资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形与几何”领域“图形的变化”主题中的“解直角三角形”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.图形的变化是图形与几何领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.本单元的学习内容解直角三角形是在学习了函数、相似三角形的基础上,对直角三角形的边角之间的关系进行探究,从而利用这些关系来解直角三角形,才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边角之间的数量关系统一起来.通过研究直角三角形中各元素之间的关系,并把这种关系用数量的形式表示出来,是学生经历数学抽象的过程.通过本章的学习,使学生进一步感受数形结合的思想,体会数形结合的方法.同时本章突出了学以致用,加强与实际问题的联系,解直角三角形的知识,可以广泛应用于测量、工程技术和物理之中,具有综合技术教育价值,有助于学生学科融合,综合能力的提升,感受数学的价值.
2.本单元教学内容分析
　冀教版教材九年级上册第二十六章“解直角三角形”,本章包括四个小节:26.1锐角三角函数;26.2锐角三角函数的计算;26.3解直角三角形;26.4解直角三角形的应用.
本单元内容包括探索直角三角形的边角关系、特殊角三角函数值和锐角三角函数的应用举例三个方面.本章的学习重点是锐角三角函数的概念和利用锐角三角函数解决简单的实际问题,难点是把实际问题抽象为数学问题,建立合适的数学模型,探索解决问题的有效方法.在建立锐角三角函数概念时,关注从特殊到一般的归纳方法,充分体现了锐角三角函数的抽象过程,让学生感悟和理解锐角三角函数的意义,更好地用锐角三角函数解决实际问题,同时逐步渗透“数形结合”的思想.直角三角形中边与角之间的关系,是现实世界中应用广泛的关系之一,它是联系几何与代数的桥梁,在解决现实问题中有着重要的作用.本单元的内容是直角三角形知识的重点部分之一,也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版数学九年级上册第二十六章解直角三角形,“三角形”“勾股定理”“相似三角形”单元已经让学生了解了直角三角形的相关知识,知道了直角三角形角与角,边与边的之间的关系,掌握了三角形的相似、推理证明等知识,为本单元的学习打下了一定的基础.本章基于学生生活经验直观感受,教师引导学生进行简单的演算、比较、推理,教师采用教育技术实验的方法,借助几何画板,通过几何直观,帮助学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系,最终探索出:在直角三角形中,一个锐角的对边与邻边的比是随锐角角度的变化而变化的.在问题解决的过程中,要渗透数形结合的数学思想,发展学生的几何直观能力和符号感.由于不同学生对问题的理解是不一样的,所以应尊重学生间的差异,不要急于否定学生的答案,而要鼓励学生开展讨论,给学生提供成果展示的机会,培养学生的交流能力及学习数学的自信心.结合学生身边的数学现象,依据初中学生身心发展的特点,激发学生的求知欲.为了突破教学难点,教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法,既直观地呈现了知识的内在联系,培养了学生的几何直观能力,又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解,让学生更进一步体验了数学的实用性,加深了数学和实际生活的联系.
四、单元学习目标
1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的锐角三角函数值.
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角.
3.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题,提高运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
4.发展运用数学知识分析和解决问题的能力,增强几何直观、模型观念和应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
解直角三角形
课时划分 内容本质与研究方法
26.1　锐角三角函数 第1课时　正切 运用转化的数学思想,通过观察,测量,猜想,验证的研究方法,探索正切的概念
第2课时　正弦、余弦 运用类比的研究方法,研究正弦、余弦的概念
26.2　锐角三角函数的计算 借助计算器实际操作,能够熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求角
26.3　解直角三角形 运用数形结合以及转化的思想进行总结直角三角形中角与角、边与边、角与边之间的关系,会解直角三角形
26.4　解直角三角形的应用 第1课时　仰角、俯角、方向角 运用数形结合、转化、方程等数学思想,结合解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题
第2课时　与坡度、坡角有关的问题 运用数形结合、转化、方程等数学思想,结合解直角三角形知识解决坡度和坡角有关的实际问题
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元作业课后设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　正切
课时目标
1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系,会求直角三角形中某个锐角的正切值,知道30°,45°,60°角的正切值.
2.让学生经历操作、观察、思考、求解等过程,感受数形结合的数学思想方法,培养学生理性思维习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
3.引导学生体验数学活动中的探索与发现,并使之能积极参与数学学习活动,学会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证.
学习重点
正确认识、理解正切的概念,会根据边长求出正切值.
学习难点
引导学生比较、分析并得出:在直角三角形中,对任意锐角,它的对边与邻边的比值是确定的事实.
课时活动设计
回顾旧知
1.函数的概念及函数的表示方法.
2.列举我们已经学习过的函数.(如一次函数、反比例函数)
设计意图:“正切”是一种三角函数,自然应遵循函数的研究方式,在设计中首先带领学生一起回顾函数的概念与函数的表示方法,并说出已经学过的函数类型,这样做的意图是再现旧知,激起尘封的记忆,利用已知的经验探究新知.
情境引入
汽车免不了爬坡,爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢
设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,提问能激发学生学习兴趣,同时也点明了本节课的主旨,方便学生抓住重点.
新知探究
见教材第104页“观察与思考”,学生独立完成然后交流.
解:1.∵在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.∴=.∴=.
2.∵BC⊥AF,B'C'⊥AF,∴BC∥B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.∴=.∴=.
归纳:在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的.
总结正切的概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c.∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A.
tan A==.
设计意图:让学生经历合作探究过程,通过操作、观察、发现、归纳,得出结论,培养学生的动手能力和抽象概括的能力.再通过提问环节,让学生主动参与到本节课的学习中来,让学生将定义形成符号语言和文字语言,归纳总结,内化为自己的知识,达成学习目标.
上面的结论告诉我们,锐角和锐角的对边与邻边的比的关系:锐角固定,锐角的对边与邻边的比也固定.如果锐角变化了呢 这个比值会怎样呢 (几何画板演示)
请同学们带着问题:“在Rt△ABC中,只要锐角A的大小不变,无论这个直角三角形的大小如何,锐角A的对边与邻边的比值总是一个固定值,当锐角A取其他值时,锐角A的对边与邻边的比值还是一个固定值吗 ”
观察几何画板的演示:当∠A变化时,随之改变.
∠A的对边与∠A的邻边的比(即)随∠A的变化而变化,并且对于∠A的每一个值,都有唯一确定的值与之对应.你认为与∠A这两个变量之间是一种什么关系
设计意图:借助几何画板,从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学,进行图形的动画演示、验证,揭示了∠A的对边与∠A的邻边的比和∠A这两个变量之间的函数关系.从而确信正切概念建立的科学性.几何画板为学生分散、突破难点提供了较好的素材.给验证结果下准确结论,并结合图形进行准确地符号表达.
大家谈谈
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)∠B的对边和邻边分别是哪两条边,tan B等于多少
(2)tan A与tan B之间有怎样的关系
解:(1)∠B的对边为AC,邻边为BC,tan B=;
(2)tan A·tan B=1.
tan A与tan B互为倒数,即tan A·tan B=1.
设计意图:通过计算,让学生发现直角三角形中两锐角的正切值互为倒数.
典例精讲
例　在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)如图1,∠A=30°,求tan A,tan B的值.
(2)如图2,∠A=45°,求tan A的值.
分析:根据三角形内角和得到角的度数,再根据直角三角形的性质求出边长,即可求出锐角的三角函数值.
解:(1)在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且a=c.
∴b===c.
∴tan A=tan 30°==c÷c=,tan B=tan 60°==c÷c=.
(2)在Rt△ABC中,∵∠A=45°,∴a=b.
∴tan A=tan 45°==1.
教师总结,得到特殊角的正切值:tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=.
设计意图:熟悉巩固正切的概念及应用,同时进行特殊三角函数值的求解.
相关练习.
1.教材第106页练习第1,2题,习题A组第1,2题.
2.相关练习.
第1课时　正切
　　　　　　正切
tan A===.
tan B===.
tan A·tan B=1
教学反思

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