资源简介

第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
教学目标
课题 14.3.2　第1课时　利用平方差公式分解因式 授课人
素养目标 1.理解平方差公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点. 2.能用平方差公式进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力. 3.经历探索利用平方差公式进行因式分解的推导过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.
教学重点 利用平方差公式分解因式．
教学难点 领会分解因式的解题步骤和分解因式的彻底性.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习导入，引出新课 设计意图 通过复习上节课学习的因式分解的概念和提公因式法分解因式，引出不能用此法分解的式子，激发学生的好奇心和探索欲，从而引出新课. 【复习导入】 问题1　首先想请大家回忆一下上节课我们学习的因式分解的概念是什么？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解. 接下来大家动动手，分解因式： (1)5a－10ab；　　　(2)6p(p＋q)－4q(p＋q)； (3)2mx－6my; (4)－3x2＋6xy－9xz. 解：(1)原式＝5a(1－2b)；　　(2)原式＝2(p＋q)(3p－2q)； (3)原式＝2m(x－3y); (4)原式＝－3x(x－2y＋3z). 问题2　以上的分解因式大家用的是什么方法呀？ 提公因式法. 那我们再来看两个题：分解因式：x2－25，9x2－y2.大家试一试！ 问题3　用提公因式法还能将它们分解因式吗？ 我们发现提公因式法无法使用，那怎么才能将它们分解因式呢？这就是我们今天这节课要学习的内容！ 【教学建议】 对于练习部分，先让学生独立演算，之后与同桌互相订正，教师最后集体订正．对于问题，教师鼓励学生踊跃举手发言展示自己，表达自己.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 从学生已有的知识出发，慢慢自我构建新知识，增强学生的自信心．通过问题培养学生的逆向思维能力．让学生经历思考、探究、交流、归纳的过程，从而掌握新知. 探究点　利用平方差公式分解因式 请同学们计算下列各式(大家在下面做，两位同学上台板演)： (1)(x＋5)(x－5)；　　　　(2)(3x＋y)(3x－y). 解：(1)(x＋5)(x－5)＝x2－52＝x2－25； (2)(3x＋y)(3x－y)＝(3x)2－y2＝9x2－y2. 问题1　大家说说计算的依据是什么呢？ 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 根据上面两道题，请大家试着分解因式(大家在下面做，两位同学上台板演)： (1)x2－25; (2)9x2－y2. 解：(1)x2－25＝(x＋5)(x－5)；(2)9x2－y2＝(3x＋y)(3x－y). 问题2　同学们发现了什么规律呢？ 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果. 问题3　我们把这些式子推广到一般式a2－b2，它有什么特点呢？你能将它分解因式吗？ 【教学建议】 教师引导学生完成题目，并运用数学“互逆”的思维，寻找因式分解的规律. 【教学建议】 平方差公式前面已经学过，这里要提醒学生注意此处语言叙述的顺序与乘法公式中的平方差公式不相同．这里是：“两个数的平方差，等于……”，而乘法公式中平方差公式的语言叙述为：“两个数的和与这两
教学步骤 师生活动
设计意图 问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素. 这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的等号两边互换位置，就得到 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 这样，我们就得到了将形如a2－b2的式子分解因式的办法了！下面我们来看两个例题． 例　(教材P116例3)分解因式： (1)4x2－9；　　　　(2)(x＋p)2－(x＋q)2 分析：在(1)中，4x2＝(2x)2，9＝32，4x2－9＝(2x)2－32； 在(2)中，把x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p＝m，x＋q＝n，则原式化为m2－n2. 解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)； (2)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q). 【对应训练】 教材P117练习第1，2(1)(2)题. 　　 个数的差的积等于这两个数的平方差”. 对于平方差公式中的字母a，b，教学中还要强调一下，它们可以表示数，也可以表示含字母的整式． 【教学建议】 例题(1)中两项字母的系数都不是1，为使公式中的a2和b2分别相当于已给的多项式的两项，要经过简单变形．为了能熟练运用这个公式，最好让学生熟记1到20这些正整数的平方.
活动三：典例探究，巩固提升 设计意图 此活动的设计主要是以典例探究的形式强调分解因式要彻底的问题，并结合了上节课的提公因式法和本节课学习的公式法，体现了前后知识的关联性和完整性. 多步分解因式 问题1　请同学们按照我们刚学的公式法来分解因式：x4－y4.看看大家会遇到什么新的问题呢？ x4－y4可以写成(x2)2－(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了，即x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2). 问题2　有同学得到这样的答案，大家思考一下，这个因式分解彻底了吗？这是正确答案吗？ 有同学已经注意到了x2－y2还能分解！所以正确的解题过程是： x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y). 我们再来看一个例题：分解因式：a3b－ab. 分析：a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，剩下a2－1，根据上一题的经验，我们发现此式子还可以进一步分解，具体过程如下. 解：a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1). 【对应训练】 教材P117练习第2(3)(4)题． 【教学建议】 教师提醒学生分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．目前只在有理数范围内进行因式分解． 【教学建议】 教学中教师需强调若多项式的各项含有公因式，通常先提公因式，再进一步分解因式．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 怎样利用平方差公式分解因式？用式子如何表示？分解因式时，必须遵循什么原则？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P119习题14.3第2，4(2)题． 2.相应课时训练．
教学步骤 师生活动
板书设计 14.3.2　公式法 第1课时　利用平方差公式分解因式 符号语言：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 文字语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
教学反思 　上一节课已经学习了利用提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与整式乘法的互逆关系，本节课通过对乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的逆向变形，容易得出a2－b2＝(a＋b)(a－b)，但准确理解和掌握公式的结构特征，进行因式分解对学生来说还有很大的难度，学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强.
解题大招一　利用平方差公式分解因式
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．如遇到不能直接套用公式，则将原式转化为两个式子的平方差的形式后，再运用平方差公式分解因式．
例1　分解因式：
(1)a4－b4；　　　　　(2)x3y2－xy4；　　　　　(3)(a＋b)2－4a2；　　　　　(4)9x2(a－b)＋y2(b－a)．
解：(1)a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)x3y2－xy4＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)；
(3)(a＋b)2－4a2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)；
(4)9x2(a－b)＋y2(b－a)＝9x2(a－b)－y2(a－b)＝(a－b)(9x2－y2)＝(a－b)(3x＋y)(3x－y)．
解题大招二　利用因式分解进行简便运算
对于形如“a2－b2”的数字类式子，可直接运用或简单变形后运用平方差公式进行简便运算，其中“1”可看作“12”．
例2　用简便方法计算：
(1)1012－992; (2)1－9992; (3)5722×－4282×.
解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝200×2＝400；
(2)1－9992＝(1＋999)(1－999)＝1 000×(－998)＝－998 000；
(3)5722×－4282×＝×(5722－4282)＝×(572＋428)(572－428)＝×1 000×144＝36 000.
解题大招三　利用平方差公式分解因式再求值
有时给出的条件不是字母的具体值，就需要根据题目特点，将一个式子的值整体代入．
例3　已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值．
分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值．
解：因为x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，所以x－y＝－2.
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