资源简介

第1课时　方差的计算
课时目标
1.了解方差是刻画数据相对于平均数的离散程度的量,能借助计算器计算一组数据的方差.
2.能在具体的问题情境中运用方差刻画一组数据的波动大小.
3.探索方差产生的过程,发展合情推理的能力.
学习重点
理解方差的意义,掌握方差的计算公式,并会使用计算器求方差.
学习难点
会用方差来比较两组数据的波动大小,解决一些实际问题.
课时活动设计
引进新知
平均数刻画数据的“平均水平”,但评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差的时误差等,只用平均数是不够的,这时我们就需要用一个新的数,即方差,来刻画一组数据的波动情况.
设计意图:开门点题,让学生清楚本节课的学习重点.
探究新知
探究一
1.甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛,每人各射10发子弹,成绩如图所示.
(1)观察上图,甲、乙射击成绩的平均数、中位数各是多少
(2)甲、乙射击成绩的平均数是否相同 若相同,他们的射击水平就一样吗
(3)哪一组数据相对于其平均数波动较大 波动大小反映了什么
学生分组讨论:先独立思考,再组内交流.
在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳.
分析:观察两名企业射击选手成绩的散点图,直观感受两选手射击水平的高低及稳定性.
解:(1)两人射击成绩的平均数和中位数都是7环.
(2)两人射击成绩的平均数相同,并不能说明射击水平一定相同.
(3)甲射击成绩波动较大,波动的大小反映射击水平的稳定性有差异.
归纳:比较甲和乙的射击水平,自然想到比较射击成绩的平均数或中位数.但是,甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7环.两人相比,乙的成绩大多集中在7环附近,而甲的成绩相对于平均数波动较大.
我们在分析数据的特征时,仅考虑数据的平均数是不够的,还需要关注数据的波动情况.
2.观察上图,甲射击成绩的波动比乙大.如何用一个数来描述一组数据的波动大小呢
假如设n个数据x1,…,xn的平均数为.请同学们思考:
(1)如何描述每个数据与平均数的偏差
解:x1-,x2-,…,xn-.
(2)把所有的偏差直接相加能表示所有数据的总偏差吗
解:不能,因为正负偏差会相互抵消.
(3)如何防止正负偏差相互抵消
解:将各偏差平方后再求和.
(4)如何消除数据个数的影响
解:将各偏差平方求和后再求平均数.
总结概念
设n个数据x1,…,xn的平均数为,各个数据与平均数偏差的平方分别是,,…,.偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用s2表示,即
s2=.
归纳:结合图示和方差公式,我们就可以发现,当数据分布比较分散的时候,各个数据与平均数的差的平方和较大,所以,方差就越大,数据的波动也越大;当数据分布比较集中的时候,各个数据与平均数的差的平方和较小,所以,方差就较小,数据的波动就会越小.因此,方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小,通常,如果一组数据的方差越小,我们就说它越稳定.
探究二
问题:如何利用计算器求方差呢
学生分组讨论:先独立思考,再组内交流.
在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳.
归纳:(1)不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.
(2)通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xn ;最后按动求方差的功能键(例如σx2键),计算器便会求出方差S2=[(x1-)2+(x2-)+……+(xn-)2]的值.
设计意图:一方面培养学生的读图的能力,另一方面,借助图形的直观,使学生加深理解数据的离散程度的意义;给出方差的概念,并让学生尝试去理解方差公式的合理性.同时教师应强调公式中的s2,n,,x1,x2,…,xn各指什么数据;通过讲解,使学生能够更加清晰的理解方差越大,波动越大,方差越小,波动越小.通过使用计算器,使学生能够熟练用计算器求方差.
典例精讲
例1　两个小组各5名同学,用分度值是1 cm的刻度尺测量同一支铅笔的长度,测量误差数据(单位:mm)如下:
第一组:-2　-1　0　1　2
第二组:-3　-2　0　2　3
(1)从直观上看,哪一组同学测量得较准确
(2)分别计算两组数据的方差,并进行比较,验证你的结论.
解:(1)直观来看,第一组数据更准确.
(2)两组数据的平均数都是0,第一组的方差是×[(-2-0)2+(-1-0)2+(0-0)2+(1-0)2+(2-0)2]=2;第二组数据的方差是×[(-3-0)2+(-2-0)2+(0-0)2+(2-0)2+(3-0)2]=5.2.从方差来看,第一组数据波动小,故第一组测量得较准确.
例2　利用计算器计算下列数据的平均数和方差.(结果精确到0.01)
66　78　81　75　86　82
解:(1)进入统计状态,选择一元统计.
(2)输入数据.[2]
(3)显示结果.
按Rcl键,显示结果为78.
按Rcl键,显示结果为40.333 33.
所以=78,s2≈40.33.
设计意图:通过例题,使学生能够解决简单数据的方差的计算问题.
巩固训练
1.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(　A　)
A.甲　　　　　　B.乙　　　　　　C.丙　　　　　　D.丁
甲 乙 丙 丁
平均数/cm 561 560 561 560
方差/cm2 3.5 3.5 15.5 16.5
2.有三组数据,每组5个数据的大小如图所示:
(1)根据图示,直观比较三组数据的波动大小.
(2)分别计算三组数据的平均数和方差.
(3)结合这三组数据,说明方差的大小与数据的波动大小的关系.
解:(1)直观比较,第一组数据没有波动,第二组波动最大,第三组数据波动较小.
(2)如下表.
数据组 平均数 方差
(1) 4 0
(2) 4 2
(3) 4 0.8
(3)当平均数相等时,方差大,数据的波动也大,方差小,数据的波动也小,方差为0时,数据没有波动.
设计意图:通过练习,加强对方差公式的理解与记忆,并能根据图示,初步判断数据的波动大小.
相关练习.
1.教材第21页习题A组第2题,习题B组题.
2.相关练习.
第1课时　方差的计算
　 定义:
设n个数据x1,…,xn的平均数为,各个数据与平均数偏差的平方分别是,,…,.偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用s2表示,即
s2=.
教学反思

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