资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形与几何”领域“图形的变化”主题中的“图形的相似”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.“图形的变化”主题的教学强调从运动变化的观点来研究图形,理解图形的变化规律和变化过程中的不变关系.“图形的相似”是“图形的变化”主题的重要内容之一.本单元的学习主要侧重于学生对比例线段及相关基本事实的认识,了解相似三角形的判定及性质,能利用相似三角形的性质解决生活中的实际问题.本单元重点培养学生的建模能力,几何直观以及逻辑推理能力,整章从始至终都是通过探究、讨论、动手操作等活动来完成知识的学习,使学生在活动过程中感受数学的严谨性,培养学生的推理能力和数学思考能力.
“图形的相似”单元的教学,要组织学生经历画图、测量与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性,会用准确的数学语言描述研究对象的共同特征,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;要引导学生经历知识的形成过程,让学生通过动手操作获得猜想,然后再证明猜想,这样使合情推理与演绎推理有机结合,形成一个发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的完整过程,发展学生的推理能力,会用数学的思维思考世界;要引导学生经历“把实际问题抽象成数学问题,然后解决数学问题,最后对结果作出符合实际意义的解释”的过程,感悟数学模型思想,发展模型观念,感受数学的价值,形成应用意识,会用数学的语言表达现实世界.
2.本单元教学内容分析
冀教版教材九年级上册第二十五章“图形的相似”,本章包括七个小节:25.1比例线段;25.2平行线分线段成比例;25.3相似三角形;25.4相似三角形的判定;25.5相似三角形的性质;25.6相似三角形的应用;25.7相似多边形和图形的位似.
“图形的相似”不改变图形的形状,而会改变图形的大小,即相似变换不改变图形的角度,而边呈现一种稳定的比例关系,其实质是图形的放大或缩小.需要注意的是,相似与全等之间是一种一般与特殊的关系,当相似三角形的相似比为1时,这两个三角形全等.课本在相似三角形的概念、判定和性质等方面都是类比全等三角形而获得的,教学中要抓住这一知识的“生长点”与“延伸点”,让学生感悟到类比与“由特殊到一般”的数学思想方法,积累数学活动经验,帮助学生形成完整的知识结构.对于相似三角形的应用,要关注如何将实际问题抽象成数学问题,如何利用有关知识解决问题,以及如何利用结果去解释问题,总之要培养学生的数学建模能力以及数学的应用意识.位似是相似的特殊情况,利用位似可以将一个图形放大或缩小,当两个相似图形具有特殊的位置关系时,即对应点连线交于一点,对应边平行或是共线时,就是位似图形.图形的位似在生活中有着广泛的应用,鼓励学生查阅资料,以扩大知识面,开阔视野.通过位似的学习让学生感悟一般与特殊的关系,培养学生的动手能力与数学的应用意识.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版数学九年级上册第二十五章图形的相似,本章是继轴对称、平移、旋转之后集中研究图形变化的内容,同时也是全等三角形知识的拓广和发展,相似三角形承接全等三角形,从特殊的相等到一般的成比例予以深化,另外相似三角形也是后面学习解直角三角形的基础,所以图形的相似这一章起着承上启下的作用.学生在八年级学习三角形与四边形等有关几何知识的过程中,已经经历了观察、操作、思考和交流等数学活动过程,获得了一定的探索图形性质和判定的活动经验.对于九年级学生而言,在相关知识的学习过程中,学生已经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考,具备了一定的合作与交流的能力.在对“图形的相似”单元教学过程中,发现学生对对应线段、对应边的寻找感到困难,因此在教学过程中要帮助学生找方法,突破难点.在教学活动中要创设好情境,提供充足的时间,让学生在操作、思考、交流的过程中获得.九年级的学生已有一定的活动经验,能够自主完成一些活动.教师要充分相信学生,支持和鼓励学生并给予适当的帮助和指导.
四、单元学习目标
1.通过各种教学活动,引导学生经历观察、探究、归纳及概括的过程,了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割,培养学生的数学抽象能力.
2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形、相似三角形和相似比的概念,让学生体会类比的数学思想方法,发展数学抽象能力.
3.经历探索“两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例”的过程,并掌握这个基本事实,培养学生科学的探究精神,发展学生的数学抽象及逻辑推理能力.
4.经历探索相似三角形判定、性质定理的过程,了解相似三角形的判定、性质定理,感悟类比及由特殊到一般的数学思想方法,发展学生的空间观念和几何直观,培养学生的推理能力.
5.通过丰富的实例,利用相似三角形的性质,经历把实际问题抽象成数学问题的过程,培养学生的数学建模能力,进一步发展学生的空间观念和几何直观,发展学生的数学思考能力和数学的应用意识.
6.经历相似图形的作图过程,了解图形的位似,可以利用位似将一个图形放大或缩小,培养学生的空间观念与几何直观,发展学生的推理能力.
五、单元学习内容及学习方法概览
图形的相似
课时划分 内容本质与研究方法
25.1　比例线段 通过观察长方形的形状是否相同引入线段的比及比例线段的概念,通过对成比例线段进行变形应用,引出比例的性质,培养学生的计算能力.通过成比例线段的特例研究,帮助学生形成研究问题的思路,同时使所学知识结构化、系统化
25.2　平行线分线段成比例 第1课时　平行线分线段成比例 通过观察、操作,发现和认识平行线分线段成比例的基本事实,让学生经历由特殊到一般的研究过程,体会研究数学问题的思想方法
第2课时　平行线分线段成比例的推论 通过对特例的研究,让学生经历由特殊到一般的研究过程,形成研究问题的思路,培养学生的推理能力
25.3　相似三角形 通过类比全等的相关概念、性质来研究相似,让学生体会知识之间的联系,帮助学生将所学知识结构化.在学习的过程中帮助学生积累数学活动经验,发展学生的数学思维
25.4　相似三角形的判定 第1课时　用角角关系判定三角形相似 通过类比全等判定的研究方法对用角角关系判定三角形相似进行研究,体会知识间的联系及研究思路的一致性,同时体会一般与特殊的关系,培养学生的推理能力以及数学思维能力
第2课时　用边角关系判定三角形相似 通过类比全等判定的研究方法对用边角关系判定三角形相似进行研究,体会由易到难的研究思路,培养学生科学的思考方法.然后类比全等的判定对相似的判定进行猜想,让学生体会知识之间的联系,以及类比的数学思想方法
第3课时　用边边关系判定三角形相似 通过类比全等判定的研究方法对用边边关系判定三角形相似进行研究,让学生经历画图发现结论、验证结论、证明结论的完整的过程,培养学生科学的思考问题的方法,增强学生的核心素养
25.5　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形对应线段的性质 学生动手画图,通过经历探究相似三角形性质的过程,得到相似三角形对应线段的比等于相似比,培养学生的推理能力,探究经历观察-猜想-验证-证明的研究过程,培养学生科学的研究思路
第2课时　相似三角形周长与面积的性质 学生通过观察图形,验证猜想的过程,得出相似三角形周长和面积的性质,培养学生科学的思维方法,增强学生的核心素养
续表
图形的相似单元学习概览
课时划分 内容本质与研究方法
25.6　相似三角形的应用 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 通过应用相似三角形的性质解决生活中不易测得的高度问题,经历将实际问题转化成数学问题的的过程,培养学生的建模能力,体会数学知识来源于生活并应用于生活,培养学生学习数学的兴趣
第2课时　利用相似三角形测距离 通过应用相似三角形的性质解决生活中不易测得的距离问题,经历将实际问题转化成数学问题的的过程,培养学生的建模能力,体会数学知识来源于生活并应用于生活,培养学生学习数学的兴趣
25.7　相似多边形和图形的位似 第1课时　相似多边形 通过类比相似三角形学习相似多边形,体会由特殊到一般的数学思想方法,体会研究问题的思路,发展学生的几何直观与推理能力
第2课时　图形的位似 通过研究相似多边形特殊的位置关系位似,得到画相似图形的方法,体会研究问题的思路,发展学生的几何直观与推理能力
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元作业课后设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历观察、探究、归纳和概括等数学活动,了解线段的比和比例线段的概念.会求两线段的比,增强学生数学抽象思维的核心素养.
2.通过小组活动探究比例式的变形,理解并掌握比例的基本性质,培养学生的计算能力和推理能力.
3.通过建筑、艺术中的实例,了解黄金分割,让学生感受黄金分割在现实生活中的作用和价值,培养学生的数学应用意识.
学习重点
比例线段及性质.
学习难点
应用比例的基本性质进行比例变形.
课时活动设计
回顾引入
回顾全等三角形都研究了哪些内容 当两个三角形只有形状相同时,这两个三角形的对应边、对应角之间有什么关系呢
设计意图:引导学生回顾全等三角形的研究内容,类比全等研究相似,为学生提供研究方向,帮助学生将头脑中的知识结构化.通过全等引出相似,让学生体会数学知识的研究由特殊到一般的过程.通过提问形状相同的三角形对应边的关系引出对应边的比相等,从而引入比例的学习的必要性,同时也帮助学生搭建本章的知识框架.
探究线段的比相关概念
观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同 理由是什么
图1　　　图2　　　图3
设计意图:引导学生两两观察图形,思考形状是否相同 从学生角度,学生能看出图3更“胖”一些,引导学生从数学角度说明图形的“胖”与“瘦”用长与宽的比来描述更确切.通过上述思考引入线段的比的概念,注意:求线段的比要统一单位;比值没有单位.
探究成比例线段及基本性质
定义:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
思考:(1)如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗 为什么
(2)如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗 为什么
(3)由ad=bc你可以变形得出几种不同的比例式 怎样做到不重不漏,说说你的变形方法
(4)对于比例式=,有特殊情况吗
学生思考并回答以上问题,教师总结出比例的基本性质:
如果=,那么ad=bc.
如果ad=bc,那么=(b,d≠0).
特别地,如果=,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.
设计意图:通过对比例式的灵活变形引入比例的基本性质,在等积式化比例式时引导学生由一个等积式可化成多个比例式,在相似三角形的许多问题中都需要用到比例式的灵活变形,所以这个环节要给予足够的重视,要给学生充分的时间.通过比例式的特殊情况引入比例中项的概念,让学生体会数学研究由一般到特殊的研究思路.
探究比例的相关性质
思考:(1)我们知道,由==,可以得到=,你能得到一般性的结论吗 证明这一结论的正确性.
引导学生思考并回答以下例题,教师给出证明并总结:
如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=.
(2)对于上述结论还能进行推广吗 说明理由.
设计意图:引导学生由特例联想一般性的结论,并进行证明,让学生体会数学由特殊到一般的数学思想方法,通过证明培养学生的代数推理能力.引导学生对结论进行变形推广,加深学生对比例性质的深刻理解,发展学生的数学思考能力.
探究黄金分割
思考:如图,已知线段AB=a,点C在线段AB上.当=时,线段AC的长是多少
小组合作,然后小组展评.
解:由=,得AC2=AB·BC.
设AC=x,则BC=a-x.
∴x2=a(a-x),即x2+ax-a2=0.
解得x1=a,x2=a(不舍题意,舍去).
所以AC=a≈0.618a.
定义:在线段AB上有一点C,如果点C把线段AB分成的两条线段AC和BC满足=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,称为黄金比.
每条线段上的黄金分割点都有两个,黄金比=≈0.618.
引入生活中的实例,让学生体会黄金分割在生活中的重要作用.
在人的面部,五官的分布越符合黄金分割,看起来就越美.
　
京剧演员经常选择舞台长度的一个黄金分割点作为出场亮相的位置.
　　
摄影构图通常运用的三分法就是黄金分割的演变,把长方形画面的长、宽各分成三等分,整个画面呈井字形分割,井字形分割的交叉点便是画面主体(视觉中心)的最佳位置,是最容易诱导人们视觉兴趣的视觉美点.
设计意图:通过引导学生对线段进行分割形成比例线段引入黄金分割,通过小组合作计算黄金比,加深学生对黄金比的理解与记忆,通过艺术、建筑等生活中黄金分割的实例,让学生体会黄金分割蕴藏的美学价值,发展学生的数学应用意识.
典例精讲
如图,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m~118 m,250 m~295 m,335 m~349 m之间,使塔身显得非常协调美观.
塔身的黄金分割点位于哪个球体内 请说明理由.
分析:本题考查对黄金比的理解及对的运用.
解:∵黄金分割比为≈0.618,
∴468×0.618=289.224(m).
∵中球体高度为250m~295m,
∴塔身的黄金分割点位于中球体.
设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对黄金分割的理解与应用.
课堂小结
本节课我们研究了比例的相关概念和性质,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)本节课探究了关于比例的哪些问题
(2)在探寻比例的相关概念及性质时,你经历了什么 这个过程中用到了哪些数学方法 积累了哪些活动经验
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对比例相关概念及性质的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.反思是数学活动的核心和动力,只有以反思为核心的数学教育,才能使学生真正深入数学学习过程中,才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.
相关练习.
1.教材第60页A组第1,2题,B组第1题.
2.相关练习.
教学反思

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