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第2课时　利用完全平方公式分解因式
教学目标
课题 14.3.2　第2课时　利用完全平方公式分解因式 授课人
素养目标 1.理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点. 2.能用完全平方公式进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力. 3.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.
教学重点 利用完全平方公式分解因式．
教学难点 灵活应用公式法分解因式.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习导入，引出新课 设计意图 通过复习前面所学的利用平方差公式分解因式，引出不能用此法分解的式子，激发学生的好奇心和探索欲，从而引出新课. 【复习导入】 上节课我们学习了利用平方差公式分解因式，同学们能用所学的知识完成下面的题目吗？ 分解因式：(1)－9x2＋4y2；(2)(x＋3y)2－(x－3y)2； (3)x2－0.01y2；(4)81a4－16. 那我们再来看两个题. (1)m2－8mn＋16n2； (2)m2＋8mn＋16n2. 大家试一试！看看用前面所学的方法能将它们分解因式吗？ 我们发现不能，那怎么才能将它们分解因式呢？这就是我们今天这节课要学习的内容！ 【教学建议】 对于练习部分，先让学生独立演算，之后与同桌互相订正，教师最后集体订正．并强调分解因式需要分解到不能分解为止.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 根据前面学习利用平方差公式分解因式的经验，慢慢构建利用完全平方公式分解因式的新知，增强学生的自信心．通过问题培养学生的逆向思维能力．让学生经历思考、探究、交流、归纳的过程，从而掌握新知. 探究点1　利用完全平方公式分解因式 计算： (1)(m－4n)2； (2)(m＋4n)2.(大家在下面做，两位同学上台板演) 解：(1)(m－4n)2＝m2－8mn＋16n2； (2)(m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2. 问题1　大家说说计算的依据是什么呢？ 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 根据上面两道题，请大家试着分解因式： (1)m2－8mn＋16n2； (2)m2＋8mn＋16n2.(大家在下面做，两位同学上台板演) 解：(1)m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2； (2)m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2. 问题2　同学们发现了什么规律呢？ 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果. 问题3　我们把这些式子推广到一般式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2，先观察多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？ (学生先独立思考，再小组讨论，最后教师请代表发言) 【教学建议】 教师引导学生总结完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的). 2.有两个同号的平方项. 3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍).
教学步骤 师生活动
设计意图 为了使学生掌握运用完全平方公式分解因式的基本思路和方法，在引出公式后，结合例题作了示范性分析，说明运用公式分解因式的思考过程. 两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．我们把a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式． 请大家判断下列各式是不是完全平方式． (1)a2－2ab－b2；（不是）　　　(2)a2＋b2－2ab；（是） (3)－6xy＋9x2＋y2；（是）(4)x2＋x＋.（是） 问题4　你能将多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2分解因式吗？ 把整式乘法的完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 的等号两边互换位置，就得到 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2， 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 这样，我们就得到了将形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子分解因式的办法了！ 通过上一节课和本节课的探究，我们把整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2和完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2的等号两边互换位置，就得到了用于分解因式的公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 接下来，我们来看两个例题． 例　(教材P118例5)分解因式： (1)16x2＋24x＋9；　　　(2)－x2＋4xy－4y2. 分析：在(1)中，16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2·4x·3，所以16x2＋24x＋9是一个完全平方式，即 解：(1)16x2＋24x＋9＝(4x)2＋2·4x·3＋32 ＝(4x＋3)2； (2)－x2＋4xy－4y2＝－(x2－4xy＋4y2) ＝－[(x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝－(x－2y)2. 【对应训练】教材P119练习第1，2(1)～(4)题． 【教学建议】 这里教学的重点是让学生掌握公式的特点，牢记公式，并且在运用完全平方公式分解因式时，要先进行观察，判断所要分解的多项式是否符合某个公式的特点，特别需注意检验中间的一项是否符合公式． 教学时要求学生通过充分地练习基本类型的题来记忆和运用公式，不要让学生死记硬背． 【教学建议】 这种图示对照的形式，是为了说明怎样运用完全平方公式来分解因式，关键是让学生能够指明哪一项相当于公式中的a2，哪一项相当于公式中的b2，哪一项相当于公式中的2ab.为了让学生看起来直观，这里采用这种对照的形式．学生做作业时不必如此，但让学生练习几道类似的题目对掌握公式有好处．
设计意图 再次强调因式分解需要分解彻底的问题，并以此活动总结因式分解的完整步骤． 探究点2　先提公因式，再用完全平方公式分解因式 问题1　对于多项式2a2＋4ab＋2b2，我们在进行因式分解的时候该怎么做？ 先提公因式化为2(a2＋2ab＋b2)． 问题2　分解因式结束了吗？ 我们发现，还可以继续分解，所以2a2＋4ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2. 按照这个思路，我们来看看下面这个例题． 例　[教材P118例6(1)]分解因式：3ax2＋6axy＋3ay2. 【教学建议】 教师总结： 因式分解的步骤 因式分解时可按下面三个步骤进行，一提公因式，二套公式，三检查．套公式时，若多项式有两项，可考虑用平方差公式法
教学步骤 师生活动
分析：原式中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解. 解：3ax2＋6axy＋3ay2 ＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. 【对应训练】教材P119练习第2(5)～(6)题. 分解因式；若多项式有三项，可考虑用完全平方公式法分解因式．简记为“一提二套三变形，分解彻底才能停”.
活动三：拓展提升，巩固新知 设计意图 通过把一个多项式视为一个整体的处理方式，培养学生的整体思想和转化思想. 例　[教材P118例6(2)]分解因式：(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 分析：将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36. 解：(a＋b)2－12(a＋b)＋36 ＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2. 【对应训练】 分解因式：a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2. 解：原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2. 【教学建议】 教师需提醒学生对于a2±2ab＋b2＝(a±b)2中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．当为多项式时，需把这个式子看作一个整体，再来识别是否符合完全平方式的特点.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是完全平方式？如何利用完全平方公式分解因式？因式分解的步骤是什么？什么是公式法？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P119习题14.3第3，5题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　利用完全平方公式分解因式 符号语言：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 文字语言：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
教学反思 　 本节课在教学过程中，始终关注学生思维品质的培养和锻炼．由乘法公式得到因式分解公式的探索中，运用逆向思维发现新知识；在用公式法因式分解时，通过多项式与公式的对应比较，培养公式化思维；在解决复杂问题时所采用的整体思想，都有效促进了学生思维的发展.
解题大招一　完全平方式概念的分类讨论的解法
完全平方式的特点：首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，所以根据中间项的符号可以是“＋”号，也可以是“－”号分类讨论即可．
例1　若关于x的多项式9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则常数k的值为±12.
解析：因为9x2＝(3x)2，4y2＝(2y)2，
所以－kxy＝±2×3x×2y＝±12xy，所以k＝±12.
解题大招二　利用完全平方公式分解因式
例2　分解因式：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；　　　　(2)(a2＋4)2－16a2.
分析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式x2－8x＋16用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.
解题大招三　利用因式分解进行简便运算
要将计算的式子“凑”成完全平方式，再利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
例3　利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162; (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解：(1)342＋34×32＋162＝342＋2×34×16＋162＝(34＋16)2＝502＝2 500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝(－10)2＝100.
解题大招四　利用完全平方公式分解因式再整体代入求值
先对原式进行变形，将原式转化为含已知式子的形式，然后整体代入计算．
例4　已知a＋b＝5，ab＝6，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
分析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，再运用整体代入的数学思想来解答．
解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝6时，原式＝×6×52＝75.
培优点一　利用因式分解判断三角形的形状
通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负性解答，这是解决此类问题一般的思路．
例1　已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
分析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：△ABC是等边三角形，理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
培优点二　十字相乘法分解因式
例2　【阅读与思考】将多项式x2－x－6分解因式．
这个多项式的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫做“十字相乘法”．
因此，x2－x－6＝(x＋2)(x－3)．
试用上述方法分解因式：x2＋7x－18.
分析：
解：7＝－2＋9，－18＝－2×9，则x2＋7x－18＝(x－2)(x＋9)．

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