资源简介

第4课时　黄金分割
课时目标
1.知道黄金分割的定义;会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点;会找一条线段的黄金分割点.
　　2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解与动手能力.
　　3.理解黄金分割的现实意义,让学生认识数学与生活的密切联系.
学习重点
　　了解黄金分割的意义并能运用.
学习难点
　　找出黄金分割点和作黄金矩形.
课时活动设计
　　复习回顾
　　1.什么是“成比例线段”
　　解:四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
　　2.相似三角形的相关概念:
　　(1)三个角对应　相等　、三条边对应　成比例　的两个三角形叫做相似三角形.
　　(2)相似三角形的对应角　相等　,对应边　成比例　.
　　3.相似三角形的判定定理有哪些
　　解:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.
　　设计意图:通过复习回顾,巩固上节学过的知识,为新课的学习作铺垫,帮助学生体会新旧知识之间的联系与转化.
　　探究新知
　　一个五角星如图所示.
　　(1)从图中找出相等的角、相等的线段.
　　(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
　　小亮认为,=,你同意他的看法吗 说说你的理由.
　　学生组内合作,互相交流讨论,教师及时给予指导并引出黄金分割的相关概念.
　　一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.
　　设计意图:通过对五角星进行探究,发现黄金分割所描述的线段之比,获得对黄金分割的直观认识,进而得到黄金分割的定义.
　　典例精讲
　　1.计算黄金比.
　　解:由=,得AC2=AB·BC.
　　设AB=1,AC=x,则BC=1-x.
　　∴x2=1×(1-x),
　　即x2+x-1=0.
　　解这个方程,得x1=,x2=(不符合题意,舍去).
　　所以,黄金比=≈0.618.
　　2.如图1是古希腊时期的帕提侬神庙,如果把图中用虚线表示的矩形画成如图2中的矩形ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么,我们可以惊奇的发现,=.点E是AB的黄金分割点吗 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗
图1　　　图2
　　解:由=,可以得到=,即=.所以点E是AB的黄金分割点.是黄金比,也就是说,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
　　设计意图:通过分析帕提侬神庙中的黄金分割,加深对黄金分割的理解,体会黄金分割在现实生活中的广泛应用和文化价值.
　　操作感知
　　1.提出问题:如何找到一条线段的黄金分割点
　　多数学生尝试画出1 cm,2 cm的线段,通过计算找到黄金分割点大概的位置.可以用这种方法大概的找到当线段长为a时黄金分割点的位置,但不能精确地找到.
　　2.如图,已知线段AB,按照如下方法画图:
　　(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB;
　　(2)连接DA,在DA上截取DE=DB;
　　(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点.
　　3.提出问题:为什么点C为线段AB的黄金分割点
　　方法提示:设AB=2a,分别求出AC和BC,并计算和,或计算AC2和BC·AB.
　　设AB=2a,则BD=a,DE=a.
　　在Rt△ABD中,AD===.
　　∴AE=AD-ED=-a=(-1).
　　∴AE=AE=(-1)a,BC=AB-AC=2a-(-1)a=3-.
　　∴=,=.
　　∴=.
　　∴点C为线段AB的黄金分割点.
　　注意事项:由于学生所学过的尺规作图方法有限,作图工具可以用三角尺和刻度尺.
　　设计意图:向学生介绍一种作黄金分割点的方法,同时巩固学生对黄金分割的认识.
　　巩固训练
　　1.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB长为20 m,试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置 (A在B左边,主持人在A处结果精确到0.1 m).
　　解:她离点A至少20×(1-)=10(3-)=30-10≈7.6(m).
　　2.人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68 m,下半身1.02 m,她应选择多高的高跟鞋才能使她看起来更美丽 (精确到1 cm)
　　解:1.02 m=102 cm,1.68 m=168 cm.
　　设她应选择的高跟鞋的高为x cm.
　　根据题意,得=0.618,解得x≈5.
　　答:她应选择约5 cm的高跟鞋看起来更美丽.
　　3.采用如下方法也可以作出一条已知线段AB的黄金分割点H.
　　(1)以线段AB为边作正方形ABCD;
　　(2)取AD的中点E,连接EB;
　　(3)延长DA至F,使EF=EB;
　　(4)以线段AF为边作正方形AFGH.
　　点H就是线段AB的黄金分割点.
　　任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说说这种作法的道理吗
　　解:设AB=2,那么在Rt△BAE中,BE===.于是EF=BE=,AH=AF=BE-AE=-1,BH=AB-AH=3-,因此=,点H是AB的黄金分割点.
　　设计意图:前两个练习题与本节课第一环节相呼应,在于展示黄金分割在人类生活中的作用,提高学生解决问题的能力.第3题向学生介绍另一种可以作黄金分割点的方法,同时进一步巩固学生对黄金分割点的认识.
　　课堂小结
　　1.什么叫做黄金分割 黄金比是多少
　　解:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果=,那么称线段AB被点C分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.其中ACAB=1≈0.618,即≈0.618.
　　2.一条线段有几个黄金分割点
　　解:一条线段有2个黄金分割点.
　　3.如何用尺规作线段的黄金分割点
　　解:(方法一)已知线段AB,按照如下方法画图.
　　(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB;
　　(2)连接DA,在DA上截取DE=DB;
　　(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点.
　　(方法二)如图,设AB是已知的线段,在AB上作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA至点F,使EF=EB,以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点.
　　4.如何说明一个点是一条线段的黄金分割点
　　解:分得的线段比符合黄金分割定义.
　　设计意图:鼓励学生总结本节课所学的知识,并应用到现实之中,逐步形成正确的数学观,培养学生的审美意识.
　　相关练习.
　　1.教材第98页习题4.8第1,4题.
　　2.相关练习.
第4课时　黄金分割
　　　一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图),如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比.其中ACAB=1≈0.618,即≈0.618.
教学反思

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