资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元二次方程”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出“数与代数”是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系,探索数学规律,建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界. 初中阶段“数与代数”领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,它们是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.在教学中应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达;引导学生关注用字母表达一元二次方程的系数,感悟用字母表示的求根公式的意义,体会算术与代数的差异.用数学的眼光发现问题并提出数学问题,用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题,给出数学描述和解释,运用数学的语言与思想方法及多个领域的知识,提出设计思路,制定解决方案.结合实际问题建立方程模型,进而分析和解决问题是学习方程的核心.
“方程与方程组”是“数与代数”领域的主要内容,在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.本章所学习的一元二次方程是在学习了一元一次方程后,学习的又一反映现实世界中等量关系的重要模型.类比思想贯穿整个主题的研究内容和研究思路.
2.本单元教学内容分析
冀教版教材九年级上册第二十四章“一元二次方程”,本章包括四个小节:24.1一元二次方程;24.2解一元二次方程;24.3一元二次方程根与系数的关系*;24.4一元二次方程的应用.
本章经历从实际问题中建立一元二次方程概念的过程,深入探究一元二次方程及其相关概念,能够灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程,体会转化、降次的数学思想.了解一元二次方程根与系数的关系,体会化归思想.应用方程思想和方法解决实际问题,从实际问题中抽象出等量关系,建立方程,正确理解方程根的意义,同时从数学结果和实际问题两方面对方程根的合理性进行探究. 培养学生应用数学思想解决实际问题的意识,实现学生数学学科核心素养发展的目标.在教学中,教师应引导学生积极思考,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版教材数学九年级上册第二十四章一元二次方程,学生在前面已学习了一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程等,对方程模型已经有了初步认识,积累了一些用方程解决实际问题的经验,为学习一元二次方程提供了知识基础和经验,可以运用类比的数学思想进行学习;同时他们也学习了整式、分式、二次根式,从知识结构上看,他们已经具备了继续探究一元二次方程的基础.这个阶段的学生自主探究和合作交流意识很强,并且他们比较分析、抽象和概括的能力也有了很大的提升,有了很强的求知欲望,当遇到新的问题时,会自然产生进一步探究的欲望.但同时还应注意一元二次方程较为抽象和复杂,与实际生活联系更加紧密,因此对学生分析问题和解决问题的要求更高.一元二次方程的学习,既是对已学过知识的延伸与提升,又是学习二次函数等知识的基础.此外,对其他学科的学习也有重要意义,促进了学生学科素养的培养.
四、单元学习目标
1.经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程,总结出一元二次方程的概念,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,进一步培养学生的抽象能力和模型观念.
2.掌握一元二次方程的解法,并能根据方程的特点选择合适的方法来解方程,培养学生的数学运算和推理能力.
3.理解一元二次方程根的判别式,会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
4.通过探索一元二次方程根与系数的关系,实现根与系数之间的问题转化,培养学生观察分析,推理论证的能力.
5.能根据具体问题的数量关系,列出一元二次方程并求得结果.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
五、单元学习内容及学习方法概览
一元二次方程
课时划分 内容本质与研究方法
24.1　一元二次方程 以实际问题为背景,建立数学模型,引出一元二次方程的概念,归纳出一元二次方程的一般形式
24.2　解一元二次方程 第1课时　配方法 类比非负数求平方根的方法,探究出解一元二次方程的一种方法——配方法,体会转化、降次的数学思想,并会用配方法解一元二次方程
第2课时　公式法 经历从特殊到一般的思考过程,在解数字系数的一元二次方程的基础上,通过配方求出字母系数的一元二次方程的解,得到公式法,并会用公式法解一元二次方程
第3课时　因式分解法 利用因式分解(提公因式法、公式法),将一元二次方程的问题转化为解两个一元一次方程的问题,通过降次实现化未知为已知的目的,得到因式分解法,并会用因式分解法解一元二次方程
续表
一元二次方程
课时划分 内容本质与研究方法
24.3　一元二次方程根与系数的关系* 一元二次方程根与系数的关系揭示的是一元二次方程的根与系数之间的内在联系,通过公式法探究一元二次方程根与系数的关系,体会化归的思想,是后续学习的基础
24.4　一元二次方程的应用 第1课时　几何问题 利用一元二次方程解决几何问题,通过例题分析,让学生根据自己已有经验,自主探究和师生合作,建立方程,培养数形结合意识
第2课时　变化率问题 利用一元二次方程解决变化率问题,通过探究,让学生独立思考和分析,小组合作交流,认识到增长变化问题中数量的特殊关系及一般规律
第3课时　销售和其他问题 利用一元二次方程解决销售和其他问题,引导学生分步思考建立方程,以便更好地体会寻找等量关系建立方程模型的过程
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和建模思想.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应注重联系实际考查学生数学应用能力的问题,体现时代性.既有强烈的德育功能,又可以让学生从数学的角度分析社会现象,体会数学在现实生活中的作用.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历从实际问题中建立一元二次方程概念的过程.
2.了解一元二次方及其相关概念.
3.体会方程是刻画现实世界中数量关系的重要数学模型.数学来源于生活,又回归生活.
学习重点
一元二次方程的概念及一般形式.
学习难点
1.由实际问题抽象出一元二次方程的转化过程.
2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.
课时活动设计
情境引入
如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.
分析下面小明和小亮列方程的做法,思考所列方程的特征.
小明的做法:
设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m.
根据题意,可得方程·x=700.
整理,得x2-90x+1 400=0.
小亮的做法:
设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x) m.
根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.
整理,得x2-45x+350=0.
设计意图:由实际问题导入,让学生对比观察引导学生思考分析,进而激发学生解决问题的强烈愿望,为一元二次方程概念的生成做好铺垫,同时增强学生分析问题的能力.
探索新知
探究1　一元二次方程的概念
如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少
如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x m,请列出方程,并谈所列方程的特征.
分析:在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==6 m.所以A'C=7 m.设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x m.根据题意,可得方程　72+(6+x)2 = 102　.整理,得　x2+12x-15=0　.
所列方程　只含有一个　未知数,并且未知数的最高次数为　2　.
思考:观察x2-90x+1 400=0,x2-45x+350=0,x2+12x-15=0这三个方程,它们有什么共同特征 你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的概念吗
共同特征:(1)方程各项都是整式;
(2)方程中只含有一个未知数;
(3)未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程.
探究2　一元二次方程的一般形式
类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).
其中,ax2是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项.
注意事项:1.注意“项”与“项的系数”的区别;2.先化简成一般形式;3.书写系数时不要遗漏符号.
思考1:为什么要限制a ≠ 0,b,c可以为0吗
当a=0时,ax2+bx+c=0bx+c=0(一元一次方程)
一元一次方程
结论:只要满足a≠0,a,b,c可以为任意实数.
思考2:一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系
学生小组合作交流,教师归纳:
一元一次方程 一元二次方程
一般式 ax+b=0 (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0)
相同点 整式方程,只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
探究3　一元二次方程的根
回忆方程的解,思考什么是一元二次方程的解,如何判断是不是一元二次方程的解
解:方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值,在涉及方程解的题目中,我们一般是把这个解代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
设计意图:教师引导学生,让学生独立思考,小组合作交流.根据已有的知识经验把实际问题模型化,进而建立一元二次方程的概念,体会用符号语言理解一元二次方程的一般形式.培养学生观察分析的能力、归纳总结的能力及合作交流的能力.
典例精讲
例1　将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项、一次项和常数项.
(1)4x2=3(x+4);　　　　　　　　(2)(2x-3)(3x-2)=10;
(3)·=7; (4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2.
解:(1)整理,得4x2-3x-12=0.∴二次项是4x2,一次项是-3x,常数项是-12;
(2)整理,得6x2-13x-4=0.∴二次项是6x2,一次项是-13x,常数项是-4;
(3)整理,得2x2+x-48=0.∴二次项是2x2,一次项是x,常数项是-48;
(4)整理,得5x2+6x+2=0.∴二次项是5x2,一次项是6x,常数项是2.
例2　在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根
(1)x2-3x-4=1(x=1,x=-1,x=4);
(2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4);
(3)2y2-y-1=0.(y=0,y=1,y=-).
解:(1)x=-1,x=4;(2)x=-4,x=4;(3)y=1,y=-.
设计意图:通过例题讲解,规范学生的解题步骤,加深学生对一元二次方程的认识和理解.
巩固练习
1.在下列方程中,哪些是一元二次方程 是一元二次方程的,指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)2x2=1-x;(2)2x=1-x;(3)3x2=12;(4)(x-1)2=2.
解:(1)(3)(4)是一元二次方程.
(1)二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-1;
(3)二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-12;
(4)二次项系数是1,一次项系数是-2,常数项是-1.
2.如图,大小两个四边形都是矩形,且阴影部分的面积为800.请列出关于x的方程.
解:由题意,得(40-4x)(60-2x)=800.
整理,得x2-40x+200=0.
设计意图:学生通过练习进一步巩固本节所学内容,加深对一元二次方程概念及模型的理解.
相关练习.
1.教材第36页习题A组第2,3题,习题B组第1,2题.
2.相关练习.
教学反思

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