资源简介

14.3　因式分解
14．3.1　提公因式法
教学目标
课题 14.3.1　提公因式法 授课人
素养目标 1.了解因式分解与整式乘法之间的关系. 2.了解因式分解的概念和提公因式法，能确定多项式各项的公因式，并能用提公因式法进行因式分解. 3.在探索因式分解的概念和提公因式法因式分解的过程中体会逆向思维，并启发学生用类比的思想方法思考现实世界.
教学重点 掌握用提公因式法把多项式分解因式．
教学难点 正确地确定多项式的最大公因式.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾导入，引出新课 设计意图 因式分解与整式的乘法是相反的变形，回顾整式的乘法计算为学习本节课做铺垫. 【回顾导入】 计算： (a＋b)(a－b)＝a2－b2； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a－b)2＝a2－2ab＋b2； x(x＋1)＝x2＋x； (x＋1)(x－1)＝x2－1. 利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时候也需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，具体是怎样转化的呢？就让我们一起进入今天的学习吧！ 【教学建议】 学生独立完成练习，互相订正.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 通过跟活动一计算的对比练习，让学生用已有知识解决问题，体会到数学知识带来收获的愉悦感．经历从整式乘法到因式分解的变形过程，让学生感悟数学中的逆向思维. 探究点1　因式分解的概念 将下列多项式写成整式的乘积的形式： a2－b2＝(a＋b)(a－b)； a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； a2－2ab＋b2＝(a－b)2； x2＋x＝x(x＋1)； x2－1＝(x＋1)(x－1). 参照活动一中的计算，我们把式子反过来变形了，现在这些等式的左边是多项式，等式的右边是因式的积的形式. 概念引入： 我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 问题　因式分解与整式乘法有什么联系与区别？ 联系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 【教学建议】 这是本章的理论基础，各种因式分解的方法都是以此作为基础而推导出来的．教学中要紧紧抓住这一关键性的关系式. 要注意让学生区分因式分解与多项式乘法的区别，防止学生出现在进行因式分解当中，半路又做整式乘法的错误.
教学步骤 师生活动
例　下列各式从左到右的变形是否为因式分解？ (x＋1)(x－1)＝x2－1；　　　　　②7x－7＝7(x－1)； ③x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y); ④2x(x－3y)＝2x2－6xy； ⑤y2＋x2－4＝y2＋(x－2)(x＋2). 解：①④⑤不是因式分解，②③是因式分解. 【对应训练】下列各式从左到右的变形是因式分解的是③.(填序号) (m＋3)(m－3)＝m2－9; ②x2－9x＝x(x＋3)(x－3)； ③y2－4y＋4＝(y－2)2; ④a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1. 【教学建议】 教师提醒学生因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变.
设计意图 由学生发现，归纳总结得到公因式的结构组成，让学生体会到自主探究的乐趣．从已学过的分配律得出提公因式法的计算方法，训练学生的逆向思维．例题从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思维. 探究点2　提公因式法 公因式 问题1　观察下列多项式有何共同特点？ 概念引入： 我们把多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 问题2　找公因式的方法是什么呢？请大家从系数、字母、指数三个方面以小组讨论的方式说一说！ 教师归纳 比如：多项式pa＋pb＋pc的公因式是p. 提公因式法 根据分配律有：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc，把这个式子反过来表示，即可得pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c). 这样就把pa＋pb＋pc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式p，另一个因式a＋b＋c是pa＋pb＋pc除以p所得的商. 概念引入： 下面我们来看两个例题： 例1　(教材P115例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式. 分析：①一看系数：8与12的最大公因数是4； 二看字母：a3b2和ab3c的相同字母有a和b； 三看指数：a的最低指数是1，b的最低指数是2；所以公因式是4ab2. 【教学建议】 多项式各项的公因式的概念是学习用提公因式法分解因式的关键，教学时一定要强调多项式“各项都含有的公共的因式”，否则就不是多项式的公因式. 【教学建议】 这里把公因式p提到括号外面，相当于用公因式p去除已知多项式，所得的商式就是另一个因式，再把多项式写成这两个因式的积．教学时，根据分配律来说明把各项的公因式提到括号外面即可，不必说明用公因式去除各项的方法，这样学生接受起来容易些.【教学建议】 提公因式法是因式分解这一节讲授的第一种因式分解的方法，是最基本的也是最重要的因式分解的方法．本节的多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑多项式中字母的指数是字母的情况，例如把多项式an－an＋1＋an＋2(n∈N)分解因式之类的题目一律不要求.
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　解：8a3b2＋12ab3c ＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc ＝4ab2(2a2＋3bc). 问题3　如果例1中提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？ 把8a3b2＋12ab3c提出公因式4ab，得2a2b＋3b2c，我们发现这个式子还有公因式b.因此造成分解因式不彻底. 例2　(教材P115例2)把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式. 解：2a(b＋c)－3(b＋c) ＝(b＋c)(2a－3). 问题4　如何检查因式分解是否正确？ 检查是否漏项的方法是：在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相同，如果相同就说明没有漏项，否则就漏项了. 【对应训练】 教材P115练习第1，2题． 　　本节考虑的系数是指整数系数的情况，以后可能还会遇到分数系数的情况，此时先不要引申和涉及.
活动三：知识延伸，巩固训练 设计意图 由字母过渡到数字，拓宽学生视野，强化因式分解在简便计算中的应用. 例　计算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4. 解：原式＝21×3.14＋62×3.14＋17×3.14 ＝3.14×(21＋62＋17) ＝3.14×100 ＝314. 【对应训练】 教材P115练习第3题． 【教学建议】 教师可让学生自己思考发现式子中每一项的相同点，启发学生把不同的那一项往相同点上转化.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？ 2.什么是公因式？如何找公因式？如何利用提公因式法分解因式？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P119习题14.3第1题. 2.相应课时训练．
板书设计 14.3　因式分解 14.3.1　提公因式法 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2.关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 3.提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
教学反思 　 本节课是因式分解的第一节课，主要内容是建立因式分解的概念和用提公因式法进行简单的因式分解．由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，是数学中对式的基本运算的内容之一，所以本节课采用了“低起点、多归纳、勤练习、快反馈”的教学方法.
解题大招一　找公因式的方法
(1)公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
(2)要善于发现隐蔽的公因式．如a－b与b－a是一对相反数，但它们可以变形为含相同因式的形式．
(3)先确定公因式的系数部分，再确定公因式的字母部分．
例1　(1)多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2的公因式是3ab.
(2)多项式4x(x－2)3－2x(2－x)的公因式是2x(x－2)．
解题大招二　用提公因式法分解因式
(1)当多项式第一项的系数为负数时，一般提出负号，且各项都变号．
(2)当多项式中的某一项恰好与公因式相同时，该项提取公因式后剩下的应是1，不能漏掉．
(3)因式分解常用到以下几个恒等变形：①b－a＝－(a－b)；②(a－b)2＝(b－a)2；③(b－a)3＝－(a－b)3.
例2　把下列各式分解因式：
(1)－4m3＋16m2－26m；
(2)x(b＋c－a)－y(b＋c－a)－(－a＋b＋c)；
(3)6a(b－a)2－2(a－b)3.
解：(1)－4m3＋16m2－26m＝－2m(2m2－8m＋13)；
(2)x(b＋c－a)－y(b＋c－a)－(－a＋b＋c)
＝x(b＋c－a)－y(b＋c－a)－(b＋c－a)
＝(b＋c－a)(x－y－1)；
(3)6a(b－a)2－2(a－b)3＝6a(a－b)2－2(a－b)3
＝2(a－b)2[3a－(a－b)]＝2(a－b)2(2a＋b)．
解题大招三　利用因式分解进行简便运算
如果直接计算太复杂，可以尝试着将某些数字拆分变形，使其有公因式可以提取，简化运算．
例3　计算：(1)39×37－13×91；
(2)1.992＋1.99×0.01.
解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2)1.992＋1.99×0.01＝1.99×(1.99＋0.01)＝3.98.
解题大招四　利用提公因式法求式子的值
在求值问题中，如果不容易求出所求式子中每一个字母的值，那么可考虑提公因式，将所求式子因式分解成含有已知式子的形式，然后利用整体思想整体代入求值．
例4　若x＋y＝10，xy＝1，则x3y＋xy3的值是98.
解析：x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]．
当x＋y＝10，xy＝1时，xy[(x＋y)2－2xy]＝1×(102－2×1)＝98.
培优点　利用提公因式法解决整除问题
例　试说明817－279－913能被15整除．
思路分析
解：因为817－279－913＝(34)7－(33)9－(32)13＝328－327－326＝326×32－326×3－326×1＝326×(32－3－1)＝326×(9－3－1)＝326×5＝325×3×5＝325×15，
所以817－279－913能被15整除．

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