利用乘除运算的互逆关系，思想方法仍是“转化”思想.
教学步骤 师生活动
. 即，张大爷家的田地的长为3a＋b. 例　[教材P103例8(3)]计算：(12a3－6a2＋3a)÷3a. 解：(12a3－6a2＋3a)÷3a ＝12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a ＝4a2－2a＋1. 【对应训练】教材P104练习第3题. 【教学建议】 讲解例题和习题时需提醒学生多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项.
活动三：典例精析，补充新知 设计意图 整式的混合运算是重点也是常考点，补充例题和练习以强化学生的运算能力. 例　[教材P124第6(4)题] 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y. 解：原式＝[(x3y2－x2y)－(x2y－x3y2)]÷3x2y ＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2)÷3x2y ＝(2x3y2－2x2y)÷3x2y ＝xy－. 【对应训练】 计算：[ab3(3a－2)－b3(a2－2ab)]÷(－ab2). 解：[ab3(3a－2)－b3(a2－2ab)]÷(－ab2) ＝(a2b3－ab3－a2b3＋2ab4)÷(－ab2) ＝(a2b3－ab3＋2ab4)÷(－ab2) ＝－ab＋2b－4b2. 【教学建议】 符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号，多项式可以看成“代数和”的形式.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 多项式除以单项式的法则是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P104～106习题14.1第6(5)(6)题. 2.相应课时训练．
板书设计 第6课时　多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
教学反思 　 在教学过程中，我们注重体现教师的导向作用和学生的主体地位，尽力引导学生成为知识的发现者，为学生创设情境，从而不断激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生轻松愉快地学习．不断克服学生学习中的被动情况，使其在教学过程中不仅掌握知识，同时发展智力并受到教育.
解题大招一　整式的混合运算
1．掌握运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
2．多项式里的每一项分别与单项式相除时，要逐项计算，不能漏项，并且要注意符号的变化．
例1　计算：
(1)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)；
(2)[a(a－b)－(a－2b)2]÷b；
(3)(x＋y)(x－3y)＋(2x2y＋6xy2)÷2x.
解：(1)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1；
(2)原式＝(a2－ab－a2＋4ab－4b2)÷b＝(3ab－4b2)÷b＝3a－4b；
(3)原式＝x2－3xy＋xy－3y2＋(xy＋3y2)＝x2－3xy＋xy－3y2＋xy＋3y2＝x2－xy.
解题大招二　利用整式的乘除化简求值
先将式子化简，再代入具体数值进行计算．若不能直接代入，可先利用整体思想将已知条件进行变形，再代入求值．
例2　先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2，y＝4.
解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y＝(x3y－x2y2)÷x2y＝x－y.
当x＝2，y＝4时，x－y＝2－4＝－2.
培优点一　多项式除以单项式中的求未知项问题
例1　小明课堂笔记上的一道题为(21x4y3 7x2y2)÷(－7x2y)＝－3x2y2＋5xy，被除式的第二项被墨水弄污了，商的一部分也看不清了，这两处应分别是－35x3y2，－y.
分析：从等式中可以找出被除式和商式中对应的项，根据“被除式＝除式×商式”确定所求的项．
解析：根据题意得5xy·(－7x2y)＝－35x3y2，7x2y2÷(－7x2y)＝－y，因此这两处应分别是－35x3y2，－y.
培优点二　整式除法中的“看错”问题
例2　已知A，B均为整式，A＝(xy＋1)(xy－2)－2x2y2＋2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“－”，这样他计算的正确结果为－x2y2.
(1)将整式A化为最简形式；
(2)求整式B；
(3)求A÷B的正确结果．
分析：(1)根据整式混合运算的顺序和法则进行化简即可；
(2)由题可知A－B＝－x2y2，已知A，即可求出B；
(3)按照多项式除以单项式的法则计算即可．
解：(1)A＝(xy＋1)(xy－2)－2x2y2＋2
＝x2y2－2xy＋xy－2－2x2y2＋2
＝－x2y2－xy.
(2)由题意，得A－B＝－x2y2.
由(1)知A＝－x2y2－xy，
所以－x2y2－xy－B＝－x2y2，
所以B＝－xy.
(3)由(1)知A＝－x2y2－xy，由(2)知B＝－xy.
所以A÷B＝(－x2y2－xy)÷(－xy)＝xy＋1.
故A÷B的正确结果为xy＋1.

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