资源简介

第1课时　应用一元二次方程(一)
课时目标
1.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
　　2.在列方程解决实际问题的过程中,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般步骤,进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习重点
　　应用一元二次方程解决实际问题.
学习难点
　　根据问题中的等量关系列一元二次方程.
课时活动设计
　　复习引入
　　列方程解决实际问题的基本步骤有哪些
　　(1)审:分清已知未知,明确数量关系;
　　(2)设:设未知数;
　　(3)列:列方程;
　　(4)解:解方程;
　　(5)验:根据实际验结果;
　　(6)答:写出答案.
　　设计意图:通过循序渐进的方法,复习列方程解决问题的基本步骤,为本节内容的学习作铺垫.
　　探究新知
　　提出问题:还记得本章开始时梯子下滑的问题吗
　　1.如图,梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢
　　2.如果梯子长度是13 m,梯子顶端与地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗 如果相等,那么这个距离是多少
　　分组讨论:(1)怎么设未知数 在这个问题中存在怎样的等量关系 如何利用勾股定理来列方程
　　(2)涉及到解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底取哪一个值.
　　解:(1)设梯子顶端下滑x m时,梯子底端滑动的距离和它相等.
　　梯子底端原来离墙的距离=6(m).
　　根据题意,得(8-x)2+(6+x)2=102,
　　解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去).
　　所以梯子顶端下滑2 m时,梯子底端滑动的距离和它相等.
　　(2)梯子顶端下滑距离可以与梯子底端滑动距离相等.
　　设梯子顶端下滑x m时,梯子底端滑动距离与它相等.
　　梯子底端原来离墙距离=5(m).
　　根据题意,得(12-x)2+(5+x)2=132,
　　解得x1=7,x2=0(不合题意,舍去)
　　所以梯子顶端下滑7 m时,梯子底端滑动的距离与它相等.
　　设计意图:本环节以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材,以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点,用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望,用学生已有的知识为支点,进一步让学生体会数形结合的思想.
　　典例精讲
　　如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
　　已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1 n mile)
　　分析:解决实际应用问题的关键是审清题意;分析各量之间的关系,找准各条有关线段的长度关系;建立方程模型,之后求解.
　　问题:
　　1.要求DE的长,需要如何设未知数
　　2.怎样建立含DE未知数的等量关系 从已知条件中能找到吗
　　3.利用勾股定理建立等量关系,如何构造直角三角形
　　4.选定Rt△DEF后,三条边长都是已知的吗 DE,DF,EF的长度分别是多少
　　学生在问题串的引导下,逐层分析,在分组讨论后找出题目中的等量关系,即:
　　速度等量:V军舰=2×V补给船;
　　时间等量:t军舰=t补给船;
　　三边数量关系:EF2+FD2=DE2.
　　弄清图形中线段长表示的量:已知AB=BC=200 n mile,DE表示补给船的路程,AB+BE表示军舰的路程.
　　学生在此基础上选准未知数,用未知数表示出线段DE,EF的长,根据勾股定理列方程求解,并判断解的合理性.
　　解:如图,连接DF.
　　∵AD=CD,BF=CF,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB,DF=AB.
　　∵AB⊥BC,AB=BC=200 n mile,∴DF⊥BC,DF=100 n mile,BF=100 n mile.
　　设相遇时补给船航行了x n mile,
　　那么DE=x n mile,
　　AB+BE=2x n mile,
　　EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile.
　　在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,
　　整理,得3x2-1 200x+100 000=0.
　　解得x1=200-≈118.4,
　　x2=200+(不合题意,舍去).
　　所以相遇时补给船航行了大约118.4 n mile.
　　设计意图:通过问题串的设立,将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解,使学生在不知不觉中克服困难.
　　巩固训练
　　1.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走了10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远
　　解:如图,设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x,
　　甲共行AC+BC=7x,
　　∵AC=10,
　　∴BC=7x-10.
　　又∵∠A=90°,
　　∴BC2=AC2+AB2.
　　∴(7x-10)2=102+(3x)2.
　　∴x=0(舍去),或x=3.5.
　　∴AB=3x=10.5.
　　AC+BC=7x=24.5.
　　答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
　　2.甲、乙两个小朋友的年龄相差4岁,两个人的年龄相乘积等于45,你知道这两个小朋友几岁吗
　　解:设较小的小朋友为x岁,则另一个小朋友为(x+4)岁,由题意可得
　　x(x+4)=45,
　　化为一般式为x2+4x-45=0.
　　所以x1=5,x2=-9(舍去).
　　5+4=9(岁).
　　所以这两个小朋友分别为5岁、9岁.
　　3.一块长方形草地的长和宽分别为20 m和15 m,在它四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246 m2,求小路的宽度.
　　解:设小路的宽度为x m,
　　依题意得(15+2x)(20+2x)=246+20×15,
　　整理2x2+35x-123=0,
　　解得:x1=3,x2=-20.5(不合题意,舍去).
　　∴小路的宽度为3 m.
　　4.有一个两位数等于其数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
　　解:设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x-2),
　　由题意,得10(x-2)+x=3(x-2)x.
　　解得x1=4,x2=(不合题意舍去).
　　所以十位数字为4-2=2.
　　所以这个两位数为24.
　　设计意图:通过一元二次方程应用的练习,及时地了解到学生对本节课知识的掌握情况和灵活运用的程度,进而查漏补缺,强化记忆.
　　课堂小结
　　1.列方程解应用题的关键是什么
　　2.列方程解应用题的步骤是什么
　　3.列方程应注意哪些问题
　　学生在学习小组中进行回顾与反思后,进行组间交流发言.
　　设计意图:通过回顾列方程的步骤和注意事项,进一步巩固本节课所学知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中.
　　相关练习.
　　1.教材第53页习题2.9第1,2,3,4题.
　　2.相关练习
第1课时　应用一元二次方程(一)
解决实际问题的一般步骤.　　　　　例1
　　　　　　　　　　　　　　　 　例2
教学反思

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