资源简介

一、单元学习主题
　　本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“反比例函数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
　　《标准2022》指出数与代数是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.“函数”主要研究变量之间的关系,探索事物变化的规律;借助函数可以认识方程和不等式.“数与代数”领域的学习,有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发展几何直观和运算能力.在本章的学习中学生结合实例,进一步了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例;能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析,并确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值;能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系;结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论;结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式;能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式y=(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况;能用反比例函数解决简单实际问题.
2.本单元教学内容分析
　　北师大版教材九年级上册第六章“反比例函数”,本章包括三个小节:6.1反比例函数;6.2反比例函数的图象与性质;6.3反比例函数的应用.
　　函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型.函数的教学要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义.在本章的学习过程中,通过直观、操作、观察、概括和交流等活动方式,对函数的三种表示方法进行整合,逐步形成对函数概念的整体性认识;逐步提高从函数图象中获取信息的能力,提高几何直观水平;逐步形成用函数观点处理问题的意识,进一步感悟数形结合的思想.
三、单元学情分析
　　学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数已经有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后续学习(如二次函数等)会产生积极影响.本章通过对具体情境的分析,概括出反比例函数的表达形式,明确反比例函数的概念,通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识,理解反比例函数的意义.
四、单元学习目标
　　1.经历从具体问题情境中抽象出反比例函数概念的过程,进一步感受函数的模型思想;探索反比例函数的性质,体会研究函数的一般性方法.
　　2.结合具体情境体会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
　　3.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式理解反比例函数的性质,体会数形结合的思想和分类的思想.
　　4.能用反比例函数解决简单实际问题,发展应用意识.
　　5.在反比例函数学习的过程中,进一步发展勇于探究与合作交流的精神.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
　　本单元课后作业整体设计体现以下原则:
　　针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
　　层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难、由浅入深、循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学、人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
　　根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分:基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历从现实情境中抽象出反比例函数概念的过程,初步理解反比例函数所反映的变量之间的关系,进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型.
　　2.结合具体情境体会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
学习重点
　　理解反比例函数的概念.
学习难点
　　能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
课时活动设计
　　复习引入
　　问题1:如果每天背10个单词,那么所掌握的单词总量y(个)与时间x(天)之间的函数关系式为　y=10x　.
　　问题2:小明原来掌握了150个单词,以后每天背10个单词,那么他所掌握单词总量y(个)与时间x(天)之间的关系式为　y=150+10x　.
　　问题3:九年级英语全册约有单词1 200个,小明同学计划用x天全部掌握,那么平均每天需要记忆的单词量y(个)与时间x(天)之间的关系式为　y=　.
　　问题4:一个面积为6 400 m2的长方形花坛,花坛的长a(m)与宽b(m)之间的关系式为　a=　.
　　问题5:京沪高速铁路全长约为1 318 km,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京,列车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为　t=　.
　　设计意图:通过复习回顾,为讲解新知识作铺垫,便于学生建立起新、旧知识之间的联系.
　　探究新知
　　师:问题3、4、5中的三个函数关系式有什么共同点 你能否根据这一类函数的共同特点,类比正比例函数写出这种函数的一般形式
　　生:都是y=的形式,其中k是非零常数.
　　师:这种函数叫反比例函数,那么什么是反比例函数
　　教师和学生一起探索总结出反比例函数的概念:
　　一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为零.
　　反比例函数的三种表达式形式:y=,y=kx-1,xy=k.(k为常数,k≠0)
　　注意事项:①常数k≠0;②自变量x不能为零(因为分母为0时,该式没有意义);③当y=写为y=kx-1时,注意x的指数为-1;④由定义不难看出,k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得,只要k确定了,这个函数就确定了.
　　设计意图:通过具体问题中的数量关系和变化规律抽象出关系式,让两个变量在形式上得以体现,并在此基础上抽象出反比例函数的数学概念,同时借助具体情境让学生领会到反比例函数作为一种数学模型在实际问题中的应用.
　　典例精讲
　　例1　在下列函数表达式中,x均表示自变量,那么哪些是反比例函数 每一个反比例函数相应的k值是多少
　　(1)y=-3x;　　　　(2)y=-;　　　　(3)xy=0.4;
　　(4)y=+1;　　　(5)y=.
　　解:(2)(3)是反比例函数,(2)中的k=-,(3)中的k=0.4.
　　例2　y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值.
x -3 -2 -1
y 2 -1
　　(1)求出这个反比例函数的表达式;
　　(2)根据函数表达式完成上表.
　　解:(1)y=.　(2)(从左到右)　1　2
　　设计意图:巩固新知识,通过例题讲解既巩固了反比例函数的概念,又让学生认识到反比例函数的表达式有不同的形式,第2题又巩固了确定一个反比例函数关系的关键是求得非零常数的值.同时,让学生初步体会函数表达式与函数表格之间的相互转化.
　　巩固训练
　　1.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.在照明电路中,正常电压U=220 V.
　　(1)求I与R之间的函数关系式.
　　(2)变量I是R的反比例函数吗
　　(3)利用写出的关系式完成下表.
R/Ω 20 60
I/A 2.2
　　解:(1)I=.
　　(2)是.
　　(3)从左向右依次为11,,100.
　　2.在某一电路中,保持电压U(V)不变,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,当电阻R=5 Ω时,电流I=2 A.
　　(1)求I与R之间的函数关系式.
　　(2)当电流I=0.5 A时,求电阻R的值.
　　解:(1)I=.
　　(2)R=20Ω.
　　设计意图:通过题目练习,既巩固反比例函数的概念,又促进学生书写解答步骤的规范化,学生知道确定一个反比例函数表达式的关键是求得k的值.加强了对概念的理解,并进一步体会函数表达式与函数表格之间的相互转化.
　　当堂检测
　　1.关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗 若是,相应的k值等于多少 若不是,请说明理由.
　　解:y是x的反比例函数,k的值为-4.
　　2.若y=是反比例函数,则m应满足的条件是　m≠1　.
　　3.函数关系式y=可以表示许多生活中变量之间的关系,你能举出一些这样的实际例子吗
　　解:一个长方形广场的面积为100,则该广场的长y和宽x之间的关系可以表达为y=.
　　4.若y=(m+1)是关于x的反比例函数,试确定m的值,并求其函数关系式.
　　解:∵y是关于x的反比例函数,
　　∴m2-2=-1,解得m=±1.
　　又∵m+1≠0,解得m≠-1.
　　∴m=1.
　　∴函数关系式为y=.
　　设计意图:及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要课后加强辅导,达到全面提升的目的.
　　课堂小结
　　1.通过本节课的学习,你有哪些收获
　　2.你还存在什么疑问
　　设计意图:通过开放式小结,学生自主回顾、总结梳理所学知识,培养学生归纳、概括能力和表达能力.
　　相关练习.
　　1.教材第150~151页习题6.1第1,2,3,4题.
　　2.相关练习.
6.1　反比例函数
1.反比例函数的概念:一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(k
为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为零.
2.反比例函数三种表达式形式:
y=,y=kx-1,xy=k.(k为常数,k≠0)
3.例题、练习题.
教学反思

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