资源简介

第1课时　相似三角形对应线段的比
课时目标
1.经历探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系的过程,理解相似三角形的性质.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
　　2.培养学生的探索精神和合作意识;通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.
学习重点
　　探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系.
学习难点
　　利用相似三角形的性质解决一些实际问题.
课时活动设计
　　复习回顾
　　如图,已知△ABC∽△A'B'C',AB=2,A'B'=4,AC=5,则A'C'=　10　.
　　设计意图:以练习题的形式带领学生回顾之前知识点,巩固学生对以前知识的理解,同时激发学生学习兴趣,为本节课作铺垫.
　　探究活动一
　　在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图,小王依据图纸上的△ABC,以12的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.
　　教师提出问题,学生尝试进行解答.
　　(1)试写出△ABC与△A'B'C'的对应边之间的关系,对应角之间的关系.
　　(2)△ACD与△A'C'D'相似吗 为什么 如果相似,指出它们的相似比.
　　(3)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高
　　(4)据此,你可以发现相似三角形怎样的性质
　　解:(1)===,
　　∠A=∠A',∠B=∠B',∠ACB=∠A'C'B'.
　　(2)△ACD∽△A'C'D'.
　　理由:∵CD⊥AB,C'D'⊥A'B',
　　∴∠ADC=∠A'D'C'=90°.
　　∵∠A=∠A',
　　∴△ACD∽△A'C'D(两个角分别相等的两个三角形相似).
　　∴===.
　　(3)∵=,CD=1.5 cm.
　　∴C'D'=3 cm.
　　(4)相似三角形对应高的比等于相似比.
　　设计意图:通过学生熟悉的建筑模型入手,从相似三角形的最基本性质展开研究,使学生明确相似比与对应高的比的关系.
　　探究活动二
　　如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k,AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C';E,E'分别为BC,B'C'的中点.
　　(1)试探究AD与A'D'的比值关系.
　　(2)AE与A'E'呢
　　要求:类比探究,小组合作,至少证明其中一个结论.
　　解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',
　　∴∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B',=k.
　　∵AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C',
　　∴∠BAD=∠B'A'D'.
　　∴△BAD∽△B'A'D'(两个角分别相等的两个三角形相似).
　　∴===k.
　　(2)∵△ABC∽△A'B'C',
　　∴∠B=∠B',==k.
　　∵E,E'分别为BC,B'C'的中点,
　　∴BE=BC,B'E'=B'C'.
　　∴=.
　　∵==k,
　　∴==k.
　　∵∠B=∠B',
　　∴△BAE∽△B'A'E'(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
　　∴===k.
　　教师引导学生自主探究,及时给予指导,最后进行归纳总结.
　　小结:相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
　　设计意图:通过小组合作,类比前面的探究过程,提高学生主动探究意识,发展类比思维与归纳总结的能力.
　　探究活动三
　　如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k(k>0),点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上.
　　(1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少
　　(2)若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少
　　(3)你能得到哪些结论
　　解:(1)∵△ABC∽△A'B'C',
　　∴∠BAC=∠B'A'C',∠B=∠B',=k.
　　∵∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',
　　∴∠BAD=∠B'A'D'.
　　∴△BAD∽△B'A'D'(两个角分别相等的两个三角形相似).
　　∴===k.
　　(2)∵△ABC∽△A'B'C',
　　∴∠B=∠B',==k.
　　∵BE=BC,B'E'=B'C',
　　∴=.
　　∵==k,
　　∴==k.
　　∵∠B=∠B',
　　∴△BAE∽△B'A'E'(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
　　∴===k.
　　(3)相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比均等于相似比.
　　设计意图:通过问题探索,提升学生类比探究与独立解决问题的能力.
　　典例精讲
　　例　如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢
　　解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴RS∥BC.
　　∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
　　∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
　　∴=,即=.
　　当SR=BC时,得=,解得DE=h.
　　当SR=BC时,得=,解得DE=h.
　　设计意图:训练学生用相似三角形的性质来解决问题,增强学生的应用意识.
　　巩固训练
　　1.如图,AD是△ABC的高,点P,Q在BC边上,点R在AC边上,点S在AB边上,BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS是正方形.
　　(1)△ASR与△ABC相似吗 为什么
　　(2)求正方形PQRS的边长.
　　解:(1)相似.理由:∵四边形PQRS是正方形,
　　∴RS∥BC.
　　∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
　　∴△ASR∽△ABC.
　　(2)∵△ASR∽△ABC,∴=.
　　设正方形PQRS的边长为x cm,
　　则AE为(40-x)cm,∴=.
　　解得x=24.
　　答:正方形PQRS的边长为24 cm.
　　2.两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm,求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中,如果较短的中线是3 cm,那么较长的中线多长
　　解:根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知:相似比为;较长中线的长等于3×5÷2=7.5(cm).
　　设计意图:要求学生能用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质来解决实际问题,增强学生的应用意识.
　　课堂小结
　　经历了这节课的探索学习,你在知识上和方法上有什么收获呢 请说说看.
　　相似三角形的性质:相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.
　　设计意图:培养学生的归纳总结能力,加深对知识的理解和应用能力.
　　相关练习.
　　1.教材第108页习题4.11第1,2,3,4题.
　　2.相关练习.
第1课时　相似三角形对应线段的比
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比都等于相似比.
教学反思

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