资源简介

一、单元学习主题
　　本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“特殊平行四边形”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
　　《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导几何图形的性质和定理,理解和掌握尺规作图的基本原理和方法.学生将经历图形的抽象、分类、性质探讨的过程,在参与观察、实验、证明等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系.探索并证明菱形、矩形、正方形的性质定理(菱形的四条边相等,对角线互相垂直;矩形的四个角都是直角,对角线相等;正方形的四个角都是直角,四条边相等,对角线相等且互相垂直平分)以及它们的判定定理(四条边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;有三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,对角线互相垂直的矩形是正方形,有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形).探索并掌握直角三角形的性质定理(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),培养推理能力.
2.本单元教学内容分析
　　北师大版教材九年级上册第一章“特殊平行四边形”,本章包括三个小节:1.1菱形的性质与判定;1.2矩形的性质与判定;1.3正方形的性质与判定.
　　本章设计注意渗透归纳、类比、转化等数学思想,并通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外,还应注意引导学生探索证明的不同思路与方法,如在一种证明结束后提出“你还有其他证明方法吗 与同伴进行交流”.并进行适当的比较和讨论,提高学生分析及寻求证明思路的能力.
三、单元学情分析
　　本单元内容是北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形,在前面的学习中,学生已学习了三角形和平行四边形,初步积累了一定的探究平面图形的性质与判定的数学活动经验,初步掌握了几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都是先通过合情推理进行探索,再用演绎推理加以证明,对学生来说是一个难点.在教学中,应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,并按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理与演绎推理的有机结合.
四、单元学习目标
　　1.经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程,以及它们的性质与判定的探索、猜测与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理能力和演绎推理能力.
　　2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,增强发现问题和提出问题的能力.
　　3.证明菱形、矩形、正方形的性质定理及判定定理,并能够证明其他相关结论.
　　4.探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
　　5.提高自主探究的能力和与他人合作交流的意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
六.单元评价与课后作业建议
　　本单元课后作业整体设计体现以下原则:
　　针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
　　层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
　　根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　菱形的性质
课时目标
1.经历菱形性质的探索、发现、猜想、证明的过程,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.
　　2.认识菱形,掌握菱形的性质.
　　3.能够用综合法证明菱形的性质定理.
　　4.进一步体会证明的必要性,以及计算与证明在解决问题中的作用.
学习重点
　　菱形性质的探索与证明.
学习难点
　　引导学生探究菱形的性质,并利用菱形的性质解决实际问题.
课时活动设计
回顾旧知
　　在八年级下学期,我们学行四边形,那么什么样的四边形是平行四边形呢 它有哪些性质呢
　　引导学生从以下几个方面思考总结.
　　从对称性看:平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;
　　从边看:对边平行且相等;
　　从角看:对角相等,相邻的两个角互补;
　　从对角线看:对角线互相平分.
　　设计意图:本环节旨在通过提问,复习并梳理平行四边形的性质,为菱形性质的学习作铺垫.
　　新课引入
　　给出几幅含有菱形的生活图片,学生在欣赏图片的过程中发现特殊的平行四边形——菱形.
　　概念:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
　　想一想:你还能再举出一些生活中菱形的例子吗
　　设计意图:通过这个环节,培养学生的观察和对比分析能力.从观察入手,四幅图中均含有菱形,第三幅图中含有正方形也是菱形的意图,可以通过测量、比较第四幅图中的菱形,发现邻边相等的特征,从而引出菱形的定义.由于给出的图形都是静态的,所以可以让学生列举出一些生活中的动态菱形的例子,如菱形衣帽架、电动门等.
　　探究新知
　　1.想一想.
　　(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗
　　(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质 请与同伴交流.
　　学生分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发同学们类比平行四边形,从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对于学生的结论,教师要及时评价,积极引导.
　　2.做一做.
　　用菱形纸片折一折,回答下列问题:
　　(1)菱形是轴对称图形吗 如果是,它有几条对称轴 对称轴之间有什么位置关系
　　(2)菱形中有哪些相等的线段
　　学生分小组折纸探索,并汇总结果.教师引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论.
　　结论:
①类比平行四边形,从对称性看,菱形是中心对称图形;从边看,对边平行且相等;从角看,对角相等,相邻的两个角互补;从对角线看:对角线互相平分.
　　②菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴为菱形对角线所在的直线,两条对角线互相垂直.
　　③菱形的四条边相等.
　　3.证明菱形的性质.
　　通过折纸活动,已经对菱形的性质有了初步的理解,下面要对菱形的性质进行严格的逻辑证明.
　　已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
　　求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC⊥BD.
　　分析:(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,即可证明菱形的四条边均相等.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD中点;又因为在菱形中可以得到等腰三角形,即利用“三线合一”来证明结论.
　　证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
　　∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).
　　又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.
　　(2)∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.
　　又∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD(菱形的对角线互相平分).
　　在等腰三角形ABD中,∵OB=OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.
　　教师强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,加深学生的印象.
　　归纳总结
　　定理1:菱形的四条边相等.
　　定理2:菱形的对角线互相垂直.
　　设计意图:学生经过折纸这一操作活动后,再经过逻辑证明,把操作层面的感知上升到了理性认识,充分了解菱形的本质特征.本环节让学生进行猜想、探究和证明,符合学生的认知规律.同时,将操作活动得到的结论与逻辑推理相结合,是对数学知识进行探索活动的自然延续,实现了从感性认识到理性认识的升华.
　　典例精讲
　　例1　如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.
　　解:∵四边形ABCD是菱形,
　　∴AB=AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分).
　　在等腰三角形ABD中,
　　∵∠BAD=60°,
　　∴△ABD是等边三角形.
　　∴AB=BD=6.
　　在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB2,
　　∴OA===3.
　　∴AC=2OA=6(菱形的对角线互相平分).
　　例2　如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5 cm,AO=4 cm,求BD的长.
　　解:∵四边形ABCD是菱形,
　　∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直).
　　在Rt△AOB中,由勾股定理,得AO2+BO2=AB2,
　　∴BO===3(cm).
　　∵四边形ABCD是菱形,
　　∴BD=2BO=2×3=6(cm)(菱形的对角线互相平分).
　　∴BD的长是6 cm.
　　设计意图:学生通过本环节的学习,进一步理解和掌握菱形的性质,对前面所学知识有更深的认识,同时提高学生的逻辑推理能力,培养学生的主动探索能力,激发学生学习的兴趣.
　　课堂小结
　　通过这节课的学习,你有哪些收获 有何感想 学会了哪些方法 先想一想,再分享给大家.
　　设计意图:教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获,培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构,培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力.
　　相关练习.
　　1.教材第4~5页习题1.1第1,2,3,4题.
　　2.相关练习.
第1课时　菱形的性质
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形.
2.菱形的性质:四条边相等;对角线互相垂直.
3.例题.
教学反思

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