资源简介

第2课时　正方形的判定
课时目标
1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊平行四边形的性质和判定解决问题.
　　2.发现决定中点四边形形状的因素,能熟练地运用特殊平行四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明,进一步发展学生演绎推理的能力.
　　3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
学习重点
　　掌握正方形的判定定理.
学习难点
　　合理利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
课时活动设计
　　情境引入
　　问题:如图,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形 (学生动手折叠、思考、剪切)
　　教师展示下面的框架图,复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
　　设计意图:通过剪纸活动,引入正方形的判定问题,激发学生的学习兴趣与动手操作能力.
　　议一议
　　满足什么条件的矩形是正方形 满足什么条件的菱形是正方形 请证明你的结论,并与同伴交流.
　　学生小组内交流、讨论,教师引导得出正方形的判定定理.
　　定理:
　　1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
　　2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
　　3.有一个角是直角的菱形是正方形.
　　4.对角线互相相等的菱形是正方形.
　　设计意图:引导学生归纳总结正方形的判定方法,提高学生归纳总结的能力,并复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,加深学生对知识的理解.
　　典例精讲
　　例　如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
　　求证:四边形BECF是正方形.
　　证明:∵BF∥CE,CF∥BE,
　　∴四边形BECF是平行四边形.
　　∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°.
　　又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
　　∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DBC=45°.
　　∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.
　　∴ BECF是菱形(菱形的定义).
　　在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,
　　∴∠BEC=90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
　　设计意图:通过上述例题,复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理,让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.
　　探究新知
　　1.(1)如图1,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,
　　①若∠BEF=50°,则∠A=　50°　.②若EF=8 cm,则AC=　16 cm　.
　　(2)如图2,在AC的下方找一点D,分别作CD和AD的中点G,H,则EF和GH有怎样的关系 EH和FG呢 (EF∥HG,EH∥FG.)
图1　　图2
　　(3)四边形EFGH(如图2)的形状有什么特征 (四边形EFGH是平行四边形.)
　　教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生,由于是前面已经学过的知识,并且问题比较简单,这样可以增强学生学习数学的自信心.
　　2.问题:如果四边形ABCD变为特殊的四边形,中点四边形EFGH会有怎样的变化呢
　　3.学生以小组的形式,在众多的特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形)中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形,并验证结论的正确性.
　　学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,通过类比和转化归纳出以下几种情况.
图1　图2　图3　图4
图5　　图6　　图7
　　归纳:
　　平行四边形的中点四边形是平行四边形(如图1);矩形的中点四边形是菱形(如图2);菱形的中点四边形是矩形(如图3);正方形的中点四边形是正方形(如图4);等腰梯形的中点四边形是菱形(如图5);直角梯形的中点四边形是平行四边形(如图6);梯形的中点四边形是平行四边形(如图7).
　　4.问题:(1)矩形和等腰梯形是形状不同的四边形,为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形
　　(2)平行四边形变化为菱形需要增加什么条件
　　(3)你是从什么角度考虑的
　　(4)你从哪儿得到的启发
　　(5)你能用你的发现解释其他的图形变化吗 例如,原四边形为菱形,其中点四边形为矩形.
　　规律:确定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
　　(1)若对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形(如图1);
　　(2)若对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形(如图2);
　　(3)若对角线既相等,又垂直,则中点四边形EFGH为正方形(如图3);
　　(4)若对角线既不相等,也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形(如图4).
图1　　图2　　图3　　图4
　　设计意图:以问题串的形式引导学生逐步深入思考,体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法,进一步提高学生的数学表达能力.
　　学以致用
　　E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,利用几何画板拖动点A,对四边形EFGH的图形变化进行研究.
　　设计意图:用动画的形式让学生观察四边形在不断变化的过程中,中点四边形的变化情况,体会变化中存在不变的几何关系,培养学生的发散思维能力.在题目的设置上,采用逐步递进的策略,其中图1中四边形ABCD为凸四边形,图2中是AB,AD在同一条直线上,图3中四边形ABCD为凹四边形,图4中四边形ABCD为扭曲四边形.
　　课堂小结
　　1.本节课重点学习了什么知识,运用了哪些数学思想和方法
　　2.通过本节课的学习你有哪些收获 在今后的学习过程中应该怎么做
　　设计意图:培养学生的归纳能力,使学生形成完整的知识结构,总结研究数学问题的一般方法.
　　相关练习.
　　1.教材第25页习题1.8第1,2,3题.
　　2.相关练习.
第2课时　正方形判定
1.正方形的判定定理
2.特殊四边形的中点四边形.
3.例题.
教学反思

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