资源简介

第2课时　与坡度、坡角有关的问题
课时目标
1.使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.
2.在课堂中渗透数形结合的数学思想,让学生感受到生活中处处有数学.
3.积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,让学生在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生在生活中应用数学的意识.
学习重点
解决与坡度、坡角有关的实际问题.
学习难点
把实际问题转化为数学问题,并选择简单的方法解决问题.
课时活动设计
复习引入
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,选用适当锐角三角函数去解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
师:这节课我们继续研究利用解直角三角形的知识解决坡度、坡角有关的问题.
设计意图:通让学生回顾之前所学知识,为本节课的内容学习作铺垫,通过导入新课,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节课的主旨,方便学生抓住重点.
新知学习
1.坡度(坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l的比.
2.坡角:坡面与水平面的夹角.
3.坡度与坡角之间的关系:i==tan α.
问题:如图,在山坡上植树时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为5 m.现测得斜坡的坡角为21°.求相邻两树间的坡面距离.(结果精确到0.1 m)
解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=21°,AC=5 m,
∵cos∠BAC=,
∴AB==≈5.4(m).
答:相邻两树间的坡面距离约为5.4 m.
设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、思考、操作、计算得出结论,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.再通过提问环节,让学生主动参与到本节课的学习中来.
典例精讲
例　如图所示,铁路路基的横断面为四边形ABCD,其中,BC∥AD,∠A=∠D,根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角(结果精确到1').
解题思路:(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角;
(2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长;
(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的长,从而求出底AD的长.
解:如图,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.
在四边形BEFC中,
∵BC∥AD,∠AEB=∠DFC=90°,
∴四边形BEFC为矩形.
∴BC=EF,BE=CF.
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴AE=DF.
在Rt△ABE中,tanα===,BE=4,
∴α≈38°39',AE=5.
∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.
即路基下底的宽为20 m,坡角约为38°39'.
设计意图:选取生活实例,让学生经历用三角函数解决问题的过程,同时在解题中运用方程思想.
巩固训练
如图,水库大坝的横断面是四边形ABCD,DC∥AB,坝顶宽CD=3 m,斜坡AD=16 m,坝高为8 m,斜坡BC的坡度为.求斜坡AD的坡角α和坝底的宽AB(结果精确到0.01 m).
解:在Rt△ADE中,AD=16,DE=8.
∴sinα===.
∴∠α=30°.
∴斜坡AD坡角α为30°.
分别过点C,D作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为点E,F.
∵斜坡BC坡度为,坝高8m,
∴=,解得BE=24m.
又∵在Rt△ADE中,AD=16,DE=8,
∴AF==8.
又∵CD=3=EF,
∴AB=AE+EF+BF=8+3+24=27+8≈40.86.
∴坡底的宽AB约为40.86m.
设计意图:培养学生分析问题解决问题的能力,体会不同实际背景问题的解决.
相关练习.
1.教材第120页习题A组第2题,B组第2题.
2.相关练习.
第2课时　与坡度、坡角有关的问题
　　　1.坡度:坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比.
　　　2.坡角:坡面与水平面的夹角.
　　　3.坡度与坡角之间的关系:i==tan α.
教学反思

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