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第2课时　列分式方程解决实际问题
教学目标
课题 15.3　第2课时　列分式方程解决实际问题 授课人
素养目标 1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. 2.运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程. 3.通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力.
教学重点 根据实际问题列出分式方程并正确解分式方程．
教学难点 提炼等量关系并将其转化为方程的过程.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习旧知，导入新课 设计意图 通过复习分式方程的解法唤醒旧知，引出新课. 【复习导入】 1.回顾一下上节课学习的解分式方程的一般步骤. (1)去分母　　(2)解整式方程　　(3)检验 2.接下来我们来解方程＋＝. 解：方程两边乘2(x＋3)，得4＋3(x＋3)＝4. 解得x＝－3.检验：当x＝－3时，2(x＋3)＝0， 所以x＝－3不是原分式方程的解．所以原分式方程无解. 其实，在解决生活实际问题中，有时需要列、解分式方程，那我们就一起来学习如何用分式方程解决实际问题吧！ 【教学建议】 教师提出问题，学生回答，回忆分式方程的基本解法，学生对所出示方程进行演算．教师使用课件展示解分式方程的过程．通过例题演示，让学生对比正确解法，检查自身问题.
活动二：实践探究，获取新知 设计意图 通过回顾已学的与本探究相关的知识，为探究新问题做知识铺垫. 探究点1　列分式方程解决工程问题 问题1　请大家回忆一下一元一次方程中列方程解应用题的步骤有哪些？ 审、找、设、列、解、验、答. 问题2　请大家填一填工程问题的等量关系： 工作总量＝工作效率×工作时间. 问题3　借助这个等量关系回答下面问题： 一件工作，甲单独做需a h完成，乙单独做需b h完成，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，则甲、乙合作需1÷(＋) h完成. 类比一元一次方程中的列方程解应用题的方法，我们一起来看教材P152例3吧！ 例　(教材P152例3)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的， 【教学建议】 对于问题1，教师可先让学生进行回答，再进行启发和补充. 【教学建议】 例题是以筑路工程为背景的问题．对于这类问题，通常设工程总量为1.教学中，可以引导学生进行如下分析：从题中已知条件可知甲队单独施工1个月完成总工程量的，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度．因此，可以设乙队单独施工1个月.
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那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的， 两队半个月完成总工程的＋ 在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程. 完成总工程量的，进而列出方程
设计意图 通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能．并规范其解题书写格式. 思考：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ ＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1. 也可用表格梳理数量关系： 工作效率工作时间工作量甲队1＋＋×乙队
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得＋＋＝1. 方程两边乘6x，得 2x＋x＋3＝6x.解得 x＝1. 检验：当x＝1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快． 【对应训练】 教材P154练习第2题． 教师总结列分式方程解决工程问题的解题策略： 1．题中有“单独”字眼通常可知工作效率． 2．通常间接设元，如××单独完成需x(单位时间)，则可表示出其工作效率． 3．弄清基本的数量关系．如本题中的“合作的工效＝甲乙两队工作效率的和”． 4．解题方法：可概括为“321”，“3”指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率、工作时间、工作量；“2”指该类问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队；“1”指该问题中的一个等量关系．如工程问题中等量关系是：“两个主人公”工作总量之和＝全部工作总量．
设计意图 通过例题补充含字母系数的分式方程的应用，完善学生的知识体系．引导学生把文字语言转化为数学语言，从中找出等量关系，培养学生的数学应用意识．． 探究点2　列分式方程解决行程问题 我们一起再来回忆一下行程问题的等量关系吧！ 行程问题：路程 ＝速度×时间 接下来我们看这个例题！ 例　(教材P153例4)某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母 v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h， 那么提速前列车行驶s km所用时间为 h， 提速后列车的平均速度为(x＋v) km/h， 提速后列车运行(s＋50) km所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系“提速前列车行驶s km的时间＝提速后列车行驶(s＋50) km的时间”，可以列出方程＝. 也可用表格梳理数量关系： 【教学建议】 教材例4是以列车提速为背景的问题．对于这类问题，速度、时间、路程三者之间的基本关系是分析问题的依据．教学中，可以引导学生进行如下的分析：设所求的提速前速度为x km/h，抓住题目中“用相同的时间”这个条件，就能列出方程． 教师总结列分式方程解决行程问题的解题策略： 1．注意关键词“
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路程速度时间提速前sx提速后s＋50x＋v
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，根据行驶时间的等量关系，得 ＝. 方程两边乘x(x＋v)，得 s(x＋v)＝x(s＋50)． 解得x＝. 检验：由v，s 都是正数，得x＝时x(x＋v)≠0. 所以，原分式方程的解为x＝. 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 【对应训练】教材P154练习第1题. 归纳总结： 分式方程的应用主要是列分式方程解应用题，这与学习一元一次方程时列方程解应用题的思路和方法是一样的. 提速”与“提速到”的区别． 2．同上也是“321”，即三量关系——路程、速度、时间；“两主人公”——本题是“提速前”和“提速后”；“一等量关系”——本题是时间相同． 3．行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程． 【教学建议】 教师可对检验作解释：例4的检验中利用了问题的实际意义，根据字母的含义确定其取值范围中不含负数和0，从而确定分式方程解的情形.
活动三：延伸拓展，巩固升华 设计意图 此例题补充了教材上没有的销售问题，为的是拓展学生的视野，完善列分式方程解应用题的种类，并让学生 例　为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9 600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．求第一批面粉的采购量. 分析：根据“第二批面粉的每千克面粉价格－第一批面粉的每千克面粉价格＝0.4”列方程即可. 解：设第一批面粉的采购量为x kg.由题意，得－＝0.4. 方程两边乘15x，得96 000－6 000×15＝0.4×15x. 【教学建议】 本例是为巩固“三角形两边的和大于第三边”而设，可根据条件列方程求解，注意提醒学生用“三角形两边的和大于第三边”判断所得的结果是否合理．在第(2)
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意识到生活中处处都跟数学息息相关. 解得x＝1 000. 检验：当x＝1 000时，15x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1 000. 答：第一批面粉的采购量为1 000 kg. 【对应训练】 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．则A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ 解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x＋0.3)万元. 根据题意，得＝.解得x＝0.9. 检验：当x＝0.9时，x(x＋0.3)≠0，所以原方程的解为x＝0.9.所以x＋0.3＝1.2. 答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元. 【教学建议】 教学中建议让学生先思考，教师引导学生列出关系式之后，由学生先自行解答，教师再集体讲解，让学生意识到自己在解题时有什么错漏，这样印象深刻，在之后的练习中可避免犯同样的错.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么？ 2.列分式方程解应用题检验时需要注意什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P154习题15.3第3，4，5，6题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　列分式方程解决实际问题 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 审、找、设、列、解、验、答
教学反思 　 在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学理念，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程.
解题大招一　由实际问题抽象出分式方程的方法
首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．还要注意看清题干中是设哪个量为未知数．
例1　(2023·鞍山中考)甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60 kg，甲运输500 kg所用的时间与乙运输800 kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输x kg货物，则可列方程为（ A ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
解析：甲每小时运输x kg货物，则乙每小时运输(x＋60)kg货物，由题意得＝.故选A.
解题大招二　图文信息类问题的解法
图文信息这类试题往往以图文形式提供一定的数学情景，需通过对图画中的情景(或对话等)的分析和理解，厘清数量关系，抽象出数学本质，建立合理的数学模型解决问题．
例2　某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元．
分析：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程．
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元．根据题意，列方程得＝.解得x＝100.检验：当x＝100时，x(x＋60)≠0，所以原方程的解为x＝100.所以x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
解题大招三　表格法分析数量关系
解决应用题的关键是正确分析问题中各数量间的关系．用表格法分析数量关系，有助于理解题意，理顺数量关系．用表格法分析数量关系的步骤：首先通过读题确定问题中的关键量及描述对象或发生的阶段、方式，然后设计表格，在表格中先填上已知量，然后确定未知量，最后表示其他相关量，从已知条件中找出表示相等关系的语句，结合表格中的各数量，列出方程，进而解决问题．
类型一　工程问题
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
例3　抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3 h才能完成．现甲、乙两队合作2 h后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
分析：设甲队单独完成需要x h，则乙队需要(x＋3) h.
解：设甲队单独完成需要x h，则乙队需要(x＋3) h．由题意，得＋＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0，所以原方程的解为x＝6.所以x＋3＝9.
答：甲队单独完成全部工程需6 h，乙队单独完成全部工程需9 h.
类型二　行程问题
例4　从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400 km，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(km/h)是普通列车平均速度(km/h)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 h，求高铁的平均速度．
分析：设普通列车的平均速度是x km/h，则高铁的平均速度是2.5x km/h.
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(km)．
答：普通列车的行驶路程是520 km.
(2)设普通列车的平均速度是x km/h，则高铁的平均速度是2.5x km/h.根据题意，得－＝3.解得x＝120.检验：当x＝120时，2.5x≠0，所以原方程的解为x＝120.则高铁的平均速度是120×2.5＝300(km/h)．
答：高铁的平均速度是300 km/h.
培优点　销售盈亏问题
例1　佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1 200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1 452元所购买的数量比第一次多20 kg，以每千克9元售出100 kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)第一次购买水果的进价是每千克多少元？
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
分析：(1)根据第二次购买水果数多20 kg，可列出方程，解方程即可得出答案；
(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：(1)设第一次购买水果的进价是每千克x元，则第二次购买水果的进价是每千克(1＋10%)x元，即1.1x元．
根据题意，得－＝20.解得x＝6.检验：当x＝6时，1.1x≠0，所以原方程的解为x＝6.
答：第一次购买水果的进价是每千克6元．
(2)第一次购买水果1 200÷6＝200(kg)．第二次购买水果的进价是1.1×6＝6.6(元)，第二次购买水果200＋20＝220(kg)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋(220－100)×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
答：该果品店在这两次销售中，总体上是盈利了，共盈利388元．
例2　某大型连锁超市根据市场行情，用13 200元购进了一批保暖衣，面市后供不应求．商家又用28 800元购进了第二批这种保暖衣，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该超市购进的第一批保暖衣有多少件？
(2)若两批保暖衣按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，要使两批保暖衣全部售完后利润率不低于25%(不考虑其他因素)，每件保暖衣的标价至少是多少元？
分析：(1)设该超市购进第一批保暖衣x件，则购进第二批保暖衣2x件，根据前后单价变化，列出关于x的分式方程，解方程、检验后即可得出该超市购进的第一批保暖衣的数量；
(2)设每件保暖衣的标价是a元．利用总利润＝销售总价－进货总价，结合两批保暖衣全部售完利润不低于25%，即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式取其中的最小值即可得出答案．
解：(1)设该超市购进第一批保暖衣x件，则购进第二批保暖衣2x件．
根据题意，得.
解得x＝120.
检验：当x＝120时，2x≠0，所以原分式方程的解为x＝120.且符合题意．
答：该超市购进的第一批保暖衣有120件．
(2)设每件保暖衣的标价是a元．
由(1)得第一批保暖衣的进价为13 200÷120＝110(元/件)，
第二批保暖衣的数量是120×2＝240(件)，
第二批保暖衣的进价为110＋10＝120(元/件)，
由题意得(120＋240－50)a＋50×0.8a－(13 200＋28 800)≥(13 200＋28 800)×25%.
解得a≥150.
答：每件保暖衣的标价至少是150元．

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