资源简介

第2课时　公式法
课时目标
1.经历推导求根公式的过程,培养学生数学推理能力及严谨性.
2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况,会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.通过探究和应用一元二次方程的求根公式,认识特殊与一般的关系,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的推理能力和数学建模意识.
学习重点
求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.
学习难点
一元二次方程求根公式的推导过程.
课时活动设计
复习导入
用配方法解方程3x2-6x-5=0.
解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-2x=.
配方,得x2-2x+12=+12.
即(x-1)2=.
两边开平方,得x-1=±.
所以x1=1+,x2=1-.
设计意图:巩固配方法解一元二次方程的步骤,既训练了解一元二次方程的技能,又为下面求根公式的推导作铺垫.
探究新知
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗
学生根据配方法的步骤解ax2+bx+c=0(a≠0).
解:移项,得　ax2+bx=-c　.
二次项系数化为1,得　x2+x=-　.
配方,得x2+x+ 　=-+ 　.
整理,得 =　.
思考:(1)等号两边能直接开平方吗
(2)认真观察,方程的根与哪些因素有关
学生自主探索,小组交流.
因为a≠0,所以4a2>0,则需对b2-4ac的值分情况讨论.
①当b2-4ac>0时,>0,得x+=±.
方程有两个不相等的实数根x1=,x2=.
②当b2-4ac=0时,=0,得=0.
方程有两个相等的实数根x1=x2=-.
③当b2-4ac<0时,<0,而≥0,所以方程没有实数根.
于是我们得到,对于一元二次方程ax2+bx+c=0,
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程没有实数根.
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.记作“Δ”可用于判别一元二次方程根的个数.
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的根由方程的系数a,b,c确定.
因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0.
当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
设计意图:教师引导学生自主探究,经历推导一元二次方程求根公式的过程,加深学生对求根公式的理解,从而总结出公式法的概念.同时在探究交流过程中培养了学生分析问题,解决问题的能力,以及从特殊到一般的总结概括能力和分类讨论思想.
典例精讲
例1　不解方程,判别下列方程根的情况.
(1)x2+3x+2=0;　　(2)x2-4x+4=0;　　(3)2x2-4x+5=0.
解:(1)a=1,b=3,c=2.
∵b2-4ac=32-4×1×2=1>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)a=1,b=-4,c=4.
∵b2-4ac=(-4)2 -4×1×4=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)a=2,b=-4,c=5.
∵b2-4ac=(-4)2 -4×2×5=-24<0,
∴原方程没有实数根.
例2　用公式法解下列方程.
(1)4x2+x-3=0;　　(2)x2-2x-5=0.
解:(1)a=4,b=1,c=-3.
∵b2-4ac=12-4×4×(-3)=49>0,
∴x==,
即x1=,x2=-1.
(2)a=1,b=-2,c=-5.
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-5)=24>0,
∴x==,
即x1=1+,x2=1-.
设计意图:通过练习,熟悉并归纳公式法解题的一般过程,加深学生对于根的判别式和公式法的理解,培养学生解题能力及归纳总结能力.
方法归纳
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1.把方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),并写出a,b,c的值;
2.求出b2-4ac的值,判断方程有无实数根;
3.若有实数根,代入求根公式x=,求出方程的根.
设计意图:让学生归纳总结用公式法解一元二次方程的步骤,考查学生对知识的掌握程度,培养学生观察分析和归纳总结的能力.
相关练习.
1.教材第42页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
教学反思

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