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14.2.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
教学目标
课题 14.2.2　第1课时　完全平方公式 授课人
素养目标 1.理解完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 2.经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景. 3.能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.
教学重点 完全平方公式的推导和应用．
教学难点 理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新课 设计意图 用实际问题激发学生的求知欲，并借此引出新课. 【情境导入】 一块边长为a m的正方形试验田，因其边长增加b m，形成四块试验田，以种植不同的新品种．那么增加后的试验田的总面积是多少呢？ 大家都知道了总面积为(a＋b)2，那如何将这个式子展开呢？这就是我们今天这节课要探讨的问题！ 【教学建议】 教师展示课件后让学生思考一下，然后小组讨论，待讨论完成后教师鼓励学生发言回答问题.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到完全平方公式，再用语言把这两个公式表述出来，培养学生的类比、归纳能力和语言表达能力，然后通过探究完全平方公式的几何解释，渗透数形结合思想，培养学生的几何直观和推理能力. 探究点　完全平方公式 探究 根据乘方的意义，我们知道：a2＝a·a，据此计算下列各式，你能发现什么规律？ (1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋2p＋1； (2)(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4； (3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2－2p＋1； (4)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2－4m＋4. 上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，那么(a±b)2应该写成什么样的形式呢？(a±b)2的运算结果有什么规律？ 根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2， 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 我们怎么用文字叙述呢？ 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 【教学建议】 教师在教学中还要引导学生理解这两个公式的结构特征(公式的语言表述也是对公式结构特征的说明)： (1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同. (2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项的积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同，这一点可以给学生
教学步骤 师生活动
设计意图 适时、恰当地安排例题教学，能起到巩固所学知识(公式等)的目的，使学生掌握解题的步骤. 思考　你能根据图①和图②中图形的面积说明完全平方公式吗？ 分析：(1)对于图①你能用两种方法表示出大正方形的面积吗？ 方法一：图①大正方形的边长为a＋b，面积就是(a＋b)2. 方法二：大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为a2，ab，ab，b2.因此，整个面积为a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. 由方法一、方法二可得：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (2)对于图②你能用两种方法表示出正方形①的面积吗？ 方法一：图②中正方形①的边长为a－b，面积为(a－b)2. 方法二：把正方形①的面积看成大正方形的面积a2减去右边和上边两个长为a，宽为b的长方形面积之和，即2ab，此时重复减了④的面积，即b2，应将其补上，也就是a2－2ab＋b2. 由方法一、方法二可得：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 这样，我们便借助几何图形对完全平方公式作了直观的解释！ 问题　接下来请同学们思考一下： (a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？ (－a－b)2＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， (b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2， (a－b)2与a2－b2不一定相等．只有当b＝0或a＝b时，(a－b)2＝a2－b2. 例　(教材P110例3)运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2；　(2)(y－)2. 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2； (2)(y－)2＝y2－2·y·＋()2＝y2－y＋. 【对应训练】教材P110练习第1，2题． 学习这两个公式带来方便，也可能使两者容易混淆，在教学中应注意这一点． 由于这两个公式是继平方差公式之后学习的，所以学生除理解、掌握并运用它们进行计算外，还要与平方差公式一起综合使用，因而学习难度增加了，这是在教学中应注意的第二点． 【教学建议】 对于公式的几何解释，让学生独立完成推导是不太可能的，所以教师要注意引导启发，让学生说出关键点． 【教学建议】 将(a－b)2与a2－b2作差，得(a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab.. 若两式相等，则有2b2－2ab＝0，即b2＝ab.因此，只有在a＝b或b＝0的情况下，两式才相等． 学生答对即可，无需给出上述的严格推导过程．
活动三：典例精析，知识延伸 设计意图 这类数字计算题，容易使学生体会到完全平方公式的用途，激发学生的好奇心和学习积极性． 例　(教材P110例4)运用完全平方公式计算： (1)1022；　　　　(2)992. 解：(1)1022＝(100＋2)2　 (2)992＝(100－1)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝1002－2×100×1＋12 ＝10 000＋400＋4 ＝10 000－200＋1 ＝10 404；　　 ＝9 801. 【对应训练】利用完全平方公式进行简便计算： (1)10.12；　　　　　　　　(2)1982＋2022. 解：(1)10.12＝(10＋0.1)2 (2)1982＋2022＝(200－2)2＋(200＋2)2 ＝102＋2×10×0.1＋0.12 ＝2002－2×200×2＋22＋2002＋2×200×2＋22 ＝100＋2＋0.01 ＝80 008. ＝102.01; 【教学建议】 教师总结：计算一些数的平方时，可根据数的特点，把已知数拆成两数和或差的形式，运用完全平方公式计算．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是完全平方公式(用式子和文字分别表述)？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P112习题14.2第2，4，7题. 2.相应课时训练．
板书设计 14.2.2　完全平方公式 第1课时　完全平方公式 ―→首平方，尾平方，2倍乘积在中央
教学反思 　 本节课的探究方式和上节课类似，把乘法公式作为研究一般多项式乘法基础上的“特例”来处理．在教学过程中，让学生习得乘法公式的同时，充分体会从一般到特殊的数学思想方法．遵循这一研究线索，把特例作为沟通新知识与旧知识的桥梁，训练了学生的逻辑思维能力，很容易把新知识纳入已有的知识体系，形成完整的知识结构.
解题大招一　运用完全平方公式进行简便运算
例1　利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；　　(2)2 0262－2 026×4 050＋2 0252.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝2 0262－2×2 026×2 025＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝1.
解题大招二　含完全平方公式的化简求值
按照混合运算的法则进行计算，将结果化成最简，再将已知值代入计算．有时不能直接代入可考虑将已知式变形，利用整体思想整体代入．
例2　(1)先化简，再求值：(2a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2，其中a＝1，b＝2.
解：(2a2b－2ab2－b3)÷b－(a－b)2＝2a2－2ab－b2－(a2－2ab＋b2)＝2a2－2ab－b2－a2＋2ab－b2＝a2－2b2.
当a＝1，b＝2时，原式＝12－2×22＝－7.
(2)已知a2＋2b2－1＝0，求(a－b)2＋b(2a＋b)的值．
解：(a－b)2＋b(2a＋b)＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2＝a2＋2b2.
因为a2＋2b2－1＝0，所以a2＋2b2＝1，所以原式＝1.
培优点　利用完全平方公式的几何背景与变形求值
例题可扫描下面二维码下载获取．

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