资源简介

14.2　乘法公式
14．2.1　平方差公式
教学目标
课题 14.2.1 平方差 授课人
素养目标 1.理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景. 3.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.
教学重点 平方差公式的推导和应用.
教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 设计意图 以生活中的趣味数学问题引入，激发学生强烈的好奇心和求知欲. 【情境导入】 问题王先生去商店买了单价9.8元的糖果10.2kg，售货员刚拿起计算器，王先生就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相同.售货员惊讶地问：“你怎么算得这么快 ”王先生说：“我利用了一个公式.”你知道王先生用的是什么数学公式吗 学了本节之后，你就能解决这个问题了. 【教学建议】 教师可通过课件展示问题，组织学生展开讨论，鼓励学生发言，锻炼学生的表达能力.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 1.让学生运用前面已掌握的多项式乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备. 2.由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力. 探究点 平方差公式 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1)(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1； (2)(m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m2-4； (3)(2x+1)(2x-1)=4x2-2x+2x-1=4x2-1. 发现：等号左边是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘，根据多项式乘多项式的法则有： (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 因此，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a+b)(a-b)=a2-b2. 怎么用文字来描述呢？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫做（乘法的）平方差公式. 思考 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？ 【教学建议】 正确运用平方差公式的关键，除了要掌握这一公式的结构特征外，还要理解公式中字母的广泛含义.在目前，可以向学生说明公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等式子.只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式. 由于学生的认知能力有一个发展过程，理解字母的广泛含义也要由易到难地逐步安排.教学时，不要操之过急.
教学步骤 师生活动
3.通过操作图形变换，让学生建立形与数的联系，培养学生的几何直观. 　分析： (1)图①中阴影部分的面积为a2－b2； (2)将阴影部分拼成图②的一个长方形，这个长方形的长是a＋b，宽是a－b，面积为(a＋b)(a－b). 问题　比较前面(1)(2)中的结果，你有什么发现？ 根据拼接前后阴影部分的面积不变，可以得出(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 这就是平方差公式的直观的几何意义. 例　(教材P108例1)运用平方差公式计算： (1)(3x＋2)(3x－2)；　　(2)(－x＋2y)(－x－2y). 分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 解：(1)(3x＋2)(3x－2) ＝(3x)2－22 ＝9x2－4； (2)(－x＋2y)(－x－2y) ＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2. 思考　你还有其他的计算方法吗？ 所有的可应用公式的乘法，都可以用一般的多项式乘法法则来计算. 【对应训练】教材P108练习第1，2(1)(2)题. 【教学建议】 解决思考中的问题时，教师可给同学分发图①和图②的纸片，让学生动手操作，剪一剪，拼一拼，帮助学生理解. 还需提醒学生，平方差公式的几何意义就是用两种方式表示相同的面积. 【教学建议】 教师引导学生识别是否符合平方差公式的条件，这是运用平方差公式的关键．其结构特征为：①等号左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②等号右边是乘式中两项的平方差(即相同项的平方减去互为相反数的项的平方)，为了识别这两个数，有时候需要变形. 【教学建议】 用“”比较直观地指出公式中的字母a，b分别代表3x和2，充分利用直观讲解，会取得较好效果，在教学中要予以足够的重视.
活动三：典例精析，巩固提高 设计意图 “精讲精练”，让学生在训练中掌握巩固对平方差公式的应用. 例　(教材P108例2)计算： (1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；　　　(2)102×98. 解：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5) ＝y2－22－(y2＋4y－5) ＝y2－4－y2－4y＋5 ＝－4y＋1； (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10 000－4＝9 996. 【对应训练】 1.教材P108练习第2(3)(4)题. 2.试利用平方差公式算一算9.8×10.2. 解：9.8×10.2＝(10－0.2)(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96. 【教学建议】 在例题的学习中，可以让学生观察题目是否符合公式的条件，即两个数是什么，是不是这两个数的和与差相乘，然后再按公式计算．如例题的第(2)小题102×98，经过仔细观察，可首先把原式变形为102×98＝(100＋2)×(100－2)，才能确定a，b分别对应100，2.
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活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是平方差公式(用式子和文字分别表述)？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P112习题14.2第1，5题. 2.相应课时训练．
板书设计 14.2　乘法公式 14.2.1　平方差公式 符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
教学反思 　本节课通过“探究”发现平方差公式，并用多项式乘多项式的法则推导了平方差公式，同时通过“思考”用几何方法证明了平方差公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式，不仅积累了数学活动的经验，也进一步发展了学生的符号感、推理能力、归纳能力、表达能力，同时体会数学的简洁美.
解题大招一　识别平方差公式进行计算
例1　计算：
(1)(－2a－b)(b－2a)；
(2)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(3)(－x－0.7a2b)(x－0.7a2b)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(2)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(3)(－x－0.7a2b)(x－0.7a2b)＝(－0.7a2b)2－(x)2＝0.49a4b2－x2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
解题大招二　应用平方差公式进行简便运算
1．运用平方差公式计算两数乘积时，关键是将这两个数相乘变形成两数的和与这两数的差的积的形式，有时需要先把负号提出才方便变形．
　例2　利用平方差公式简便计算：
(1)20×19；　　　(2)13.2×12.8.
分析：(1)把20×19写成(20＋)(20－)的形式，然后利用平方差公式进行计算；
(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)(13－0.2)的形式，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
2．可以考虑将式子中的某些数变形“凑”成平方差公式的形式，再依次运用平方差公式计算．
例3　计算：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)．
解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
＝(34－1)(34＋1)(38＋1)
＝(38－1)(38＋1)
＝316－1.
解题大招三　利用平方差公式化简求值
利用平方差公式展开并合并同类项，然后把已知的值代入进行计算即可得解．
例4　先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
培优点一　平方差公式的实际应用
例1　王大伯家把一块边长为a m的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4 m，另外一边增加4 m，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
分析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后图形的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由：
原正方形的面积为a2 m2，改变边长后的图形面积为(a＋4)(a－4)＝(a2－16)m2.
因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了．
培优点二　平方差公式的几何背景
例2　如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
解析：因为左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

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